Fundamental groupoid

I algebraisk topologi är den fundamentala groupoiden en viss topologisk invariant av ett topologiskt utrymme . Det kan ses som en förlängning av den mer allmänt kända fundamentala gruppen ; som sådan fångar den information om homotopitypen för ett topologiskt utrymme. När det gäller kategoriteorin är den fundamentala groupoiden en viss funktor från kategorin topologiska rum till kategorin groupoider .

[...] människor envisas fortfarande, när de räknar med fundamentala grupper, med att fastställa en enda baspunkt, istället för att på ett smart sätt välja ett helt paket av punkter som är oföränderligt under symmetrierna i situationen, som alltså går vilse på vägen. I vissa situationer (som härkomstsatser för fundamentala grupper à la Van Kampen) är det mycket mer elegant, till och med oumbärligt för att förstå något, att arbeta med fundamentala groupoider med avseende på ett lämpligt paket av baspunkter, [,,,]

— Alexander Grothendieck , Esquisse d'un Program (avsnitt 2, engelsk översättning )

Definition

Låt $X$ vara ett topologiskt rum . Betrakta ekvivalensrelationen på kontinuerliga banor i $X$ där två kontinuerliga banor är ekvivalenta om de är homotopa med fasta ändpunkter. Den fundamentala groupoiden tilldelar varje ordnat par av punkter $(p, q)$ i $X$ samlingen av ekvivalensklasser av kontinuerliga banor från $p$ till $q$ . Mer generellt begränsar den fundamentala groupoiden av $X$ på en mängd S $den$ fundamentala groupoiden till de punkter som ligger i både $X$ och $S.$ Detta möjliggör en generalisering av Van Kampens sats med två baspunkter för att beräkna cirkelns fundamentala grupp.

Som antyds av dess namn har den fundamentala groupoiden av $X$ naturligtvis strukturen av en groupoid . I synnerhet utgör den en kategori; objekten anses vara punkterna i $X$ och samlingen av morfismer från $p$ till $q$ är samlingen av ekvivalensklasser som ges ovan. Det faktum att detta uppfyller definitionen av en kategori motsvarar standardfaktumet att ekvivalensklassen för sammanlänkningen av två vägar endast beror på ekvivalensklasserna för de individuella vägarna. På samma sätt, det faktum att denna kategori är en groupoid, som hävdar att varje morfism är inverterbar, motsvarar standardfaktumet att man kan vända orienteringen av en väg, och ekvivalensklassen för den resulterande sammankopplingen innehåller den konstanta vägen.

Observera att den fundamentala groupoiden tilldelar, till det ordnade paret $(p, p)$ , den fundamentala gruppen av $X$ baserat på $p$ .

Grundläggande egenskaper

Givet ett topologiskt utrymme $X är$ de väganslutna komponenterna av $X$ naturligt kodade i dess fundamentala groupoid; observationen är att $p$ och $q$ är i samma vägkopplade komponent av $X$ om och endast om samlingen av ekvivalensklasser av kontinuerliga banor från $p$ till $q$ är tom. I kategoriska termer är påståendet att objekten $p$ och $q$ är i samma groupoidkomponent om och endast om uppsättningen av morfismer från $p$ till $q$ är icke-tom.

Antag att $X$ är vägkopplad, och fixa ett element $p$ av $X$ . Man kan se grundgruppen $π 1 (X, p)$ som en kategori; det finns ett objekt och morfismerna från det till sig självt är elementen i $π 1 (X, p)$ . Valet, för varje $q$ i $M$ , av en kontinuerlig bana från $p$ till $q$ , tillåter en att använda sammanlänkning för att se vilken bana som helst i $X$ som en slinga baserad på $p$ . Detta definierar en ekvivalens av kategorier mellan $π 1 (X, p)$ och den fundamentala groupoiden av $X$ . Mer exakt uppvisar detta $π 1 (X, p)$ som ett skelett av den fundamentala groupoiden av $X$ .

Den fundamentala groupoiden av ett (väg-anslutet) differentierbart grenrör $X$ är faktiskt en Lie groupoid , som uppstår som gauge groupoid av det universella höljet av $X$ .

Paket med grupper och lokala system

Givet ett topologiskt utrymme $X är$ ett lokalt system en funktor från den fundamentala groupoiden av $X$ till en kategori. Som ett viktigt specialfall är en bunt av (abelska) grupper på $X$ ett lokalt system värderat i kategorin (abelska) grupper. Detta är att säga att en grupp av grupper på $X$ tilldelar en grupp $G p$ till varje element $p$ av $X$ och tilldelar en grupphomomorfism $G p \to G q$ till varje kontinuerlig väg från $p$ till $q$ . För att vara en funktor krävs att dessa grupphomomorfismer är kompatibla med den topologiska strukturen, så att homotopiska banor med fasta ändpunkter definierar samma homomorfism; vidare måste gruppen homomorfismer sammansättas i enlighet med sammanlänkning och inversion av vägar. Man kan definiera homologi med koefficienter i ett knippe av abelska grupper.

När $X$ uppfyller vissa villkor kan ett lokalt system på motsvarande sätt beskrivas som en lokalt konstant sträng .

Exempel

Den grundläggande groupoiden i singelrummet är den triviala groupoiden (en groupoid med ett objekt * och en morfism $Hom(*, *) = { id * : * \to *$ }
Cirkelns fundamentala groupoid är ansluten och alla dess vertexgrupper är isomorfa till $(\mathbb {Z} ,+)$ , den additiva gruppen av heltal .

Homotopihypotesen

Homotopihypotesen , en välkänd gissning inom homotopiteorin formulerad av Alexander Grothendieck , säger att en lämplig generalisering av den fundamentala groupoiden , känd som den fundamentala ∞-groupoiden , fångar all information om ett topologiskt utrymme upp till svag homotopiekvivalens .

Ronald Brown . Topologi och groupoider. Tredje upplagan av Elements of modern topology [McGraw-Hill, New York, 1968]. Med 1 CD-ROM (Windows, Macintosh och UNIX). BookSurge, LLC, Charleston, SC, 2006. xxvi+512 s. ISBN 1-4196-2722-8
Brown, R., Higgins, PJ och Sivera, R., Nonabelsk algebraisk topologi: filtrerade utrymmen, korsade komplex, kubiska homotopi-groupoider. Tracts in Mathematics Vol 15. European Mathematical Society (2011). (663+xxv sidor) ISBN 978-3-03719-083-8

J. Peter May . En kortfattad kurs i algebraisk topologi. Chicago föreläsningar i matematik. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1999. x+243 s. ISBN 0-226-51182-0 , 0-226-51183-9
Edwin H. Spanier . Algebraisk topologi. Rättad nytryck av 1966 års original. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1981. xvi+528 s. ISBN 0-387-90646-0
George W. Whitehead . Element av homotopi teori. Graduate Texts in Mathematics, 61. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978. xxi+744 s. ISBN 0-387-90336-4

externa länkar

Webbplatsen för Ronald Brown, en framstående författare i ämnet groupoids i topologi: http://groupoids.org.uk/
fundamental groupoid vid n Lab
fundamental infinity-groupoid på n Lab

^ Brown, Ronald (2006). Topologi och Groupoider . Akademisk sökning slutförd. North Charleston: CreateSpace . ISBN 978-1-4196-2722-4 . OCLC 712629429 .
^ Spanier, avsnitt 1.7; Lemma 6 och sats 7.
^ Spanier, avsnitt 1.7; Sats 8.
^ Spanier, avsnitt 1.7; Sats 9.
^ Maj, avsnitt 2.5.
^ Mackenzie, Kirill CH (2005). Allmän teori om Lie Groupoids och Lie Algebroids . London Mathematical Society föreläsningsanteckningsserie. Cambridge: Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9781107325883 . ISBN 978-0-521-49928-6 .
^ Spanier, kapitel 1; Övningar F.
^ Whitehead, avsnitt 6.1; sida 257.
^ Whitehead, avsnitt 6.2.

[1] Brown, Ronald (2006). Topologi och Groupoider . Akademisk sökning slutförd. North Charleston: CreateSpace . ISBN 978-1-4196-2722-4 . OCLC 712629429 .

[2] Spanier, avsnitt 1.7; Lemma 6 och sats 7.

[3] Spanier, avsnitt 1.7; Sats 8.

[4] Spanier, avsnitt 1.7; Sats 9.

[5] Maj, avsnitt 2.5.

[6] Mackenzie, Kirill CH (2005). Allmän teori om Lie Groupoids och Lie Algebroids . London Mathematical Society föreläsningsanteckningsserie. Cambridge: Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9781107325883 . ISBN 978-0-521-49928-6 .

[7] Spanier, kapitel 1; Övningar F.

[8] Whitehead, avsnitt 6.1; sida 257.

[9] Whitehead, avsnitt 6.2.