Spetsiga utrymme

I matematik är ett spetsigt utrymme eller baserat utrymme ett topologiskt utrymme med en distingerad punkt, baspunkten . Den särskiljande punkten är helt enkelt en speciell punkt, plockad ut från utrymmet och ges ett namn, såsom $x_{0},$ som förblir oförändrad under efterföljande diskussion och hålls reda på under alla operationer.

Kartor över spetsområden ( baserade kartor ) är kontinuerliga kartor som bevarar baspunkter, dvs. en karta $f$ mellan ett spetsigt utrymme $X$ med baspunkt $x_{0}$ och ett spetsigt utrymme $Y$ med baspunkt $y_{0}$ är en baserad karta om den är kontinuerlig med avseende på topologierna för $X$ och $Y$ och om $f\left(x_{0}\right)=y_{0}.$ Detta betecknas vanligtvis

$f:\left(X,x_{0}\right)\to \left(Y,y_{0}\right).$

Spetsiga utrymmen är viktiga i algebraisk topologi , särskilt i homotopyteori , där många konstruktioner, såsom den grundläggande gruppen , beror på ett val av baspunkt.

Det spetsiga uppsättningskonceptet är mindre viktigt; det är ändå fallet med ett spetsigt diskret utrymme .

Spetsiga utrymmen tas ofta som ett specialfall av den relativa topologin , där delmängden är en enda punkt. Således utvecklas mycket av homotopiteorin vanligtvis på spetsiga utrymmen och flyttas sedan till relativa topologier i algebraisk topologi .

Kategori av spetsiga utrymmen

Klassen för alla spetsiga utrymmen bildar en kategori Top _$\bullet$ med baspunkt som bevarar kontinuerliga kartor som morfismer . Ett annat sätt att tänka på den här kategorin är som kommakategori , ( $\{\bullet \}\downarrow$ Top ) där $\{\bullet \}$ är en punkt space and Top är kategorin topologiska utrymmen . (Detta kallas också en coslice-kategori betecknad $\{\bullet \}/$ Top .) Objekt i denna kategori är kontinuerliga kartor $\{\bullet \}\to X.$ Sådana kartor kan ses som att välja ut en baspunkt i $X.$ Morfismer i ( $\{\bullet \}\downarrow$ Top ) är morfismer i Top för vilka följande diagram pendlar :

Det är lätt att se att kommutativiteten för diagrammet är ekvivalent med villkoret att $f$ bevarar baspunkter.

Som ett spetsigt mellanslag är $\{\bullet \}$ ett nollobjekt i Top _{$\{\bullet \}$} , medan det bara är ett terminalobjekt i Top .

Det finns en glömsk funktion Top _{$\{\bullet \}$}$\to$ Top som "glömmer" vilken punkt som är baspunkten. Denna funktion har en vänsteradjoint som tilldelar varje topologiskt utrymme $X$ den disjunkta föreningen av $X$ och ett enpunktsutrymme $\{\bullet \}$ vars enda element tas för att vara baspunkten.

Operationer på spetsiga utrymmen

• Ett delrum till ett spetsigt utrymme $X$ är ett topologiskt delrum $A\subseteq X$ som delar sin baspunkt med $X$ så att inklusionskartan är baspunktsbevarande.
• Man kan bilda kvoten av ett spetsigt mellanslag $X$ under vilken ekvivalensrelation som helst . Baspunkten för kvoten är bilden av baspunkten i $X$ under kvotkartan.
• Man kan bilda produkten av två spetsiga mellanslag $\left(X,x_{0}\right),$$\left(Y,y_{0}\ höger)$ som den topologiska produkten $X\ gånger Y$ med $\left(x_{0},y_{0}\right)$ som baspunkt.
• Biprodukten i kategorin spetsiga utrymmen är kilsumman , som kan ses som "enpunktsföreningen" av utrymmen .
• Smash -produkten av två spetsiga utrymmen är i huvudsak kvoten av den direkta produkten och kilsumman. Vi skulle vilja säga att smash-produkten förvandlar kategorin spetsiga utrymmen till en symmetrisk monoidal kategori med den spetsiga 0-sfären som enhetsobjekt, men detta är falskt för allmänna utrymmen: associativitetsvillkoret kan misslyckas. Men det är sant för vissa mer begränsade kategorier av utrymmen, som kompakt genererade svaga Hausdorff .
• Den reducerade upphängningen $\Sigma X$ av ett spetsigt utrymme $X$ är (upp till en homeomorfism ) smash-produkten av $X$ och den spetsiga cirkeln $S^{1}.$
• Den reducerade fjädringen är en funktion från kategorin spetsiga utrymmen till sig själv. Denna funktion lämnas intill funktorn $\Omega$ och tar ett spetsigt mellanslag $X$ till dess looputrymme $\Omega X$ .

Se även

• Kategori av grupper – kategori i matematik Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Kategori av metriska utrymmen – matematisk kategori med metriska utrymmen som objekt och kartor som inte ökar avståndet som dess morfismer Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Kategori av mängder – Kategori i matematik där objekten är mängder
• Kategori av topologiska utrymmen – stor kategori vars objekt är topologiska utrymmen och vars morfismer är kontinuerliga kartor Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Kategori av topologiska vektorrum – Topologisk kategori

•   Gamelin, Theodore W.; Greene, Robert Everist (1999) [1983]. Introduktion till topologi (andra upplagan). Dover Publikationer . ISBN 0-486-40680-6 .
•   Mac Lane, Saunders (september 1998). Kategorier för den arbetande matematikern (andra upplagan). Springer. ISBN 0-387-98403-8 .

• mathoverflow diskussion om flera baspunkter och groupoids