Grothendieck kategori

Inom matematik är en Grothendieck-kategori en viss typ av abelsk kategori , introducerad i Alexander Grothendiecks Tôhoku -uppsats från 1957 för att utveckla maskineriet för homologisk algebra för moduler och för skivor på ett enhetligt sätt. Teorin om dessa kategorier utvecklades vidare i Pierre Gabriels framstående avhandling 1962.

Till varje algebraisk variant $V$ kan man associera en Grothendieck-kategori ${\displaystyle \operatorname {Qcoh} (V)} ,$ bestående av de kvasikoherenta skivorna på $V$ . Denna kategori kodar all relevant geometrisk information om $V$ och $V$ kan återställas från $\operatorname {Qcoh} (V)$ ( Gabriel–Rosenberg-rekonstruktionen teorem ). Detta exempel ger upphov till ett tillvägagångssätt för icke-kommutativ algebraisk geometri : studiet av "icke-kommutativa varianter" är då inget annat än studiet av (vissa) Grothendieck-kategorier.

Definition

Per definition är en Grothendieck-kategori ${\mathcal {A}}$ en AB5-kategori med en generator . Utskrivet betyder det det

• ${\mathcal {A}}$ är en abelsk kategori ;
• varje (möjligen oändlig) familj av objekt i ${\mathcal {A}}$ har en samprodukt (även känd som direkt summa) i ${\mathcal {A}}$ ;
• direkta gränser för korta exakta sekvenser är exakta; detta betyder att om ett direkt system av korta exakta sekvenser i ${\mathcal {A}}$ ges, så är den inducerade sekvensen av direkta gränser också en kort exakt sekvens. (Direkta gränser är alltid högerexakta ; det viktiga här är att vi kräver att de också är vänsterexakta .)
• ${\mathcal {A}}$ har en generator, dvs det finns ett objekt $G$ i ${\mathcal {A}}$ så att ${ \displaystyle \operatorname {Hom} (G,-)}$ är en trogen funktion från ${\mathcal {A}}$ till kategorin uppsättningar . (I vår situation motsvarar detta att säga att varje objekt $X$ av ${\mathcal {A}}$ medger en epimorfism $G^{(I) }\rightarrow X$ , där $G^{(I)}$ anger en direkt summa av kopior av $G$ , en för varje element i den (möjligen oändliga) mängden ${\ displaystyle I}$ .)

Namnet "Grothendieck-kategori" förekom varken i Grothendiecks Tôhoku-uppsats eller i Gabriels avhandling; den kom till användning under andra hälften av 1960-talet i flera författares verk, däribland Jan-Erik Roos, Bo Stenström, Ulrich Oberst och Bodo Pareigis. (Vissa författare använder en annan definition eftersom de inte kräver att det finns en generator.)

Exempel

• Det prototypiska exemplet på en Grothendieck-kategori är kategorin abelska grupper ; den abelska gruppen $\mathbb {Z}$ av heltal kan fungera som en generator.
• Mer generellt, givet valfri ring $R$ (associativ, med $1$ , men inte nödvändigtvis kommutativ), kategorin $\operatorname {Mod} (R)$ av alla höger (eller alternativt: vänster) moduler över $R$ är en Grothendieck-kategori; $R$ själv kan fungera som en generator.
• Med tanke på ett topologiskt utrymme ${\displaystyle X} är$ kategorin för alla skivor av abelska grupper på $X$ en Grothendieck-kategori. (Mer allmänt: kategorin för alla skivor av höger $R$ -moduler på $X$ är en Grothendieck-kategori för vilken ring ${\displaystyle R} som helst$ .)
• Givet ett ringmärkt utrymme ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} ,$ är kategorin av skivor av O _X -moduler en Grothendieck-kategori.
• Givet en (affin eller projektiv) algebraisk variant $V$ (eller mer allmänt: vilket schema som helst ), kategorin $\operatorname {Qcoh} (V)$ av kvasikoherenta skivor på $V$ är en Grothendieck-kategori.
• Givet en liten plats ( C , J ) (dvs en liten kategori C tillsammans med en Grothendieck-topologi J ), är kategorin för alla kärvar av abelska grupper på platsen en Grothendieck-kategori.

Konstruera ytterligare Grothendieck-kategorier

• Varje kategori som motsvarar en Grothendieck-kategori är i sig en Grothendieck-kategori.
• Med tanke på Grothendieck-kategorierna ${\mathcal {A_{1}}},\ldots ,{\mathcal {A_{n}}}$ , produktkategorin ${ \displaystyle {\mathcal {A_{1}}}\times \ldots \times {\mathcal {A_{n}}}}$ är en Grothendieck-kategori.
• Givet en liten kategori ${\mathcal {C}}$ och en Grothendieck-kategori ${\mathcal {A}}$ , funktionskategorin $\operatorname {Funct } ({\mathcal {C}},{\mathcal {A}})$ , bestående av alla kovariansfunktioner från ${\mathcal {C}}$ till ${\mathcal {A}}$ , är en Grothendieck-kategori.
• Med tanke på en liten preadditiv kategori ${\mathcal {C}}$ och en Grothendieck-kategori ${\mathcal {A}}$ , funktionskategorin $\operatorname { Lägg till} ({\mathcal {C}},{\mathcal {A}})$ av alla additiva kovariantfunktioner från ${\mathcal {C}}$ till ${\mathcal {A}}$ är en Grothendieck-kategori.
• Om ${\mathcal {A}}$ är en Grothendieck-kategori och ${\mathcal {C}}$ är en lokaliserande underkategori till ${\displaystyle {\mathcal {A}}},$ då ${\mathcal {C}}$ och Serre-kvotkategorin ${\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}$ är Grothendieck-kategorier.

Egenskaper och satser

Varje Grothendieck-kategori innehåller en injektiv samgenerator . Till exempel är en injektiv samgenerator av kategorin abelska grupper kvotgruppen $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ .

Varje objekt i en Grothendieck kategori ${\mathcal {A}}$ har ett injektivt skrov i ${\mathcal {A}}$ . Detta gör det möjligt att konstruera injektiva upplösningar och därigenom användningen av verktygen för homologisk algebra i ${\displaystyle {\mathcal {A}}} ,$ för att definiera härledda funktorer . (Observera att inte alla Grothendieck-kategorier tillåter projektiva upplösningar för alla objekt; exempel är kategorier av skivor av abelska grupper på många topologiska utrymmen, till exempel på utrymmet för reella tal.)

I en Grothendieck-kategori har varje familj av subobjekt $(U_{i})$ av ett givet objekt $X$ en supremum (eller "summa") ${\textstyle \ summa _{i}U_{i}}$ såväl som ett infimum (eller "korsning") $\cap _{i}U_{i}$ , som båda återigen är subobjekt till ${\ displaystil X}$ . Vidare, om familjen $(U_{i})$ är riktad (dvs. för två objekt i familjen, finns det ett tredje objekt i familjen som innehåller de två), och $V$ är ett annat underobjekt till $X$ , vi har

$\sum _{i}(U_{i}\cap V)=\left(\sum _{i}U_{i}\right)\cap V.$

Grothendieck-kategorier är väldrivna (ibland kallade lokalt små , även om den termen också används för ett annat begrepp), dvs samlingen av subobjekt för ett givet objekt bildar en uppsättning (snarare än en riktig klass ).

Det är ett ganska djupt resultat att varje Grothendieck kategori ${\mathcal {A}}$ är komplett , dvs att godtyckliga gränser (och i synnerhet produkter ) finns i ${\mathcal {A}}$ . Däremot följer det direkt av definitionen att ${\mathcal {A}}$ är co-complete, dvs att godtyckliga colimits och coproducts (direkta summor) finns i ${\mathcal {A}}$ . Samprodukter i en Grothendieck-kategori är exakta (dvs. biprodukten av en familj av korta exakta sekvenser är återigen en kort exakt sekvens), men produkterna behöver inte vara exakta.

En funktion $F\colon {\cal {A}}\to {\cal {X}}$ från en Grothendieck-kategori ${\mathcal {A}}$ till en godtycklig kategori ${\mathcal {X}}$ har en vänsteradjoint om och endast om den pendlar med alla gränser, och den har en högeradjoint om och endast om den pendlar med alla colimits. Detta följer av Peter J. Freyds speciella adjoint funktorsats och dess dual.

Gabriel –Popescu-satsen säger att varje Grothendieck-kategori ${\mathcal {A}}$ motsvarar en fullständig underkategori av kategorin $\operatorname {Mod} (R)$ till höger moduler över någon enhetlig ring $R$ (som kan anses vara endomorfismen för en generator av ${\mathcal {A}}$ ), och ${\mathcal {A} }$ kan erhållas som en Gabriel-kvot av $\operatorname {Mod} (R)$ av någon lokaliserande underkategori .

Som en konsekvens av Gabriel–Popescu kan man visa att varje Grothendieck-kategori är lokalt presentabel . Dessutom kan Gabriel-Popescu användas för att se att varje Grothendieck-kategori är komplett, eftersom den är en reflekterande underkategori till den kompletta kategorin $\operatorname {Mod} (R)$ för vissa $R$ .

Varje liten abelisk kategori ${\mathcal {C}}$ kan bäddas in i en Grothendieck-kategori på följande sätt. Kategorin ${\mathcal {A}}:=\operatörsnamn {Lex} ({\mathcal {C}}^{op},\mathrm {Ab} )$ av vänsterexakta additiva (kovarianta) funktioner ${\mathcal {C}}^{op}\rightarrow \mathrm {Ab}$ (där $\mathrm {Ab }$ betecknar kategorin abelska grupper ) är en Grothendieck-kategori, och funktorn ${\displaystyle h\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}} ,$ med ${\displaystyle C\mapsto h_{C}=\operatörsnamn {Hom} (-,C)} ,$ är fullständig, trogen och exakt. En generator av ${\mathcal {A}}$ ges av samprodukten av alla $h_{C}$ , med $C\in {\mathcal {C}}$ . Kategorin ${\mathcal {A}}$ motsvarar kategorin ${\text{Ind}}({\mathcal {C}})$ för ind-objekt av ${ \displaystyle {\mathcal {C}}}$ och inbäddningen $h$ motsvarar den naturliga inbäddningen ${\mathcal {C}}\to {\text{Ind}}( {\mathcal {C}})$ . Vi kan därför se ${\mathcal {A}}$ som ett komplement till ${\mathcal {C}}$ .

Specialtyper av föremål och Grothendieck-kategorier

Ett objekt $X$ i en Grothendieck-kategori kallas ändligt genererat om, närhelst $X$ skrivs som summan av en familj av subobjekt av $X$ , så är det redan summan av en ändlig underfamilj. (I fallet ${\cal {A}}=\operatörsnamn {Mod} (R)$ av modulkategorier, motsvarar detta begrepp det välbekanta begreppet ändligt genererade moduler .) Epimorfisk bilder av ändligt genererade objekt genereras åter ändligt. Om $U\subseteq X$ och både $U$ och $X/U$ genereras ändligt, så är ${\displaystyle X} också$ . Objektet $X$ genereras ändligt om, och endast om, för något riktat system $(A_{i})$ i ${\cal {A}}$ där varje morfism är en monomorfism, den naturliga morfismen $\varinjlim \mathrm {Hom} (X,A_{i })\to \mathrm {Hom} (X,\varinjlim A_{i})$ är en isomorfism. En Grothendieck-kategori behöver inte innehålla några ändligt genererade objekt som inte är noll.

En Grothendieck-kategori kallas lokalt ändligt genererad om den har en uppsättning ändligt genererade generatorer (dvs. om det finns en familj $(G_{i})_{i\in I}$ av finitely genererade objekt så att det för varje objekt $X$ finns $i\in I$ och en morfism som inte är noll $G_{i}\rightarrow X$ ; motsvarande: $X$ är en epimorf bild av en direkt summa av kopior av ${\displaystyle G_{i}})$ . I en sådan kategori är varje objekt summan av dess ändligt genererade subobjekt. Varje kategori ${\cal {A}}=\operatörsnamn {Mod} (R)$ genereras ändligt lokalt.

Ett objekt $X$ i en Grothendieck-kategori kallas ändligt presenterat om det är ändligt genererat och om varje epimorfism $W\to X$ med ändligt genererad domän $W$ har en ändligt genererad kärna. Återigen, detta generaliserar begreppet ändligt presenterade moduler . Om $U\subseteq X$ och både $U$ och $X/U$ presenteras ändligt, så är ${\displaystyle X} det också$ . I en lokalt ändligt genererad Grothendieck kategori ${\cal {A}}$ kan de ändligt presenterade objekten karakteriseras enligt följande: $X$ i ${\cal {A}}$ är ändligt presenterad om, och endast om, för varje riktat system $(A_{i})$ i ${\cal {A}}$ , den naturliga morfismen $\varinjlim \mathrm {Hom} (X,A_{i})\to \mathrm {Hom} (X,\varinjlim A_{ i})$ är en isomorfism.

Ett objekt $X$ i en Grothendieck-kategori ${\cal {A}}$ kallas koherent om det presenteras ändligt och om vart och ett av dess ändligt genererade subobjekt också presenteras ändligt. (Detta generaliserar begreppet koherenta remsor på ett ringmärkt utrymme.) Den fullständiga underkategorin av alla koherenta objekt i ${\cal {A}}$ är abelsk och inklusionsfunktorn är exakt .

Ett objekt $X$ i en Grothendieck-kategori kallas Noetherian om mängden av dess subobjekt uppfyller det stigande kedjevillkoret , dvs. om varje sekvens $X_{1}\subseteq X_{2 }\subseteq \cdots$ av subobjekt av $X$ blir så småningom stationära. Detta är fallet om och endast om varje subobjekt av X genereras ändligt. (I fallet ${\cal {A}}=\operatörsnamn {Mod} (R)$ motsvarar detta begrepp det välbekanta begreppet Noetherian moduler .) En Grothendieck-kategori kallas lokalt Noetherian om den har en uppsättning Noetherian generatorer; ett exempel är kategorin vänstermoduler över en vänster- Noetherisk ring .

Anteckningar

• Popescu, Nicolae (1973). Abeliska kategorier med applikationer till ringar och moduler . Akademisk press.
•   Stenström, Bo T. (1975). Ringar av kvoter: En introduktion till metoder för ringteori . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-07117-6 .

externa länkar

• Tsalenko, M.Sh. (2001) [1994], "Grothendieck category" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Abelian Categories , anteckningar av Daniel Murfet. Avsnitt 2.3 omfattar Grothendieck-kategorier.