Regelbunden betingad sannolikhet

Inom sannolikhetsteorin är regelbunden betingad sannolikhet ett begrepp som formaliserar begreppet betingning av utfallet av en stokastisk variabel . Den resulterande villkorade sannolikhetsfördelningen är en parametriserad familj av sannolikhetsmått som kallas en Markov-kärna .

Definition

Villkorlig sannolikhetsfördelning

Betrakta två slumpvariabler $X,Y:\Omega \to \mathbb {R}$ . Den villkorliga sannolikhetsfördelningen av Y givet X är en funktion med två variabla $\kappa _{Y|X}:\mathbb {R} \times {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to [0 ,1]$

Om den slumpmässiga variabeln X är diskret

$\kappa _{Y|X}(x,A)=P(Y\in A|X=x)={\begin{cases}{\frac {P(Y\in A,X=x) }{P(X=x)}}&{\text{ if }}P(X=x)>0\\{\text{godtyckligt värde}}&{\text{ annars}}.\end{cases} }$

Om de slumpmässiga variablerna X , Y är kontinuerliga med densiteten $f_{X,Y}(x,y)$ .

$\kappa _{Y|X}(x,A)={\begin{cases}{\frac {\int _{A}f_{X,Y}(x,y)\mathrm {d} y }{\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\mathrm {d} y}}&{\text{ if }}\int _{\mathbb {R} }f_ {X,Y}(x,y)\mathrm {d} y>0\\{\text{godtyckligt värde}}&{\text{ annars}}.\end{cases}}$

En mer generell definition kan ges i termer av villkorad förväntan . Betrakta en funktion $e_{Y\in A}:\mathbb {R} \to [0,1]$ som uppfyller

$e_{Y\in A}(X(\omega ))=\mathbb {E} [1_{Y\in A}|X](\omega )$

för nästan alla $\omega$ . Då ges den betingade sannolikhetsfördelningen av

$\kappa _{Y|X}(x,A)=e_{Y\in A}(x).$

Precis som med villkorad förväntan kan detta generaliseras ytterligare till att villkora på en sigmaalgebra ${\mathcal {F}}$ . I så fall är den villkorliga fördelningen en funktion $\Omega \times {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to [0,1]$ :

$\kappa _{Y|{\mathcal {F}}}(\omega ,A)=\mathbb {E} [1_{Y\in A}|{\mathcal {F}}]$

Regelbundenhet

För att arbeta med $\kappa _{Y|X}$ , det är viktigt att det är regelbundet , det vill säga:

1. För nästan alla x , $A\mapsto \kappa _{Y|X}(x,A)$ är ett sannolikhetsmått
2. För alla A , $x\mapsto \kappa _{Y|X}(x,A)$ är en mätbar funktion

Med andra ord $\kappa _{Y|X}$ är en Markov-kärna .

Det första villkoret gäller trivialt, men beviset för det andra är mer involverat . Det kan visas att om Y är ett slumpmässigt element $\Omega \to S$ i ett radonutrymme S , så finns det ett $\kappa _{Y|X}$ som uppfyller mätbarhetsvillkoret. Det är möjligt att konstruera mer generella utrymmen där en regelbunden betingad sannolikhetsfördelning inte existerar.

Förhållande till villkorad förväntan

För diskreta och kontinuerliga slumpvariabler kan den betingade förväntan uttryckas som

${\begin{aligned}\mathbb {E} [Y|X=x]&=\summa _{y}y\,P(Y=y|X=x) \\\mathbb {E} [Y|X=x]&=\int y\,f_{Y|X}(x,y)\mathrm {d} y\end{aligned}}$

där $f_{Y|X}(x,y)$ är den villkorliga densiteten för Y givet X .

Detta resultat kan utökas till att mäta teoretiska villkorliga förväntan med hjälp av den vanliga villkorliga sannolikhetsfördelningen:

$\mathbb {E} [Y|X](\omega )=\int y\,\kappa _{Y|\sigma (X)}(\omega ,\ mathrm {d} y)$ .

Formell definition

Låt $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ vara ett sannolikhetsutrymme och låt $T:\Omega \rightarrow E$ vara en slumpvariabel , definierad som en Borel- mätbar funktion från $\Omega$ till dess tillståndsrymd $(E,{\mathcal {E}})$ . Man bör tänka på $T$ som ett sätt att "sönderdela" sampelutrymmet $\Omega$ till $\{T^{-1} (x)\}_{x\in E}$ . Genom att använda sönderdelningssatsen från måttteorin låter den oss "sönderdela" måttet $P$ till en samling mått, en för varje $x\in E$ . Formellt definieras en vanlig betingad sannolikhet som en funktion $\nu :E\times {\mathcal {F}}\rightarrow [0,1],$ kallad " övergångssannolikhet", där:

• För varje ${\displaystyle x\in E} är$$\nu (x,\cdot )$ ett sannolikhetsmått på ${\mathcal {F}}$ . Därför tillhandahåller vi ett mått för varje $x\in E$ .
• För alla $A\in {\mathcal {F}}$ , $\nu (\cdot ,A)$ (en mappning $E\to [0,1]$ ) är ${\mathcal {E}}$ -mätbar, och
• För alla $A\in {\mathcal {F}}$ och alla $B\in {\mathcal {E}}$

$P{\big (}A\cap T^{-1}(B){\big )}=\int _{B}\nu (x,A)\,P{\big (}T^ {-1}(dx){\big )}.$

där $P\circ T^{-1}$ är pushforward-måttet $T_{*}P$ för fördelningen av det slumpmässiga elementet $T$ , $x\in \mathrm {supp} \,T,$ dvs stödet för $T_{*}P$ . Specifikt, om vi tar $B=E$ , då $A\cap T^{-1}(E)=A$ , och så

$P(A)=\int _{E}\nu (x,A)\,P{\big (}T^{-1}(dx){\big )}$ ,

där $\nu (x,A)$ kan betecknas med mer bekanta termer $P(A\ |\ T=x)$ .

Alternativ definition

Betrakta ett radonutrymme $\Omega$ (det vill säga ett sannolikhetsmått definierat på ett radonutrymme som är försett med Borel sigma-algebra) och en reellt värderad slumpvariabel T . Som diskuterats ovan finns det i detta fall en regelbunden betingad sannolikhet med avseende på T . Dessutom kan vi alternativt definiera den reguljära villkorliga sannolikheten för en händelse A givet ett visst värde t av den slumpmässiga variabeln T på följande sätt:

$P(A|T=t)=\lim _{U\supset \{T =t\}}{\frac {P(A\cap U)}{P(U)}},$

där gränsen tas över nätet av öppna kvarter U av t allt eftersom de blir mindre med avseende på inkludering av sats . Denna gräns definieras om och endast om sannolikhetsutrymmet är Radon , och endast som stöd för T , som beskrivs i artikeln. Detta är begränsningen av övergångssannolikheten till stöd för T . För att noggrant beskriva denna begränsande process:

För varje $\epsilon >0,$ finns det ett öppet område U för händelsen { T=t }, så att för varje öppen V med $\ {T=t\}\subset V\subset U,$

$\left|{\frac {P(A\cap V)}{P(V)}}-L\right|<\epsilon ,$

där $L=P(A|T=t)$ är gränsen.

Se även

• Konditionering (sannolikhet)
• Upplösningsteorem
• Vidhäftande punkt
• Gränspunkt

externa länkar

• Regelbunden villkorlig sannolikhet på PlanetMath