Kvotient av en abelsk kategori

I matematik är kvoten ( även kallad Serre-kvot eller Gabriel-kvot ) för en abelsk kategori ${\mathcal {A}}$ av en Serre-underkategori ${\mathcal {B}}$ den abelska kategorin ${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}$ som intuitivt erhålls från ${\mathcal {A}}$ genom att ignorera (dvs. behandla som noll ) objekt från ${\mathcal {B}}$ . Det finns en kanonisk exakt funktion ${\displaystyle Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}} vars kärna är$ B $\ displaystyle {\mathcal {B}}}$ och ${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}$ är i viss mening den mest allmänna abelska kategorin med denna egenskap.

Att bilda Serre-kvoter av abelska kategorier är alltså formellt besläktat med att bilda kvoter av grupper . Serre-kvoter påminner något om kvotkategorier , skillnaden är att med Serre-kvoter är alla inblandade kategorier abelska och alla funktioner är exakta. Serre-kvotienter har också ofta karaktären av lokaliseringar av kategorier , speciellt om underkategorin Serre är lokaliserande .

Definition

Formellt är ${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}$ kategorin vars objekt är de av ${\mathcal {A}}$ och vars morfismer från X till Y ges av den direkta gränsen (av abelska grupper )

$$\mathrm {Hom} _{{\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}(X,Y):=\varinjlim \mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(X',Y/Y')$$

där gränsen tas över delobjekt $X'\subseteq X$ och $Y'\subseteq Y$ så att $X/X'\ i {\cal {B}}$ och $Y'\in {\cal {B}}$ . (Här anger $X/X'$ och $Y/Y'$ kvotobjekt beräknade i $\displaystyle {\mathcal {A}}}$ { .) Dessa par av underobjekt är ordnade efter $(X',Y')\preccurlyeq,Y' (X'' ')\Longleftrightarrow X''\subseteq X'{\text{ och }}Y'\subseteq Y''$ .

Sammansättningen av morfismer i ${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}$ induceras av den direkta gränsens universella egenskap .

Den kanoniska funktorn $Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}$ skickar ett objekt X till sig själv och en morfism $f\colon X\to Y$ till motsvarande element i den direkta gränsen med X′ = X och Y′ = 0.

En alternativ, ekvivalent konstruktion av kvotkategorin använder vad som kallas en " bråkräkning " för att definiera morfismerna för ${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}$ . Här börjar man med klassen $S$ för de morfismerna i ${\mathcal {A}}$ vars kärna och cokernel båda tillhör ${\mathcal {B}}$ . Detta är ett multiplikativt system i Gabriel-Zismans mening, och man kan lokalisera kategorin ${\mathcal {A}}$ vid systemet $S$ för att erhålla ${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}:={\mathcal {A}}[S^{-1}]$ .

Exempel

Låt $k$ vara ett fält och betrakta den abelska kategorin ${\rm {Mod}}(k)$ av alla vektorrum över $k$ . Då är hela underkategorin ${\rm {mod}}(k)$ av ändligdimensionella vektorrum en Serre-underkategori av ${\rm {Mod }}(k)$ . Serre-kvotienten ${\cal {{C}={\rm {Mod}}(k)/{\rm {mod}}(k) }}$ har som objekt $k$ -vektorrymden, och uppsättningen morfismer från $X$ till $Y$ i ${\cal {C}}$ är

$$\{k{\text{-linjära kartor från }}X{\text{ till }} Y\}/\{k{\text{-linjära kartor från }}X{\text{ till }}Y{\text{ med ändlig dimensionell bild}}\}$$

(som är en kvot av vektorrum ). Detta har effekten att identifiera alla ändligdimensionella vektorrum med 0, och att identifiera två linjära kartor närhelst deras skillnad har en ändlig dimensionell bild . Det här exemplet visar att Serre-kvoten kan bete sig som en kvotkategori .

Som ett annat exempel, ta den abelska kategorin Ab för alla abelska grupper och underkategorin Serre för alla abelska torsionsgrupper . Serre-kvoten här motsvarar kategorin $\operatorname {Mod} ({\mathbb {Q}})$ av alla vektorrum över rationalerna, med den kanoniska funktorn $\mathbf {Ab} \to \operatorname {Mod} ({\mathbb {Q}})$ ges genom tensoring med ${\mathbb {Q}}$ . På liknande sätt är Serre-kvoten för kategorin ändligt genererade abelska grupper av underkategorin ändligt genererade torsionsgrupper ekvivalent med kategorin ändligt dimensionella vektorrum över Q {\ ${\mathbb {Q}}}$ . Här beter sig Serre-kvoten som en lokalisering .

Egenskaper

Serre-kvotienten ${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}$ är en abelsk kategori, och den kanoniska funktorn $Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}$ är exakt och surjektiv på objekt. Kärnan i $Q$ är ${\mathcal {B}}$ , dvs $Q(X)$ är noll i ${\mathcal { A}}/{\mathcal {B}}$ om och endast om $X$ tillhör ${\mathcal {B}}$ .

Serre-kvoten och den kanoniska funktorn kännetecknas av följande universella egenskap : om ${\mathcal {C}}$ är vilken abelsk kategori som helst och $F\colon {\mathcal {A}} \to {\mathcal {C}}$ är en exakt funktion så att $F(X)$ är en nolla i ${\mathcal {C}}$ för varje objekt $X\i {\mathcal {B}}$ , då finns det en unik exakt funktion ${\overline {F}}\colon {\mathcal {A}}/ {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}$ så att $F={\overline {F}}\circ Q$ .

Med tanke på tre abelska kategorier ${\mathcal {A}}$ , ${\mathcal {B}}$ , ${\mathcal {C}}$ har vi

${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}\cong {\mathcal {C}}$

om och endast om

det finns en exakt och i huvudsak surjektiv funktion $F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}$ vars kärna är ${\mathcal {B}}$ och så att för varje morfism $f:FX\to FY$ i ${\mathcal {C}}$ finns det morfismer $\phi :W\to X$ och $\psi :W\to Y$ i ${\mathcal {A}}$ så att $F\phi$ är en isomorfism och $f=(F\psi )\circ (F\phi )^{-1}$ .

Satser som involverar Serre-kvoter

Serres beskrivning av koherenta skivor på ett projektivt schema

Enligt ett teorem av Jean-Pierre Serre , kategorin $\operatorname {coh} (X)$ av koherenta skivor på ett projektivt schema $X=\operatorname {Proj} (R)$ (där $R$ är en kommutativ nothersk graderad ring , graderad av de icke-negativa heltal och genererad av grad-0 och ändligt många grad-1 element, och ${ \displaystyle \operatorname {Proj} (R)}$ refererar till Proj-konstruktionen ) kan beskrivas som Serre-kvotienten

$$\operatorname {coh} (X)\cong \operatorname {mod} ^{\mathbb {Z}}(R )\ /\ \operatörsnamn {mod} _{\mathrm {tor} }^{\mathbb {Z}}(R)$$

där $\operatorname {mod} ^{\mathbb {Z}}(R)$ anger kategorin av ändligt genererade graderade moduler över $R$ och $\operatorname {mod} _{\mathrm {tor} }^{\mathbb {Z}}(R)$ är Serre-underkategorin som består av alla de graderade modulerna $M$ som är 0 i alla grader som är tillräckligt höga, dvs för vilka det finns $n_{0}\in {\mathbb {N}}$ så att $M_{n}=0$ för alla $n\geq n_{0}$ .

En liknande beskrivning finns för kategorin kvasikoherenta skivor på ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)} ,$ även om $R$ inte är nothersk.

Gabriel–Popescus teorem

Gabriel –Popescu-satsen säger att varje Grothendieck-kategori ${\mathcal {A}}$ är ekvivalent med en Serre-kvot av formen $\operatorname {Mod} (R)/ {\cal {B}}$ , där $\operatorname {Mod} (R)$ anger den abelska kategorin för högra moduler över någon enhetlig ring $R$ och ${\cal {B}}$ är någon lokaliserande underkategori av $\operatorname {Mod} (R)$ .

Quillens lokaliseringssats

Daniel Quillens algebraiska K-teori definierar för varje exakt kategori ${\mathcal {C}}$ en sekvens av abelska grupper $K_{n}({\mathcal { C}}),\ n\geq 0$ , och denna uppgift är funktionell i ${\mathcal {C}}$ . Quillen bevisade att om ${\mathcal {B}}$ är en Serre-underkategori till den abelska kategorin ${\displaystyle {\mathcal {A}}},$ finns det en lång exakt sekvens av formen

$$\cdots \to K_{n} ({\mathcal {B}})\to K_{n}({\mathcal {A}})\to K_{n}({\mathcal {A/B}})\to K_{n-1}( {\mathcal {B}})\to \cdots \to K_{0}({\mathcal {A/B}})\to 0$$