Analytisk uppsättning

Inom det matematiska fältet för beskrivande mängdteori är en delmängd av ett polskt rymd $X$ en analytisk mängd om det är en kontinuerlig bild av ett polskt rum. Dessa uppsättningar definierades först av Luzin (1917) och hans elev Souslin (1917) .

Definition

Det finns flera motsvarande definitioner av analytisk uppsättning. Följande villkor på ett delrum A i ett polskt utrymme X är ekvivalenta:

A är analytisk.
A är tom eller en kontinuerlig bild av Baire-rummet ω ^ω .
A är ett Suslin-utrymme , med andra ord A är bilden av ett polskt utrymme under en kontinuerlig mappning.
A är den kontinuerliga bilden av en Borel i ett polskt utrymme.
A är en Suslin-uppsättning , bilden av Suslin-operationen .
Det finns ett polskt mellanslag $Y$ och en Borel -uppsättning $B\subseteq X\times Y$ så att $A$ är projektionen av $B$ på $X$ ; det är,

A=\{x\in X|(\exists y\in Y)\langle x,y\rangle \in B\}.

A är projektionen av en sluten mängd i den kartesiska produkten av X med Baire-utrymmet.
A är projektionen av en G _δ- mängd i den kartesiska produkten av X med Cantor-mellanrummet 2 ^ω .

En alternativ karaktärisering, i det specifika, viktiga, fallet att $X$ är Baire-rymden ω ^ω , är att de analytiska mängderna är just projektionerna av träd på $\omega \times \omega$ . På liknande sätt är de analytiska delmängderna av Cantor space 2 ^ω exakt projektionerna av träd på $2\times \omega$ .

Egenskaper

Analytiska delmängder av polska utrymmen är stängda under räknebara fackföreningar och korsningar, kontinuerliga bilder och omvända bilder. Komplementet till en analytisk uppsättning behöver inte vara analytisk. Suslin bevisade att om komplementet till en analytisk uppsättning är analytisk så är uppsättningen Borel. (Omvänt är alla Borel-uppsättningar analytiska och Borel-uppsättningar är stängda under komplement.) Luzin bevisade mer generellt att två osammanhängande analytiska uppsättningar är åtskilda av en Borel-uppsättning: med andra ord finns det en Borel-uppsättning som inkluderar en och disjunkt från den andra. Detta kallas ibland "Luzin-separabilitetsprincipen" (även om det var implicit i beviset för Suslins teorem).

Analytiska uppsättningar är alltid Lebesgue-mätbara (i själva verket universellt mätbara ) och har Baires egendom och den perfekta uppsättningsegenskapen .

Projektiv hierarki

Analytiska mängder kallas också ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}$ (se projektiv hierarki ). Observera att det fetstilta teckensnittet i den här symbolen inte är Wikipedias konvention, utan snarare används distinkt från dess motsvarighet i ljust ansikte $\Sigma _{1}^{1}$ (se analytisk hierarki ). Komplementen av analytiska uppsättningar kallas koanalytiska uppsättningar , och uppsättningen koanalytiska uppsättningar betecknas med ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}$ . Skärningspunkten ${\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}={\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}\ cap {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}$ är uppsättningen av Borel-uppsättningar.

Se även

Projektion (måttteori)

El'kin, AG (2001) [1994], "Analytisk uppsättning" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Efimov, BA (2001) [1994], "Luzin separability principles" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Kechris, AS (1995), Classical Descriptive Set Theory , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94374-9
Luzin, NN (1917), "Sur la classification de M. Baire", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , Série I , 164 : 91–94
NN Lusin, "Leçons sur les ensembles analytiques et leurs applications", Gauthier-Villars (1930)
Moschovakis, Yiannis N. (1980), Descriptive Set Theory , North Holland, ISBN 0-444-70199-0
Martin, Donald A. : Mätbara kardinaler och analytiska spel. Fundamenta Mathematicae 66 (1969/1970), sid. 287-291.
Souslin, M. (1917), "Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis", Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 164 : 88–91