Nonabelsk algebraisk topologi
I matematik studerar icke-abelsk algebraisk topologi en aspekt av algebraisk topologi som involverar (oundvikligen icke-kommutativa) högredimensionella algebror .
Många av de högre dimensionella algebraiska strukturerna är icke-kommutativa och därför är deras studie en mycket viktig del av icke-abelsk kategoriteori , och även av Nonabelian Algebraic Topology (NAAT), som generaliserar till idéer med högre dimensioner som kommer från den fundamentala gruppen . Sådana algebraiska strukturer i dimensioner större än 1 utvecklar den icke-abelska karaktären hos den fundamentala gruppen, och de är i en exakt mening " mer icke-abelska än grupperna" . Dessa icke-kommutativa, eller mer specifikt, icke-abelska strukturer återspeglar mer exakt de geometriska komplikationerna av högre dimensioner än de kända homologi- och homotopigrupperna som vanligtvis förekommer i klassisk algebraisk topologi .
En viktig del av icke-abelsk algebraisk topologi handlar om egenskaperna och tillämpningarna av homotopigruppoider och filtrerade utrymmen. Icke-kommutativa dubbla gruppoider och dubbla algebroider är bara de första exemplen på sådana högredimensionella strukturer som är icke-abelska. De nya metoderna för Nonabelian Algebraic Topology (NAAT) "kan användas för att bestämma homotopi-invarianter av utrymmen och homotopiklassificering av kartor, i fall som inkluderar några klassiska resultat och tillåter resultat som inte är tillgängliga med klassiska metoder" . Kubiska omega-grupper, gruppoider med högre homotopi , korsade moduler , korsade komplex och Galois-gruppoider är nyckelbegrepp i utvecklingen av applikationer relaterade till homotopi av filtrerade utrymmen, högre dimensionella rymdstrukturer, konstruktionen av den grundläggande groupoiden av en topos E i den allmänna teorin av topoi, och även i deras fysiska tillämpningar i icke-abelska kvantteorier, och den senaste utvecklingen inom kvantgravitation, såväl som kategorisk och topologisk dynamik . Ytterligare exempel på sådana tillämpningar inkluderar generaliseringarna av icke-kommutativa geometriformaliseringar av de icke-kommutativa standardmodellerna via fundamentala dubbla gruppoider och rumtidsstrukturer som är ännu mer generella än topoi eller de lägre dimensionella icke-kommutativa rymdtiderna som påträffas i flera topologiska kvantfältteorier och icke-kommutativa geometriteorier om kvantgravitation .
Ett grundläggande resultat i NAAT är den generaliserade, högre homotopi- van Kampen-satsen bevisad av R. Brown, som säger att "homotopitypen för ett topologiskt utrymme kan beräknas av en lämplig kolimit eller homotopi kolimit över homotopityper av dess delar" . Ett relaterat exempel är van Kampens satser för kategorier av täckande morfismer i lextensiva kategorier. Andra rapporter om generaliseringar av van Kampens satser inkluderar påståenden för 2-kategorier och en topos av topoi [1] . Viktiga resultat i högredimensionell algebra är även utvidgningarna av Galois-teorin i kategorier och variabelkategorier, eller indexerade/'parametriserade' kategorier. Joyal-Tierney-representationssatsen för topoi är också en generalisering av Galois-teorin. Indexering med bikategorier i betydelsen Benabou är alltså också inkluderar här Joyal-Tierney-teorin.
- Brown, Ronald (Bangor University, Storbritannien) ; Higgins, Philip J. (Durham University, Storbritannien); Sivera, Rafael (Universitetet i Valencia, Spanien) (2010). Icke-abeliask algebraisk topologi: filtrerade utrymmen, korsade komplex, kubiska homotopi-groupoider . Trakter i matematik. Vol. 15. European Mathematical Society. sid. 670. ISBN 978-3-03719-083-8 .