Landwebers exakta funktorsats

I matematik är Landwebers exakta funktorsats , uppkallad efter Peter Landweber , en sats i algebraisk topologi . Det är känt att en komplex inriktning av en homologiteori leder till en formell grupplag . Landwebers exakta funktorsats (eller förkortat VÄNSTER) kan ses som en metod för att vända denna process: den konstruerar en homologiteori utifrån en formell grupplag.

Påstående

Koefficientringen för komplex kobordism är $MU_{*}(*)=MU_{*}\cong \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\dots ]$ , där graden av $x_{i}$ är $2i$ . Detta är isomorft till den graderade Lazard-ringen ${\mathcal {}}L_{*}$ . Detta betyder att att ge en formell grupplag F (av grad $-2$ ) över en graderad ring $R_{*}$ motsvarar att ge en graderad ringmorfism ${\ displaystyle L_{*}\to R_{*}}$ . Multiplikation med ett heltal $n>0$ definieras induktivt som en potensserie, av

[n+1]^{F}x=F(x,[n]^{F}x)

och

[1]^{F}x=x.

Låt nu F vara en formell grupplag över en ring ${\mathcal {}}R_{*}$ . Definiera för ett topologiskt utrymme X

E_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}R_{*}

Här får $R_{*}$ sin $MU_{*}$ -algebrastruktur via F. Frågan är: är E en homologiteori? Det är uppenbarligen en homotopi invariant funktion, som uppfyller excision. Problemet är att tensoring i allmänhet inte bevarar exakta sekvenser. Man skulle kunna kräva att $R_{*}$ ska vara platt över ${\displaystyle MU_{*}} ,$ men det skulle vara för starkt i praktiken. Peter Landweber hittade ett annat kriterium:

Sats (Landwebers exakta funktorsats)

För varje primtal p finns det element

v_{1},v_{2},\dots \i MU_{*}

så att vi har följande: Antag att

M_{*}

är en graderad

MU_{*}

-modul och sekvensen

(p,v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})

är regelbundet för

M

, för varje p och n . Då

E_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}M_{*}

är en homologiteori om CW-komplex .

I synnerhet ger varje formell grupplag F över en ring $R$ en modul över ${\mathcal {}}MU_{*}$ eftersom vi via F får en ringmorfism $MU_{*}\to R$ .

Anmärkningar

Det finns också en version för Brown–Peterson cohomology BP. Spektrum BP är en direkt summa av $MU_{(p)}$ med koefficienterna $\displaystyle \mathbb {Z} _{(p )}[v_{1},v_{2},\dots ]}$ { . Påståendet från VÄNSTER förblir sant om man fixar ett primtal p och ersätter BP med MU.
Det klassiska beviset för VÄNSTER använder Landweber–Moravas invarianta idealsats: de enda primidealen för $BP_{*}$ som är invarianta under samverkan av $BP_{*}BP$ är $I_{n}=(p,v_{1},\dots ,v_{n})$ . Detta gör det möjligt att kontrollera planheten endast mot $BP_{*}/I_{n}$ (se Landweber, 1976).
VÄNSTER kan förstärkas enligt följande: låt ${\mathcal {E}}_{*}$ vara (homotopi) kategorin för Landweber exakta $MU_{*}$ -moduler och ${\mathcal {E}}$ kategorin för MU-modulspektra M så att $\pi _{*}M$ är Landweber exakt. Då är funktorn ${\displaystyle \pi _{*}\colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}_{*}} en ekvivalens$ av kategorier. Den inversa funktorn (given av VÄNSTER) tar ${\mathcal {}}MU_{*}$ -algebras till (homotopi) MU-algebraspektra (se Hovey, Strickland, 1999, Thm 2.7).

Exempel

Det arketypiska och första kända (icke-triviala) exemplet är komplex K-teori K. Komplex K-teori är komplext orienterad och har som formell grupplag $x+y+xy$ . Den motsvarande morfismen $MU_{*}\to K_{*}$ är också känd som Todd-släktet . Vi har då en isomorfism

K_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}K_{*} ,

kallad Conner-Floyd isomorfism .

Medan komplex K-teori konstruerades tidigare med geometriska medel, konstruerades många homologiteorier först via Landwebers exakta funktorsats. Detta inkluderar elliptisk homologi , Johnson–Wilson-teorierna $E(n)$ och Lubin-Tate-spektra $E_{n}$ .

Medan homologi med rationella koefficienter $H\mathbb {Q}$ är Landweber exakt, är homologi med heltalskoefficienter $H\mathbb {Z}$ inte Landweber exakt. Dessutom Morava K-teori K(n) inte Landweber exakt.

Modern omformulering

En modul M över ${\mathcal {}}MU_{*}$ är detsamma som en kvasi-koherent bunt ${\mathcal {F}}$ över ${\ text{Spec }}L$ , där L är Lazard-ringen. Om ${\displaystyle M={\mathcal {}}MU_{*}(X)} ,$ så har M den extra datum för en ${\mathcal {} }MU_{*}MU$ samverkan. En koaktion på ringnivån motsvarar att ${\mathcal {F}}$ är en ekvivariant kärve med avseende på en verkan av ett affint gruppschema G. Det är Quillens sats att $G\cong \mathbb {Z} [b_{1},b_{2},\dots ]$ och tilldelar varje ring R gruppen potensserier

g(t)=t+b_{1}t^{2}+b_{2}t ^{3}+\cdots \i R[[t]]

.

Den agerar på uppsättningen av formella grupplagar ${\text{Spec }}L(R)$ via

F(x,y)\mapsto gF(g^{-1}x,g^{-1}y)

.

Dessa är bara de koordinerade förändringarna av formella grupplagar. Därför kan man identifiera stackkvotienten Spec $\displaystyle {\text{Spec }}L//G}$ med stapeln av (1-dimensionella) grupper formella ${\mathcal {M }}_{fg}$ och $M=MU_{*}(X)$ definierar en kvasikoherent bunt över denna stack. Nu är det ganska lätt att se att det räcker att M definierar en kvasi-koherent bunt ${\mathcal {F}}$ som är platt över ${\mathcal {M}}_{fg }$ för att $MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}M$ är en homologiteori. Landwebers exakthetssats kan sedan tolkas som ett planhetskriterium för ${\mathcal {M}}_{fg}$ (se Lurie 2010).

Förfinningar till $E_{\infty }$ -ringspektra

Medan VÄNSTER är känt för att producera (homotopi) ringspektra av ${\displaystyle {\mathcal {}}MU_{*}} ,$ är det en mycket mer känslig fråga att förstå när dessa spektra faktiskt är ${\ displaystyle E_{\infty }}$ -ringspektra . Från och med 2010 gjorde Jacob Lurie de bästa framstegen . Om X är en algebraisk stack och $X\to {\mathcal {M}}_{fg}$ en platt karta över stackar, visar diskussionen ovan att vi får en förlist av (homotopi) ring spektra på X. Om denna karta faktorer över $M_{p}(n)$ (stapeln av 1-dimensionella p-delbara grupper med höjd n) och kartan $X\to M_{p}(n)$ är etale , då kan denna presheaf förfinas till en bunt av $E_{\infty }$ -ringspektra (se Goerss). Denna sats är viktig för konstruktionen av topologiska modulära former .