Kvotientkategori

För kvoten av en abelsk kategori med en Serre-underkategori , se Quotient av en abelsk kategori .

I matematik är en kvotkategori en kategori som erhålls från en annan genom att identifiera uppsättningar av morfismer . Formellt är det ett kvotobjekt i kategorin (lokalt små) kategorier , analogt med en kvotgrupp eller kvotutrymme , men i den kategoriska miljön.

Definition

Låt C vara en kategori. En kongruensrelation R på C ges av: för varje par av objekt X , Y i C , en ekvivalensrelation R _{X , Y} på Hom( X , Y ), så att ekvivalensrelationerna respekterar sammansättningen av morfismer. Det vill säga om

$f_{1},f_{2}:X\to Y\,$

är besläktade i Hom( X , Y ) och

$g_{1},g_{2}:Y\to Z\,$

är relaterade i Hom( Y , Z ), då är g ₁ f ₁ och g ₂ f ₂ relaterade i Hom( X , Z ).

Givet en kongruensrelation R på C kan vi definiera kvotkategorin C / R som den kategori vars objekt är de av C och vars morfismer är ekvivalensklasser av morfismer i C . Det är,

$\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}/R}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)/R_{X,Y }.$

Sammansättningen av morfismer i C / R är väldefinierad eftersom R är en kongruensrelation.

Egenskaper

Det finns en naturlig kvotfunktion från C till C / R som skickar varje morfism till sin ekvivalensklass. Denna funktion är bijektiv på objekt och surjektiv på Hom-uppsättningar (dvs. den är en fullständig funktion) .

Varje funktion F : C → D bestämmer en kongruens på C genom att säga f ~ g iff F ( f ) = F ( g ). Funktionsfaktorn F faktorerar sedan genom kvotfunktion C → C /~ på ett unikt sätt. Detta kan betraktas som det " första isomorfismteoremet " för kategorier.

Exempel

• Monoider och grupper kan betraktas som kategorier med ett objekt. I detta fall sammanfaller kvotkategorin med begreppet en kvotmonoid eller en kvotgrupp .
• Homotopikategorin för topologiska utrymmen hTop är en kvotkategori av Top , kategorin topologiska utrymmen . Ekvivalensklasserna av morfismer är homotopiklasser av kontinuerliga kartor.
• Låt k vara ett fält och betrakta den abelska kategorin Mod( k ) för alla vektorrum över k med k -linjära kartor som morfismer. För att "döda" alla ändligdimensionella rum kan vi kalla två linjära kartor f , g : X → Y kongruenta om deras skillnad har en ändlig dimensionell bild. I den resulterande kvotkategorin är alla ändliga dimensionella vektorrum isomorfa till 0. [Detta är faktiskt ett exempel på en kvot av additiva kategorier, se nedan.]

Relaterade begrepp

Kvotienter av tillsatskategorier modulo ideals

Om C är en additiv kategori och vi kräver att kongruensrelationen ~ på C är additiv (dvs om f ₁ , f ₂ , g ₁ och g ₂ är morfismer från X till Y med f ₁ ~ f ₂ och g ₁ ~ g ₂ , sedan f ₁ + g ₁ ~ f ₂ + g ₂ ), då kommer kvotkategorin C /~ också att vara additiv, och kvotfunktionen C → C /~ kommer att vara en additiv funktion.

Konceptet med en additiv kongruensrelation är ekvivalent med begreppet ett dubbelsidigt ideal av morfismer : för alla två objekt X och Y ges vi en additiv undergrupp I ( X , Y ) av Hom _C ( X , Y ) så att för alla f ∈ I ( X , Y ), g ∈ Hom _C ( Y , Z ) och h ∈ Hom _C ( W , X ), har vi gf ∈ I ( X , Z ) och fh ∈ I ( W , Y ) . Två morfismer i Hom _C ( X , Y ) är kongruenta om deras skillnad är i I ( X , Y ).

Varje enhetlig ring kan ses som en additiv kategori med ett enda objekt, och kvoten av additivkategorier definierade ovan sammanfaller i detta fall med begreppet en kvotring modulo ett dubbelsidigt ideal.

Lokalisering av en kategori

Lokaliseringen av en kategori introducerar nya morfismer för att förvandla flera av den ursprungliga kategorins morfismer till isomorfismer. Detta tenderar att öka antalet morfismer mellan objekt, snarare än att minska det som i fallet med kvotkategorier. Men i båda konstruktionerna händer det ofta att två objekt blir isomorfa som inte var isomorfa i den ursprungliga kategorin.

Serre kvoter av abelska kategorier

Serre -kvoten för en abelsk kategori med en Serre-underkategori är en ny abelsk kategori som liknar en kvotkategori men som också i många fall har karaktären av en lokalisering av kategorin.

• Mac Lane, Saunders (1998). Kategorier för den arbetande matematikern . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 5 (andra upplagan). Springer-Verlag.