Maurer–Cartan form

I matematik är Maurer -Cartan-formen för en Lie-grupp $G$ en distingerad differentiell enform på $G$ som bär den grundläggande infinitesimala informationen om strukturen hos $G$ . Den användes mycket av Élie Cartan som en grundläggande ingrediens i hans metod för att flytta ramar, och bär hans namn tillsammans med Ludwig Maurers .

Som en enform är Maurer-Cartan-formen säregen genom att den tar sina värden i Lie-algebra associerad med Lie-gruppen $G$ . Lie-algebra identifieras med tangentrymden för G $vid$ identiteten, betecknad $T e G$ . Maurer–Cartan-formen $ω$ är alltså en enform definierad globalt på $G$ som är en linjär avbildning av tangentrymden $T g G$ vid varje $g \in G$ till $T e G$ . Det ges som framskjutningen av en vektor i $: Tg G$ längs vänsteröversättningen i gruppen

\omega (v)=(L_{g^{-1}})_{*}v,\quad v\in T_{g}G.

Motivation och tolkning

En Lie-grupp agerar på sig själv genom multiplikation under mappningen

G\times G\ni (g,h)\mapsto gh\in G.

En fråga av betydelse för Cartan och hans samtida var hur man identifierade ett huvudsakligt homogent utrymme för $G$ . Det vill säga ett grenrör $P$ som är identiskt med gruppen $G$ , men utan ett fast val av enhetselement. Denna motivation kom delvis från Felix Kleins Erlangen -program där man var intresserad av en föreställning om symmetri på ett utrymme, där symmetrierna i utrymmet var transformationer som bildade en Lie-grupp. Geometrierna av intresse var homogena utrymmen $G / H$ , men vanligtvis utan ett fast val av ursprung motsvarande coseten $eH$ .

Ett huvudsakligt homogent utrymme för $G$ är ett mångfaldigt $P$ som abstrakt kännetecknas av att ha en fri och transitiv verkan av $G$ på $P$ . Maurer -Cartan-formen ger en lämplig oändligt liten karaktärisering av det huvudsakliga homogena rummet. Det är en enform definierad på $P$ som uppfyller ett integrerbarhetsvillkor som kallas Maurer-Cartan-ekvationen. Med hjälp av detta integrerbarhetsvillkor är det möjligt att definiera den exponentiella kartan av Lie-algebra och på detta sätt erhålla, lokalt, en gruppåtgärd på $P$ .

Konstruktion

Inneboende konstruktion

Låt $g ≅ T e G$ vara tangentrummet för en Lie-grupp $G$ vid identiteten (dess Lie-algebra ) . $G$ agerar på sig själv genom vänsteröversättning

L:G\times G\to G

så att vi för ett givet $g \in G$ har

L_{g}:G\to G\quad {\mbox{där}}\quad L_{g}(h)=gh,

och detta inducerar en karta av tangentknippet till sig själv: $(L_{g})_{*}:T_{h}G\to T_{gh}G.$ Ett vänsterinvariant vektorfält är ett avsnitt $X$ av $T G$ så att

(L_{g})_{*}X=X\quad \forall g\in G.

Maurer –Cartan-formen $ω$ är en $g$ -värderad enform på $G$ definierad på vektorer $v \in T g G$ av formeln

\omega _{g}(v)=(L_{g^{-1}})_{*}v.

Extrinsisk konstruktion

Om $G$ är inbäddad i $GL(n)$ av en matrisvärderad mappning $g =(g ij)$ , då kan man skriva $ω$ explicit som

\omega _{g}=g^{-1}\,dg.

I denna mening är Maurer-Cartan-formen alltid den vänstra logaritmiska derivatan av identitetskartan för $G$ .

Karakterisering som en koppling

Om vi betraktar Lie-gruppen $G$ som en huvudbunt över ett mångfald som består av en enda punkt så kan Maurer-Cartan-formen också karaktäriseras abstrakt som den unika huvudkopplingen på huvudbunten $G$ . Det är faktiskt den unika $g = T e G$ värderad $1$ -form på $G$ som uppfyller

$\omega _{e}=\mathrm {id} :T_{e}G\rightarrow {\mathfrak {g}},{\text{ och} }$
$\forall g\in G\quad \omega _{g}=\mathrm {Ad} (h)(R_{h}^{*}\omega _{e}),{\text{ där }}h=g^{-1},$

där $R h *$ är tillbakadragningen av former längs den högra översättningen i gruppen och $Ad(h)$ är den adjunkta åtgärden på Lie-algebra.

Egenskaper

Om $X$ är ett vänsterinvariant vektorfält på $G$ , då är $ω (X)$ konstant på $G$ . Dessutom, om $X$ och $Y$ båda är vänsterinvarianta, då

\omega ([X,Y])=[\omega (X),\omega (Y)]

där hakparentesen på vänster sida är Lie-parentesen av vektorfält och hakparentesen på höger sida är hakparentesen på Lie-algebra $g$ . (Detta kan användas som definition av parentesen på $g$ .) Dessa fakta kan användas för att fastställa en isomorfism av Lie-algebra

{\mathfrak {g}}=T_{e}G\cong \{{\hbox{vänsterinvarianta vektorfält på G}}\}.

Enligt definitionen av den yttre derivatan , om $X$ och $Y$ är godtyckliga vektorfält då

d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y]).

Här är $ω (Y)$ den $g$ -värdade funktionen som erhålls genom dualitet från att para enformen $ω$ med vektorfältet $Y$ , och $X (ω (Y))$ är Lie-derivatan av denna funktion längs $X$ . På liknande sätt $Y (ω (X))$ Lie-derivatan längs $Y$ av den $g$ -värderade funktionen $ω (X)$ .

I synnerhet om $X$ och $Y$ är vänsterinvarianta, då

X(\omega (Y))=Y(\omega (X))=0,

så

d\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)]=0

men de vänsterinvarianta fälten sträcker sig över tangentrymden vid vilken punkt som helst (framskjutningen av en bas i $T e G$ under en diffeomorfism är fortfarande en bas), så ekvationen är sann för alla par av vektorfält $X$ och $Y$ . Detta är känt som Maurer-Cartan-ekvationen . Det skrivs ofta som

d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]=0.

Här betecknar $[ω, ω]$ parentesen av Lie algebra-värderade former .

Maurer–Cartan ram

Man kan också se Maurer-Cartan-formen som konstruerad från en Maurer-Cartan-ram . Låt $E i$ vara en bas av sektioner av $T G$ som består av vänsterinvarianta vektorfält, och $θ j$ vara den dubbla basen för sektioner av $T * G$ så att $θ j (E i) = δ i j$ , Kronecker deltat . Då $E i$ en Maurer–Cartan-ram, och $θ i$ är en Maurer–Cartan-samram .

Eftersom $E i$ är vänsterinvariant, returnerar man helt enkelt värdet av $E i$ vid identiteten om man använder formen Maurer-Cartan på den. Således $ω (E i) = E i (e) \in g$ . Således kan formen Maurer–Cartan skrivas

\omega =\sum _{i}E_{i}(e)\otimes \theta ^{i}.

()

Antag att Lie-parenteserna för vektorfälten $E i$ ges av

[E_{i},E_{j}]=\sum _{k}{c_{ij}}^{k}E_{k}.

Storheterna $c ij k$ är strukturkonstanterna för Lie-algebra (relativt basen $E i$ ). En enkel beräkning, med användning av definitionen av den yttre derivatan $d$ , ger avkastning

d\theta ^{i}(E_{j},E_{k})=-\theta ^{i}([E_{j},E_{k}] )=-\summa _{r}{c_{jk}}^{r}\theta ^{i}(E_{r})=-{c_{jk}}^{i}=-{\frac {1 }{2}}({c_{jk}}^{i}-{c_{kj}}^{i}),

så att genom dualitet

d\theta ^{i}=-{\frac {1}{2}}\sum _{jk}{c_{jk}}^{i}\theta ^{j}\wedge \theta ^{ k}.

()

Denna ekvation kallas också ofta för Maurer–Cartan-ekvationen . För att relatera det till den tidigare definitionen, som bara involverade Maurer-Cartan-formen $ω$ , ta den yttre derivatan av (1) :

d\omega =\sum _{i}E_{i}(e)\otimes d\theta ^{i}\,=\,-{\frac {1}{2}}\sum _{ijk }{c_{jk}}^{i}E_{i}(e)\otimes \theta ^{j}\wedge \theta ^{k}.

Ramkomponenterna ges av

d\omega (E_{j},E_{k})=-\sum _{i}{c_{jk}}^{i}E_{i}(e)=-[E_{ j}(e),E_{k}(e)]=-[\omega (E_{j}),\omega (E_{k})],

som fastställer ekvivalensen mellan de två formerna av Maurer-Cartan-ekvationen.

På ett homogent utrymme

Maurer-Cartan former spelar en viktig roll i Cartans metod att flytta ramar . I detta sammanhang kan man se Maurer-Cartan-formen som en $1$ -form definierad på den tautologiska huvudbunt som är förknippad med ett homogent utrymme . Om $H$ är en sluten undergrupp av $G$ , så är $G / H$ ett jämnt grenrör med dimensionen $dim G - dim H$ . Kvotenskartan $G \to G / H$ inducerar strukturen av ett $H$ -huvudknippe över $G / H$ . Maurer–Cartan-formen på Lie-gruppen $G$ ger en platt Cartan-koppling för denna huvudbunt. I synnerhet, om $H = {e$ }, så är denna Cartan-koppling en vanlig anslutningsform , och vi har

d\omega +\omega \wedge \omega =0

vilket är villkoret för att krökningen försvinner.

I metoden att flytta ramar betraktar man ibland en lokal del av den tautologiska bunten, säg $s : G / H \to G$ . (Om man arbetar på en undergren av det homogena utrymmet behöver $s$ bara vara en lokal sektion över undergrenröret.) Tillbakadragningen av Maurer-Cartan-formen längs $s$ definierar en icke-degenererad $g$ -värd $1$ -form $θ = s * ω$ över basen. Maurer-Cartan-ekvationen antyder det

d\theta +{\frac {1}{2}}[\theta ,\theta ]=0.

Dessutom, om $s U$ och $s V$ är ett par lokala sektioner definierade över öppna uppsättningar $U$ och $V$ , så är de relaterade av ett element av $H$ i varje fiber i bunten:

h_{UV}(x)=s_{V}\circ s_{U}^{-1}(x),\quad x\in U\cap V.

Differentialen för $h$ ger ett kompatibilitetsvillkor som relaterar de två sektionerna på överlappningsområdet:

\theta _{V}=\operatörsnamn {Ad} (h_{UV}^{-1})\ theta _{U}+(h_{UV})^{*}\omega _{H}

där $ω H$ är Maurer–Cartan-formen på gruppen $H$ .

Ett system av icke-degenererade $g$ -värda $1$ -former $θ U$ definierade på öppna uppsättningar i ett grenrör $M$ , som uppfyller Maurer-Cartans strukturella ekvationer och kompatibilitetsvillkoren ger grenröret $M$ lokalt strukturen av det homogena utrymmet $G / H$ . Med andra ord finns det lokalt en diffeomorfism av $M$ i det homogena utrymmet, så att $θ U$ är tillbakadragningen av Maurer-Cartan-formen längs någon sektion av det tautologiska knippet. Detta är en konsekvens av förekomsten av primitiver av Darboux-derivatet .

Anteckningar

Cartan, Élie (1904). "Sur la structure des groupes infinis de transformations" (PDF) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 21 : 153–206. doi : 10.24033/asens.538 .
RW Sharpe (1996). Differentialgeometri: Cartans generalisering av Kleins Erlangen-program . Springer-Verlag, Berlin. ISBN 0-387-94732-9 .
Shlomo Sternberg (1964). "Kapitel V, Lie-grupper. Avsnitt 2, Invarianta former och Lie-algebra.". Föreläsningar om differentialgeometri . Prentice-Hall. LCCN 64-7993 .