Gyrovector utrymme

Ett gyrovektorrum är ett matematiskt koncept som föreslagits av Abraham A. Ungar för att studera hyperbolisk geometri i analogi med hur vektorrum används i euklidisk geometri . Ungar introducerade begreppet gyrovektorer som har addition baserat på gyrogrupper istället för vektorer som har addition baserat på grupper . Ungar utvecklade sitt koncept som ett verktyg för att formulera speciell relativitet som ett alternativ till användningen av Lorentz-transformationer för att representera sammansättningar av hastigheter (även kallade förstärkningar - "förstärkningar" är aspekter av relativa hastigheter , och bör inte blandas ihop med " översättningar " ). Detta uppnås genom att introducera "gyrooperatörer"; två 3d-hastighetsvektorer används för att konstruera en operator, som verkar på en annan 3d-hastighet.

namn

Gyrogrupper är svagt associativa gruppliknande strukturer. Ungar föreslog termen gyrogrupp för vad han kallade en gyrokommutativ-gyrogrupp, med termen gyrogrupp som är reserverad för det icke-gyrokommutativa fallet, i analogi med grupper vs. abelska grupper . Gyrogrupper är en typ av Bol-loop . Gyrokommutativa gyrogrupper är ekvivalenta med K-loopar även om de definieras på annat sätt. Termerna Bruck loop och dyadic symset används också.

Matematik för gyrovektorutrymmen

Gyrogrupper

Axiom

En gyrogrupp ( G , $\oplus$ ) består av en underliggande mängd G och en binär operation $\oplus$ som uppfyller följande axiom:

1. I G finns det minst ett element 0 som kallas en vänsteridentitet med 0 $\oplus$ a = a för alla a i G .
2. För varje a i G finns ett element $\ominus$ a i G som kallas en vänsterinvers av a med ( $\ominus$ a ) $\oplus$ a = 0.
3. För alla a , b , c i G finns det ett unikt element gyr[ a , b ] c i G så att den binära operationen följer den vänstra gyroassociativa lagen: a ${\displaystyle \oplus } ($ b ⊕ $\displaystyle \oplus }$ c ) = ( a $\oplus$ b ) $\oplus$ gyr[ a , b ] c
4. Kartan gyr[ a , b ]: G → G ges av c ↦ gyr[ a , b ] c är en automorfism av magman ( G , $\oplus$ ) – det vill säga gyr[ a , b ] är en medlem av Aut( G , $\oplus$ ) och automorfismen gyr[ a , b ] av G kallas gyroautomorfismen av G genererad av a , b i G . Operationen gyr: G × G → Aut( G , ${\displaystyle \oplus } )$ kallas gyratorn för G .
5. Gyroautomorfismen gyr[ a , b ] har den vänstra loopegenskapen gyr[ a , b ] = gyr[ a $\oplus$ b , b ]

Det första paret av axiom är som gruppaxiomen . Det sista paret presenterar gyratoraxiomen och mittaxiomet förbinder de två paren.

Eftersom en gyrogrupp har inverser och en identitet kvalificeras den som en kvasigrupp och en loop .

Gyrogrupper är en generalisering av grupper . Varje grupp är ett exempel på en gyrogrupp med gyr[ a , b ] definierad som identitetskartan för alla a och b i G .

Ett exempel på en finit gyrogrupp ges i .

Identiteter

Några identiteter som finns i valfri gyrogrupp ( G , ${\displaystyle \oplus } )$ är:

1. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf { w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))} (gyration$ )
2. ${\displaystyle \mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\ mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} } (vänsterassociativitet$ )
3. ${\displaystyle (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]\mathbf {w} )} (höger associativitet$ )

Dessutom kan man bevisa Gyration-inversionslagen, vilket är motivet för definitionen av gyrokommutativitet nedan:

1. $\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )=\mathrm {gyr} [\mathbf { u} ,\mathbf {v} ](\ominus \mathbf {v} \ominus \mathbf {u} )$ (gyrationsinversionslag)

Några ytterligare satser som är uppfyllda av Gyration-gruppen för någon gyrogrupp inkluderar:

1. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {0} ,\mathbf {u} ]= \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=I} (identitetsrörelser$ )
2. $\mathrm {gyr} ^{-1}[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr } [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]$ (gyroautomorfism inversionslag)
3. $\mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\ominus \mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]$ (gyration jämn egenskap)
4. $\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf { u} ,\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ]$ (höger loop-egenskap)
5. $\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf { u} \oplus \mathbf {v} ,\mathbf {v} ]$ (vänster loop-egenskap)

Fler identiteter anges på sidan 50 i . En särskilt användbar konsekvens av ovanstående identiteter är att Gyrogrupper uppfyller den vänstra Bol-egenskapen

1. $(\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ))\ oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} ))$

Gyrokommutativitet

En gyrogrupp (G, $\oplus$ ) är gyrokommutativ om dess binära operation följer den gyrokommutativa lagen: a $\oplus$ b = gyr[ a , b ]( b $\oplus$ a ). För relativistisk hastighetsaddition publicerades denna formel som visar rotationens roll för a + b och b + a 1914 av Ludwik Silberstein .

Koaddition

I varje gyrogrupp kan en andra operation definieras som kallas coaddition : a $\boxplus$ b = a $\oplus$ gyr[ a , $\ominus$ b ] b för alla a , b ∈ G . Koaddition är kommutativ om gyrogruppsadditionen är gyrokommutativ.

Beltrami–Klein skiva/boll modell och Einstein tillägg

Relativistiska hastigheter kan betraktas som punkter i Beltrami–Klein-modellen för hyperbolisk geometri och så vektoraddition i Beltrami–Klein-modellen kan ges av hastighetsadditionsformeln . För att formeln ska kunna generaliseras till vektoraddition i hyperboliskt utrymme med dimensioner större än 3, måste formeln skrivas i en form som undviker användning av korsprodukten till förmån för prickprodukten .

I det allmänna fallet ges Einsteins hastighetsaddition av två hastigheter $\mathbf {u}$ och $\mathbf {v}$ i koordinatoberoende form som:

$\mathbf {u} \oplus _{E }\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left\{\mathbf { u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{ \mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {u} \right\}$

där $\gamma _{\mathbf {u} }$ är gammafaktorn som ges av ekvationen $\gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{c^{2 }}}}}}$ .

Med hjälp av koordinater blir detta:

${\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\ w_{3}\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{1+{\frac {u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{ 3}}{c^{2}}}}}\left\{\left[1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} } }{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3})\right]{\begin {pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}{\begin {pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}\right\}$

där $\gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac { u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}{c^{2}}}}}}$ .

Einsteins hastighetsaddition är kommutativ och associativ endast när $\mathbf {u}$ och $\mathbf {v}$ är parallella . Faktiskt

$\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} =\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )$

och

$\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\ mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w}$

där "gyr" är den matematiska abstraktionen av Thomas precession till en operator som kallas Thomas gyration och ges av

$\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf { w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))$

för alla w . Thomas precession har en tolkning i hyperbolisk geometri som den negativa hyperboliska triangeldefekten .

Lorentz transformationssammansättning

Om 3 × 3-matrisformen för rotationen som tillämpas på 3-koordinater ges av gyr[ u , v ], så ges 4 × 4-matrisrotationen som tillämpas på 4-koordinater av:

$\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]={\begin{pmatrix}1&0\ \0&\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{pmatrix}}$ .

Sammansättningen av två Lorentz-förstärkningar B( u ) och B( v ) av hastigheterna u och v ges av:

$B(\mathbf {u} )B (\mathbf {v} )=B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]B(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )$

Detta faktum att antingen B( u $\oplus$ v ) eller B( v $\oplus$ u ) kan användas beroende på om man skriver rotationen före eller efter förklarar hastighetssammansättningsparadoxen .

Sammansättningen av två Lorentz-transformationer L( u ,U) och L( v ,V) som inkluderar rotationerna U och V ges av:

$L(\mathbf {u} ,U)L(\mathbf { v} ,V)=L(\mathbf {u} \oplus U\mathbf {v} ,\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,U\mathbf {v} ]UV)$

I ovanstående kan en boost representeras som en 4 × 4 matris. Boostmatrisen B( v ) betyder förstärkningen B som använder komponenterna av v , dvs v ₁ , v ₂ , v ₃ i matrisens poster, eller snarare komponenterna av v / c i representationen som används i avsnitt Lorentz transformation#Matrix former . Matrisposterna beror på komponenterna i 3-hastigheten v , och det är vad notationen B( v ) betyder. Det skulle kunna hävdas att posterna beror på komponenterna i 4-hastigheten eftersom 3 av ingångarna i 4-hastigheten är samma som ingångarna för 3-hastigheten, men användbarheten av att parametrisera förstärkningen med 3-hastigheten är att den resulterande förstärkningen du får från sammansättningen av två förstärkningar använder komponenterna i 3-hastighetssammansättningen u $\oplus$ v i 4 × 4 matrisen B( u $\oplus$ v ). Men den resulterande boosten måste också multipliceras med en rotationsmatris eftersom boostkompositionen (dvs multiplikationen av två 4 × 4 matriser) inte resulterar i en ren boost utan en boost och en rotation, dvs. en 4 × 4 matris som motsvarar rotation Gyr[ u , v ] för att få B( u )B( v ) = B( u $\oplus$ v )Gyr[ u , v ] = Gyr[ u , v ]B( v $\oplus$ u ).

Einstein gyrovektorutrymmen

0  00     Låt s vara vilken positiv konstant som helst, låt (V,+,.) vara vilket verkligt inre produktutrymme som helst och låt V _s ={ v ∈ V :| v |<s}. Ett Einstein-gyrovektorrum ( V _s , $\oplus$ , $\otimes$ ) är en Einstein-gyrogrupp ( V _s , $\oplus$ ) med skalär multiplikation ges av r $\otimes$ v = s tanh( r tanh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v | där r är vilket reellt tal som helst, v ∈ V _s , v ≠ och r $\otimes$ = med notationen v $\otimes$ r = r $\otimes$ v .

Einsteins skalär multiplikation fördelar sig inte över Einstein-addition förutom när gyrovektorerna är kolinjära (monodistributivitet), men den har andra egenskaper hos vektorrum: För alla positiva heltal n och för alla reella tal r , r ₁ , r ₂ och v ∈ V _{s '} :

n $\otimes$ v = v $\oplus$ ... $\oplus$ v	n termer
( r 1 + r 2 ) $\otimes$ v = r 1 $\otimes$ v $\oplus$ r 2 $\otimes$ v	Skalär distributionslagstiftning
( r 1 r 2 ) $\otimes$ v = r 1 $\otimes$ ( r 2 $\otimes$ v )	Skalär associativ lag
r $\otimes$ ( r 1 $\otimes$ a $\oplus$ r 2 $\otimes$ a ) = r $\otimes$ ( r 1 $\otimes$ a ) $\oplus$ r $\otimes$ ( r 2 $\otimes$ a )	Monodistributiv lag

Poincaré skiva/kul modell och Möbius tillägg

Möbiustransformationen av den öppna enhetsskivan i det komplexa planet ges av den polära nedbrytningen

$z\to {e^{i\theta }}{\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}$ som kan skrivas som $e^{i\theta }{(a\oplus _{M}{z})}$ som definierar Möbius addition ${a\oplus _{M}{z}}={\frac {a+z}{1+a{\bar {z}} }}$ .

För att generalisera detta till högre dimensioner betraktas de komplexa talen som vektorer i planet $\mathbf {\mathrm {R} } ^{2}$ , och Möbius-addition skrivs om i vektorform som:

$\mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {(1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \ mathbf {v} +{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {v} |^{2})\mathbf {u} +(1-{\frac {1}{s^{ 2}}}|\mathbf {u} |^{2})\mathbf {v} }{1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v } +{\frac {1}{s^{4}}}|\mathbf {u} |^{2}|\mathbf {v} |^{2}}}$

Detta ger vektortillägget av punkter i Poincaré-kulmodellen för hyperbolisk geometri där s=1 för den komplexa enhetsskivan nu blir valfri s>0.

Möbius gyrovektorutrymmen

 0  00     Låt s vara vilken positiv konstant som helst, låt (V,+,.) vara vilket verkligt inre produktutrymme som helst och låt V _s ={ v ∈ V :| v |<s}. Ett Möbius gyrovektorrum ( V _s , $\oplus$ , $\otimes$ ) är en Möbius gyrogrupp ( V _s , $\oplus$ ) med skalär multiplikation ges av r $\otimes$ v = s tanh( r tanh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v | där r är vilket reellt tal som helst, v ∈ V _s , v ≠ och r $\otimes$ = med notationen v $\otimes$ r = r $\otimes$ v .

Möbius skalär multiplikation sammanfaller med Einsteins skalär multiplikation (se avsnitt ovan) och detta härrör från Möbius addition och Einstein addition som sammanfaller för vektorer som är parallella.

Rätt hastighetsutrymmesmodell och korrekt hastighetstillägg

En riktig hastighetsrymdmodell av hyperbolisk geometri ges av korrekta hastigheter med vektoraddition ges av formeln för korrekt hastighetsaddition:

$\mathbf {u} \oplus _{U}\mathbf {v} = \mathbf {u} +\mathbf {v} +\left\{{\frac {\beta _{\mathbf {u} }}{1+\beta _{\mathbf {u} }}}{\frac { \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {1-\beta _{\mathbf {v} }}{\beta _{\mathbf {v} } }}\right\}\mathbf {u}$

där $\beta _{\mathbf {w} }$ är betafaktorn som ges av $\beta _{\mathbf {w} }={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {|\mathbf {w} |^{2}}{c^{2 }}}}}}$ .

Denna formel ger en modell som använder ett helt utrymme jämfört med andra modeller av hyperbolisk geometri som använder skivor eller halvplan.

 0  00     Ett korrekt hastighetsgyrovektorutrymme är ett verkligt inre produktutrymme V, med den korrekta hastighetsgyrogruppadditionen $\oplus _{U}$ och med skalär multiplikation definierad av r $\otimes$ v = s sinh( r sinh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v | där r är vilket reellt tal som helst, v ∈ V , v ≠ och r $\otimes$ = med notationen v $\otimes$ r = r $\otimes$ v .

Isomorfismer

En gyrovektor rymdisomorfism bevarar gyrogruppaddition och skalär multiplikation och den inre produkten.

De tre gyrovektorutrymmena Möbius, Einstein och Proper Velocity är isomorfa.

Om M, E och U är Möbius-, Einstein- och Proper Velocity-gyrovektorutrymmen med elementen v _m , v _e och v _u så ges isomorfismerna av:

E $\rightarrow$ U av $\gamma _{\mathbf {v} _{e}}\mathbf {v} _{e}$

U $\rightarrow$ E av ${\displaystyle \beta _{\mathbf {v} _{u}}\mathbf {v} _{u}} E → {\$

displaystyle $rightarrow }$ M med ${\frac {1}{2}}\otimes _{E}\mathbf {v} _{e}$

M $\rightarrow$ E med $2\otimes _{M}\mathbf {v} _{m}$

M $\rightarrow$ U med $2{{{\gamma }^{2}}_{\mathbf {v} _{m}}}\mathbf {v} _{m}$

U $\rightarrow$ M av ${\frac {\beta _{ \mathbf {v} _{u}}}{1+\beta _{\mathbf {v} _{u}}}}\mathbf {v} _{u}$

Från denna tabell ges förhållandet mellan $\oplus _{E}$ och $\oplus _{M}$ av ekvationerna:

$\mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} =2\otimes \left({{\frac { 1}{2}}\otimes \mathbf {u} \oplus _{M}{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {v} }\right)$

$\mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\otimes \left({2\otimes \mathbf {u} \oplus _{E}2\otimes \mathbf {v} }\right)$

Detta är relaterat till sambandet mellan Möbiustransformationer och Lorentztransformationer .

Gyrotrigonometri

Gyrotrigonometri är användningen av gyrokoncept för att studera hyperboliska trianglar .

Hyperbolisk trigonometri som vanligtvis studeras använder hyperboliska funktionerna cosh, sinh etc., och detta står i kontrast till sfärisk trigonometri som använder de euklidiska trigonometriska funktionerna cos, sin, men med sfäriska triangelidentiteter istället för vanliga plantriangelidentiteter . Gyrotrigonometri tar tillvägagångssättet att använda de vanliga trigonometriska funktionerna men i samband med gyrotriangelidentiteter.

Triangeln centrerar

Studiet av triangelcentra handlar traditionellt om euklidisk geometri, men triangelcentra kan också studeras i hyperbolisk geometri. Med hjälp av gyrotrigonometri kan uttryck för trigonometriska barycentriska koordinater beräknas som har samma form för både euklidisk och hyperbolisk geometri. För att uttrycken ska sammanfalla får uttrycken inte kapsla in specifikationen av att vinkelsumman är 180 grader.

Gyroparallelogram tillägg

Med hjälp av gyrotrigonometri kan man hitta en gyrovektortillsats som fungerar enligt gyroparallelogramlagen. Detta är tillägget till gyrogruppoperationen. Gyroparallelogramtillägg är kommutativt.

Gyroparallelogramlagen liknar parallellogramlagen i det att ett gyroparallelogram är en hyperbolisk fyrhörning vars två gyrodiagonaler skär varandra vid sina gyromidpunkter, precis som ett parallellogram är en euklidisk fyrhörning vars två diagonaler skär varandra i deras mittpunkter .

Bloch vektorer

Bloch-vektorer som tillhör den öppna enhetsbollen i det euklidiska 3-rummet, kan studeras med Einstein-addition eller Möbius-addition.

Bokrecensioner

En recension av en av de tidigare gyrovectorböckerna säger följande:

"Under åren har det förekommit en handfull försök att främja den icke-euklidiska stilen för användning i problemlösning inom relativitetsteori och elektrodynamik, vars misslyckande att locka till sig någon betydande efterföljare, förvärrad av frånvaron av några positiva resultat måste ge paus till alla som överväger ett liknande företag. Tills nyligen var ingen i stånd att erbjuda en förbättring av de verktyg som finns tillgängliga sedan 1912. I sin nya bok presenterar Ungar det avgörande saknade elementet från samlingen av den icke-euklidiska stilen: en elegant icke-associativ algebraisk formalism som till fullo utnyttjar strukturen i Einsteins lag om hastighetssammansättning."

Anteckningar och referenser

• Domenico Giulini, Algebraic and geometric structures of Special Relativity , A Chapter in "Special Relativity: Will It Survive the Next 100 Years?", redigerad av Claus Lämmerzahl, Jürgen Ehlers, Springer, 2006.

Vidare läsning

•   AA Ungar (2009). Gyrovektorer: ett tillvägagångssätt till hyperbolisk geometri . Syntesföreläsningar om matematik och statistik. Morgan & Claypool Publishers. ISBN 978-159-829-822-2 .
•   TM Rassias (2000). Matematisk analys och tillämpningar . Samling av artiklar i matematik. Hadronic Press. s. 307, 326, 336. ISBN 157-485-045-8 .
• Maks A. Akivis And Vladislav V. Goldberg (2006), Local Algebras Of A Differential Quasigroup , Bulletin of the AMS, Volym 43, nummer 2
• Oğuzhan Demirel, Emine Soytürk (2008), The Hyperbolic Carnot Theorem In The Poincare Disc Model Of Hyperbolic Geometry , Novi Sad J. Math. Vol. 38, nr 2, 2008, 33–39
• M Ferreira (2008), Sfäriska kontinuerliga vågtransformeringar som härrör från delar av Lorentz-gruppen, Applied and Computational Harmonic Analysis, Elsevier arXiv : 0706.1956
• T Foguel (2000), Kommentar. Matematik. Univ. Carolinae, grupper, transversaler och loopar
•     Yaakov Friedman (1994), "Bounded symmetric domains and the JB*-triple structure in physics", Jordan Algebras: Proceedings of the Conference Held i Oberwolfach, Tyskland, 9–15 augusti 1992, av Wilhelm Kaup, Kevin McCrimmon, Holger P Petersson, Publicerad av Walter de Gruyter, ISBN 3-11-014251-1 , ISBN 978-3-11-014251-8
• Florian Girelli, Etera R. Livine (2004), Special Relativity as a non commutative geometri: Lessons for Deformed Special Relativity , Phys. Rev. D 81, 085041 (2010)
• Sejong Kim, Jimmie Lawson (2011), Smooth Bruck Loops, Symmetric Spaces, And Nonassociative Vector Spaces , Demonstratio Mathematica, Vol. XLIV, nr 4
• Peter Levay (2003), Mixed State Geometric Phase från Thomas Rotations
• Azniv Kasparian, Abraham A. Ungar, (2004) Lie Gyrovector Spaces, J. Geom. Symm. Phys
• R Olah-Gal, J Sandor (2009), On Trigonometric Proofs of the Steiner-Lehmus Theorem , Forum Geometricorum, 2009 – forumgeom.fau.edu
• Gonzalo E. Reyes (2003), On the law of motion in Special Relativity arXiv : physics/0302065
• Krzysztof Rozga (2000), Pacific Journal of Mathematics, Vol. 193, nr 1, om centrala förlängningar av gyrokommutativa gyrogrupper
• LV Sabinin (1995), "On the gyrogroups of Hungar" , RUSS MATH SURV, 1995, 50 (5), 1095–1096.
• LV Sabinin, LL Sabinina, Larissa Sbitneva (1998), Aequationes Mathematicae , Om begreppet gyrogrupp
•     LV Sabinin, Larissa Sbitneva, IP Shestakov (2006), "Icke-associativ algebra och dess tillämpningar",CRC Press, ISBN 0-8247-2669-3 , ISBN 978-0-8247-2669-0
• F. Smarandache, C. Barbu (2010), The Hyperbolic Menelaus Theorem in The Poincaré Disc Model of Hyperbolic Geometry
•     Roman Ulrich Sexl, Helmuth Kurt Urbantke, (2001), "Relativity, Groups, Particles: Special Relativity and Relativistic Symmetry in Field and Particle Physics", sidorna 141–142, Springer, ISBN 3-211-83443-5 , ISBN 978- 3-211-83443-5

externa länkar

• Einsteins speciella relativitet: Den hyperboliska geometriska synvinkeln
•   "Hyperbolisk trigonometri och dess tillämpning i Poincaré Ball Model of Hyperbolic Geometry". 2001: 6–19. CiteSeerX 10.1.1.17.6107 . {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp )