Tautologisk enform

Ej att förväxla med Symplectic manifold § Definition eller Symplectic vektorrum .

Inom matematik är den tautologiska enformen en speciell 1-form som definieras på cotangensbunten $T^{*}Q$ i en mångfaldig $Q.$ Inom fysiken används det för att skapa en överensstämmelse mellan hastigheten för en punkt i ett mekaniskt system och dess rörelsemängd, vilket ger en brygga mellan Lagrangemekaniken och Hamiltonsk mekanik (på grenröret $Q$ ).

Den yttre derivatan av denna form definierar en symbolisk form som ger $T^{*}Q$ strukturen för ett symboliskt grenrör . Den tautologiska enformen spelar en viktig roll när det gäller att relatera formalismen hos Hamiltonsk mekanik och Lagrangiansk mekanik . Den tautologiska enformen kallas ibland också för Liouville-enformen , Poincaré-enformen , den kanoniska enformen eller den symplektiska potentialen . Ett liknande objekt är det kanoniska vektorfältet på tangentbunten .

För att definiera den tautologiska enformen, välj ett koordinatdiagram $U$ på $T^{*}Q$ och ett kanoniskt koordinatsystem på $U.$ Välj en godtycklig punkt $m\in T^{*}Q.$ Enligt definition av cotangensbunt, $m=(q,p),$ där $q\in Q$ och $p\in T_{q}^{*}Q.$ Den tautologiska enformen $\theta _{m}:T_{m}T^{* }Q\to \mathbb {R}$ ges av

$$\theta _{m}=\summa _{i=1}^{n}p_{i}dq^{i},$$

med $n=\mathop {\text{dim}} Q$ och $(p_{1},\ldots ,p_ {n})\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ är koordinatrepresentationen av $sid.$

Alla koordinater på $T^{*}Q$ som bevarar denna definition, upp till en total differential ( exakt form ), kan kallas kanoniska koordinater; transformationer mellan olika kanoniska koordinatsystem är kända som kanoniska transformationer .

Den kanoniska symboliska formen , även känd som Poincaré-tvåformen , ges av

$$\omega =-d\theta =\sum _{i}dq^{i}\wedge dp_{i}$$

Utvidgningen av detta koncept till allmänna fiberbuntar kallas lödformen . Enligt konventionen använder man frasen "kanonisk form" närhelst formen har en unik, kanonisk definition, och man använder termen "lödform" närhelst ett godtyckligt val måste göras. I algebraisk geometri och komplex geometri avråds termen "kanonisk" på grund av förväxling med det kanoniska klassificerar , och termen "tautologisk" föredras, som i tautologisk bunt .

Koordinatfri definition

Den tautologiska 1-formen kan också definieras ganska abstrakt som en form på fasrum . Låt $Q$ vara ett grenrör och $M=T^{*}Q$ vara cotangensknippet eller fasutrymmet . Låta

$$\pi :M\to Q$$

vara det kanoniska fiberknippets projektion, och låt

$$d} \pi :TM\to TQ}$$

vara den inducerade tangentkartan . Låt $m$ vara en punkt på $M.$ Eftersom $M$ är cotangensbunten, kan vi förstå $m$ som en karta över tangentrymden vid $q=\pi ( m)$ :

$$m:T_{q}Q\to \mathbb {R} .$$

Det vill säga, vi har att $m$ är i fibern i $q.$ Den tautologiska enformen $\theta _{m}$ vid punkten $m$ definieras då till att vara

$$\theta _{m}=m\circ \mathrm {d} \pi _{m}.$$

Det är en linjär karta

$$\theta _{m}:T_{m}M\to \mathbb {R}$$

och så

$$\theta :M\to T^{*}M.$$

Symplektisk potential

Den symplektiska potentialen definieras i allmänhet lite mer fritt, och även endast lokalt definierad: den är vilken som helst enform $\phi$ så att $\omega =-d\phi$ ; i själva verket skiljer sig symplektiska potentialer från den kanoniska 1-formen med en sluten form .

Egenskaper

Den tautologiska enformen är den unika enformen som "avbryter" pullback . Det vill säga låt $\beta$ vara en 1-form på $Q.$$\beta$ är ett avsnitt $\beta :Q\to T^{*}Q.$ För en godtycklig 1-form $\omega$ på $T^{*}Q,$ tillbakadragningen av $\omega$ av $\beta$ är per definition $\beta ^{*}\omega :=\omega \circ \beta _{*}.$ Här, $\beta _{*}:TQ\to TT^{*}Q$ är framskjutningen av $\beta .$ Liksom $\beta ,$$\beta ^{*}\omega$ är en 1-form på $Q.$ Den tautologiska enformen $\theta$ är den enda formen med egenskapen att $\beta ^{*}\theta =\beta ,$ för varje 1-form $\beta$ på $Q.$

Bevis.

För ett diagram $(\{q^{i}\}_{i=1}^{n},U)$ på $Q$ ( där $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}),$ låter $\{p_{i},q^{ i}\}_{i=1}^{n}$ vara koordinaterna på $T^{*}Q,$ där fiberkoordinaterna $\ {p_{i}\}_{i=1}^{n}$ är associerade med den linjära basen $\{dq^{i}\}_{i=1}^{n}.$ Genom antagande, för varje ${\mathbf { q} }=(q^{1},\ldots,q^{n})\in U,$

$$\beta ({\mathbf {q} })=\summa _{i=1}^{n}\beta _{ i}(\mathbf {q} )\,dq^{i},$$

eller

$$\mathbf {q} =(q^{1},\ldots ,q^{n})\ {\stackrel {\beta }{\to }}\ (\underbrace {q^{1},\ ldots ,q^{n}} _{\mathbf {q} },\underbrace {\beta _{1}(\mathbf {q} ),\ldots ,\beta _{n}(\mathbf {q} } _{\mathbf {p} })).$$

Det följer att

$$\beta _{*}\left({\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\Biggl |}_{\mathbf {q}}\right)= {\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\Biggl |}_{\beta (\mathbf {q} )}+\summa _{j=1}^{n}{\frac {\partial \beta _{j}}{\partial q^{i}}}{\Biggl |}_{\mathbf {q} }\cdot {\frac {\partial }{\partial p_{j}} }{\Biggl |}_{\beta (\mathbf {q} )}$$

vilket innebär det

$$(\beta ^{*}\,dq^{i})\left({\partial /\partial q^{j}}\right)_{\mathbf {q} }=dq^{i} \left[\beta _{*}\left({\partial /\partial q^{j}}\right)_{\mathbf {q} }\right]=\delta _{ij}.$$

Steg 1. Vi har

$${\begin{aligned}(\beta ^{*}\theta )\left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }&=\theta \left( \beta _{*}\left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q}}\right)=\left(\sum _{j=1}^{n}p_ {j}dq^{j}\right)\left(\beta _{*}\left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q}}\right)\\& =\beta _{i}(\mathbf {q} )=\beta \left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }.\end{aligned}}$$

Steg 1'. För fullständighetens skull ger vi nu ett koordinatfritt bevis på att $\beta ^{*}\theta =\beta ,$ för valfri 1-form $\beta .$

Observera att intuitivt sett, för varje $q\in Q$ och $p\in T_{q}^{*}Q,$ den linjära kartan $d\pi _{(q,p)}$ i definitionen av $\theta$ tangentrymden $T_{(q ,p)}T^{*}Q$ till sitt delrum $T_{q}Q.$ Som en konsekvens, för varje $q\in Q$ och $v\in T_{q}Q,$

$$d\pi _{\beta (q)}(\beta _{*q}v)=v,$$

där $\beta _{*q}$ är instansen av $\beta _{*}$ vid punkten $q\in Q,$ dvs.

$$\beta _{*q}:T_{q}Q\to T_{\beta (q)}T^{*}Q.$$

Genom att tillämpa den koordinatfria definitionen av $\theta$ på $\theta _{\beta (q)},$ erhålls

$$(\beta ^{*}\theta )_{q}v=\theta _{\beta (q)}(\beta _{*q}v)=\beta (q)(d\pi _ {\beta (q)}(\beta _{*q}v))=\beta (q)v.$$

Steg 2. Det räcker att visa att $\alpha =0$ om $\beta ^{*}\alpha =0,$ för varje enformig $\beta .$ Låt

$$\alpha =\summa _{i=1} ^{n}\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\,dq^{i}+\summa _{i=1}^{n}\alpha _ {p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\,dp_{i},$$

där $\alpha _{p^{i}},\alpha _{q^{i}}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}\times U,\mathbb {R } ).$

Ersätter $v=\left(\partial /\partial q_{i}\right)_{\mathbf {q} }$ i identiteten $\alpha (\beta _{*}v)=0$ få

$$\alpha (\ partiell /\partial q^{i})_{\beta (\mathbf {q} )}+\sum _{j=1}^{n}(\partial \beta _{j}/\partial q^{ i})_{\mathbf {q} }\cdot \alpha (\partial /\partial p_{j})_{\beta (\mathbf {q} )}=0,$$

eller motsvarande, för valfritt val av $n$ funktioner $p_{i}=\beta _{i}(\mathbf {q} ),$

$$\alpha _{q^{i}}(\mathbf { p} ,\mathbf {q} )+\sum _{j=1}^{n}\partial p_{j}/\partial q^{i}\cdot \alpha _{p_{j}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0.$$

Låt $\beta =\sum _{j=1}^{n}c_{j}dq^{j},$ där $c_{j}={\text{const}}.$ I det här fallet är $\beta _{j}=c_{j}.$ För varje $\mathbf {q} \in U$ och $c_{j}\in \mathbb {R} ,$

$$\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ){\bigl |}_{j=1\ ldots n}^{p_{j}=c_{j}}=0.$$

Detta visar att $\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0$ på $\mathbb {R} ^{n}\times U,$ och identiteten

$$\sum _{j=1}^{n}\partial p_{j}/\partial q^{i }\cdot \alpha _{p_{j}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0$$

måste gälla för ett godtyckligt val av funktioner $p_{i}=\beta _{i}(\mathbf {q} ).$ Om $\beta =\summa _{j= 1}^{n}c_{j}q^{j}dq^{j}$ (med ${}^{j}$ som anger upphöjd) sedan $\ beta _{j}=c_{j}q^{j},$ och identiteten blir

$$\alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ){\bigl |}_{j=1\ ldots n}^{p_{j}=c_{j}q^{j}}=0,$$

för varje $\mathbf {q} \in U$ och $c_{j}\in \mathbb {R} .$ Eftersom $c_{j}=p^{j}/q^{j},$ ser vi att $\alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0,$ så länge som $q^ {j}\neq 0$ för alla $j.$ Å andra sidan är funktionen $\alpha _{p_{i}}$ kontinuerlig, och därför är $\alpha _{ p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0$ på $\mathbb {R} ^{n}\times U.$

Så, genom kommuteringen mellan pull-back och den yttre derivatan,

$$\beta ^{*}\omega =-\beta ^{*}d\theta =-d(\beta ^{*}\theta )=-d\beta .$$

Handling

Om $H$ är en Hamiltonian på cotangensbunten och $X_{H}$ är dess Hamiltonian vektorfält , då ges motsvarande åtgärd $S$ av

$$S=\theta (X_{H}).$$

I mer prosaiska termer representerar det Hamiltonska flödet den klassiska banan för ett mekaniskt system som lyder Hamilton-Jacobis rörelseekvationer . Det Hamiltonska flödet är integralen av det Hamiltonska vektorfältet, och så skriver man med traditionell notation för aktionsvinkelvariabler :

$$S(E)=\summa _{i}\oint p_{i}\,dq^{i}$$

med integralen förstås ta över grenröret definierat genom att hålla energin $E$ konstant: $H=E={\text{const}}.$

På Riemannska och Pseudo-Riemannska grenrör

Om grenröret $Q$ har en Riemannisk eller pseudo-Riemannisk metrik $g,$ så kan motsvarande definitioner göras i termer av generaliserade koordinater . Specifikt om vi tar måttet för att vara en karta

$$g:TQ\to T^{*}Q,$$

definiera sedan

$$\Theta =g^{*}\theta$$

och

$$\Omega =-d\Theta =g^{*}\omega$$

I generaliserade koordinater $(q^{1},\ldots,q^{n},{\dot {q}}^{ 1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})$ på $TQ,$ har man

$$\Theta =\sum _{ij}g_{ij}{\dot {q}}^{i}dq^{j}$$

och

$$\Omega =\sum _{ij} g_{ij}\;dq^{i}\wedge d{\dot {q}}^{j}+\sum _{ijk}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{k }}}\;{\dot {q}}^{i}\,dq^{j}\wedge dq^{k}$$

Metriken låter en definiera en enhetsradiesfär i $T^{*}F.$ Den kanoniska enformen begränsad till denna sfär bildar en kontaktstruktur ; kontaktstrukturen kan användas för att generera det geodetiska flödet för detta mått.

•   Ralph Abraham och Jerrold E. Marsden , Foundations of Mechanics , (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X Se avsnitt 3.2 .