Formel för hastighetstillägg

Den speciella relativitetsteorin, formulerad 1905 av Albert Einstein , innebär att addition av hastigheter inte beter sig i enlighet med enkel vektoraddition .

I relativistisk fysik är en hastighetsadditionsformel en ekvation som specificerar hur man kombinerar objektens hastigheter på ett sätt som överensstämmer med kravet att inget objekts hastighet kan överstiga ljusets hastighet . Sådana formler gäller för successiva Lorentz-transformationer , så de relaterar också olika ramar. Medföljande hastighetsaddition är en kinematisk effekt känd som Thomas precession , varvid successiva icke-kollinjära Lorentz-förstärkningar blir ekvivalenta med sammansättningen av en rotation av koordinatsystemet och en förstärkning.

Standardtillämpningar av formler för hastighetstillägg inkluderar Dopplerskiften , Dopplernavigering , ljusets aberration och släpningen av ljus i rörligt vatten som observerades i Fizeau-experimentet 1851 .

Notationen använder u som hastigheten för en kropp inom en Lorentz-ram S , och v som hastigheten för en andra ram S ′ , mätt i S , och u ′ som den transformerade hastigheten för kroppen inom den andra ramen.

Historia

Ljusets hastighet i en vätska är långsammare än ljusets hastighet i vakuum, och den förändras om vätskan rör sig tillsammans med ljuset. År 1851 mätte Fizeau ljusets hastighet i en vätska som rörde sig parallellt med ljuset med hjälp av en interferometer . Fizeaus resultat stämde inte överens med de då rådande teorierna. Fizeau bestämde experimentellt korrekt den nollte termen för en expansion av den relativistiskt korrekta additionslagen i termer av V ⁄ c som beskrivs nedan. Fizeaus resultat fick fysiker att acceptera den empiriska giltigheten av Fresnels ganska otillfredsställande teori att en vätska som rör sig i förhållande till den stationära etern delvis drar ljus med sig, dvs. hastigheten är c ​​⁄ n + (1 − 1 ⁄ n ² ) V istället av c ⁄ n + V , där c är ljusets hastighet i etern, n är vätskans brytningsindex och V är vätskans hastighet i förhållande till etern.

Ljusets aberration , varav den enklaste förklaringen är den relativistiska hastighetsadditionsformeln, tillsammans med Fizeaus resultat, utlöste utvecklingen av teorier som Lorentz eterteori om elektromagnetism 1892. 1905 härledde Albert Einstein , med tillkomsten av speciell relativitet , standardkonfigurationsformel ( V i x -riktningen ) för addition av relativistiska hastigheter. Frågorna som involverade eter löstes gradvis under åren till förmån för speciell relativitet.

Galileisk relativitet

Det observerades av Galileo att en person på ett likformigt rörligt fartyg har intrycket av att vara i vila och ser en tung kropp falla vertikalt nedåt. Denna observation betraktas nu som det första tydliga uttalandet om principen om mekanisk relativitet. Galileo såg att från synvinkeln av en person som stod på stranden, skulle rörelsen att falla nedåt på fartyget kombineras med eller läggas till fartygets framåtrörelse. När det gäller hastigheter kan man säga att den fallande kroppens hastighet i förhållande till stranden är lika med hastigheten hos den kroppen i förhållande till fartyget plus fartygets hastighet i förhållande till stranden.

I allmänhet för tre objekt A (t.ex. Galileo på stranden), B (t.ex. fartyg), C (t.ex. fallande kropp på fartyg) hastighetsvektorn u {\displaystyle \mathbf { $} }$ för C i förhållande till A (fallhastighet objekt som Galileo ser det) är summan av hastigheten $\mathbf {u'}$ av C relativt B (hastighet för fallande föremål i förhållande till skepp) plus hastigheten v för B relativt A (fartygets hastighet bort från stranden). Adderingen här är vektoradditionen av vektoralgebra och den resulterande hastigheten representeras vanligtvis i formen

$$\mathbf {u} =\mathbf {v} +\mathbf {u'} .$$

Galileos kosmos består av absolut rum och tid och tillägget av hastigheter motsvarar sammansättningen av galileiska transformationer . Relativitetsprincipen kallas för galileisk relativitet . Den lyds av Newtonsk mekanik .

Särskild relativitet

Enligt teorin om speciell relativitet har skeppets ram en annan klockfrekvens och avståndsmått, och föreställningen om samtidighet i rörelseriktningen ändras, så additionslagen för hastigheter ändras. Denna förändring är inte märkbar vid låga hastigheter men när hastigheten ökar mot ljusets hastighet blir den viktig. Additionslagen kallas också för en sammansättningslag för hastigheter . För kolinjära rörelser skulle objektets hastighet (t.ex. en kanonkula avfyrad horisontellt ut mot havet) mätt från fartyget mätas av någon som stod på stranden och tittade på hela scenen genom ett teleskop som

$$u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.$$

Sammansättningsformeln kan ha en algebraiskt ekvivalent form, som lätt kan härledas genom att endast använda principen om ljusets hastighets konstans,

$${cu \over c+u}=\left({cu' \over c+u'}\right)\left({cv \over c+v}\right).$$

Den speciella relativitetsteoriets kosmos består av Minkowskis rumtid och tillägget av hastigheter motsvarar sammansättningen av Lorentz-transformationer . I den speciella relativitetsteorin modifieras den newtonska mekaniken till relativistisk mekanik .

Standardkonfiguration

Formlerna för förstärkningar i standardkonfigurationen följer enklast från att ta differentialer för den omvända Lorentz-förstärkningen i standardkonfigurationen. Om den primerade ramen färdas med hastighet $v$ med Lorentz-faktor ${\textstyle \gamma _{_{v}}=1/{\sqrt {1- v^{2}/c^{2}}}}$ i den positiva x -riktningen i förhållande till den oprimade ramen, då är differentialerna

$$dx=\gamma _{_{v}}(dx'+vdt'),\quad dy=dy',\quad dz=dz',\quad dt=\gamma _{_{v}}\ vänster(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx'\right).$$

Dividera de tre första ekvationerna med den fjärde,

$${\frac {dx}{dt}}={\frac {\gamma _{ _{v}}(dx'+vdt')}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad { \frac {dy}{dt}}={\frac {dy'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}} ,\quad {\frac {dz}{dt}}={\frac {dz'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx ')}},$$

eller

$$u_{x}={\ frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {dx'}{dt'}}+v}{(1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac { dx'}{dt'}})}},\quad u_{y}={\frac {dy}{dt}}={\frac {\frac {dy'}{dt'}}{\gamma _{ _{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{z}={\frac { dz}{dt}}={\frac {\frac {dz'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}} {\frac {dx'}{dt'}})}},$$

vilket är

Transformation av hastighet ( kartesiska komponenter )

$$u_{x}={\frac {u_{x}' +v}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{x}'={\frac {u_{x}-v}{1- {\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},$$

$$u_{y}={ \frac {u_{y}'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2} }}u_{x}'}},\quad u_{y}'={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}} }}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},$$

$$u_{z}={ \frac {u_{z}'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2} }}u_{x}'}},\quad u_{z}'={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}} }}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},$$

där uttryck för de primerade hastigheterna erhölls med standardreceptet genom att ersätta v med – v och byta primade och oprimade koordinater. Om koordinater väljs så att alla hastigheter ligger i ett (gemensamt) x – y- plan, kan hastigheter uttryckas som

$$u_{x}=u\cos theta ,u_{y}=u\sin \theta ,\quad u_{x}'=u'\cos \theta ',\quad u_{y}'=u'\sin \theta ',$$

(se polära koordinater ) och man hittar

Transformation av hastighet ( Plan polära komponenter )

$$u={\ \sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-\left({\frac {vu'\sin \theta '}{c}}\right)^{2} }}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}},$$

$\tan \theta ={\frac {u_{y}}{u_{x}}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2 }}}}}u_{y}'}{u_{x}'+v}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}} }}u'\sin \theta '}{u'\cos \theta '+v}}.$

Detaljer för u

$${\begin{aligned}u&={\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}={ \frac {\sqrt {(u_{x}'+v)^{2}+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2 }}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}={\frac {\sqrt {u_{x}'^{2}+v^{2} +2u_{x}'v+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{ c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}\cos ^{2}\theta '+v^{2}+2vu'\ cos \theta '+u'^{2}\sin ^{2}\theta '-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}u'^{2}\sin ^{2 }\theta '}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^ {2}+2vu'\cos \theta '-({\frac {vu'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2 }}}u'\cos \theta '}}\end{aligned}}$$

---

Beviset som ges är mycket formellt. Det finns andra mer involverade bevis som kan vara mer upplysande, som det nedan.

Ett bevis med 4 -vektorer och Lorentz-transformationsmatriser

Eftersom en relativistisk transformation roterar rum och tid in i varandra på samma sätt som geometriska rotationer i planet roterar x- och y -axlarna, är det lämpligt att använda samma enheter för rum och tid, annars uppstår en enhetsomvandlingsfaktor genomgående i relativistiska formler, vara ljusets hastighet . I ett system där längder och tider mäts i samma enheter är ljusets hastighet dimensionslös och lika med 1 . En hastighet uttrycks då som bråkdel av ljusets hastighet.

För att hitta den relativistiska transformationslagen är det användbart att introducera de fyra hastigheterna ₀ V = ( V , V ₁ , 0, 0) , som är fartygets rörelse bort från stranden, mätt från stranden, och ₀ U′ = ( U′ , U′ ₁ , U′ ₂ , U′ ₃ ) vilket är flugans rörelse bort från fartyget, mätt från fartyget. Fyrhastigheten definieras som en fyrvektor med relativistisk längd lika med 1 , framtidsriktad och tangent till objektets världslinje i rumtiden. Här motsvarar V ₀ tidskomponenten och V ₁ till x -komponenten av fartygets hastighet sett från stranden. Det är bekvämt att ta x -axeln för att vara fartygets rörelseriktning bort från stranden, och y -axeln så att x - y -planet är det plan som spänns över av fartygets och flugan. Detta resulterar i att flera komponenter i hastigheterna är noll: V ₂ = V ₃ = U′ ₃ = 0

Den ordinarie hastigheten är förhållandet mellan den hastighet med vilken rymdkoordinaterna ökar och den hastighet med vilken tidskoordinaten ökar:

$${\begin{aligned}\mathbf {v} &=(v_{1},v_{2},v_{3})=(V_{1}/V_{0},0 ,0),\\\mathbf {u} '&=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})=(U'_{1}/U'_{0 },U'_{2}/U'_{0},0)\end{aligned}}$$

Eftersom den relativistiska längden av V är 1 ,

$$V_{0}^{2}-V_{1}^{2}=1,$$

så

$$V_{0}=1/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}\ =\gamma ,\quad V_{1}=v_{1}/{\sqrt {1-v_ {1}^{2}}}=v_{1}\gamma .$$

Lorentz-transformationsmatrisen som omvandlar hastigheter uppmätta i fartygsramen till kustramen är det omvända till transformationen som beskrivs på Lorentz -transformationssidan, så minustecknen som visas där måste inverteras här:

$${\begin{pmatrix}\gamma &v_{1}\gamma &0&0\\v_{1}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end {pmatrix}}$$

Denna matris roterar den rena tidsaxelvektorn (1, 0, 0, 0) till ₀ ( V , V ₁ , 0, 0) , och alla dess kolumner är relativistiskt ortogonala mot varandra, så den definierar en Lorentz-transformation.

Om en fluga rör sig med fyra hastigheter U′ i skeppsramen, och den förstärks genom att multiplicera med matrisen ovan, är den nya fyrhastigheten i strandramen ₀ U = ( U , U ₁ , U ₂ , U ₃ ) ,

$${\begin{aligned}U_{0}&=V_{0}U'_{0}+V_{1}U'_{1},\\U_{1}&=V_{1}U '_{0}+V_{0}U'_{1},\\U_{2}&=U'_{2},\\U_{3}&=U'_{3}.\end{ Justerat}}$$

Att dividera med tidskomponenten U ₀ och ersätta komponenterna i de fyra vektorerna U′ och V i termer av komponenterna i de tre vektorerna u′ och v ger den relativistiska sammansättningslagen som

$${\begin{aligned}u_{1}&={v_{1}+u'_{1} \over 1+v_{1}u'_{1}},\\u_ {2}&={u'_{2} \over (1+v_{1}u'_{1})}{1 \over V_{0}}={u'_{2} \over 1+ v_{1}u'_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}}},\\u_{3}&=0\end{aligned}}$$

Den relativistiska kompositionslagens form kan förstås som en effekt av misslyckandet av samtidighet på avstånd. För den parallella komponenten minskar tidsdilatationen hastigheten, längdkontraktionen ökar den och de två effekterna upphäver. Misslyckandet av samtidighet innebär att flugan byter skivor av samtidighet som projektionen av u′ på v . Eftersom denna effekt helt beror på tidsskivan, multiplicerar samma faktor den vinkelräta komponenten, men för den vinkelräta komponenten finns det ingen längdkontraktion, så tidsutvidgningen multipliceras med en faktor på 1 ⁄ V = √ ₀ ( 1 − v ₁ ² ) .

Allmän konfiguration

Nedbrytning av 3-hastighet u till parallella och vinkelräta komponenter samt beräkning av komponenterna. Proceduren för u ′ är identisk.

Med utgångspunkt från uttrycket i koordinater för v parallellt med x -axeln kan uttryck för de vinkelräta och parallella komponenterna gjutas i vektorform enligt följande, ett knep som också fungerar för Lorentz-transformationer av andra fysiska 3d-storheter som ursprungligen var i standardkonfigurationen. . Introducera hastighetsvektorn u i den oprimade ramen och u ′ i den primade ramen, och dela upp dem i komponenter parallella (∥) och vinkelräta (⊥) mot den relativa hastighetsvektorn v (se dölj rutan nedan).

$$\mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp }, \quad \mathbf {u} '=\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {u} '_{\perp },$$

sedan med de vanliga kartesiska standardbasvektorerna e _x , e _y , e _z , ställ in hastigheten i den oprimade ramen till att vara

$$\mathbf {u} _{\parallel }=u_{x}\mathbf {e} _{x},\quad \mathbf {u} _{\perp }=u_{y}\mathbf {e} _{y}+u_{z}\mathbf {e} _{z},\quad \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{x},$$

vilket ger, med hjälp av resultaten för standardkonfigurationen,

$$\mathbf {u} _{\parallel }={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},\quad \mathbf {u} _{\perp }={\frac {{\sqrt {1-{\frac { v^{2}}{c^{2}}}}}\mathbf {u} _{\perp }'}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\ parallell }'}{c^{2}}}}}.$$

där · är punktprodukten . Eftersom dessa är vektorekvationer har de fortfarande samma form för v i vilken riktning som helst. Den enda skillnaden från koordinatuttrycken är att uttrycken ovan hänvisar till vektorer , inte komponenter.

Man får

$$\mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp }={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right]\equiv \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ',$$

där α _v = 1/ γ _v är den reciproka av Lorentz - faktorn . Ordningen av operander i definitionen är vald för att sammanfalla med den för standardkonfigurationen från vilken formeln är härledd.

Algebra

$${\begin{aligned}{\frac {\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '_{\perp }}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \ mathbf {u} '}{c^{2}}}}}&={\frac {\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{ 2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{ v}\mathbf {u} '-\alpha _{v}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+ {\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\\&={\frac {1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \ mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{ 2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2 }}}}}\mathbf {u} '\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}} }}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}} }\mathbf {u} '+{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\ mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{ \frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\ frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}/c^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf { v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1 +{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{(1 -\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\ frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1 -\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right].\end{aligned} }$$

---

Nedbrytning till parallella och vinkelräta komponenter i termer av V

Antingen den parallella eller den vinkelräta komponenten för varje vektor måste hittas, eftersom den andra komponenten kommer att elimineras genom substitution av de fullständiga vektorerna.

Den parallella komponenten av u ′ kan hittas genom att projicera hela vektorn i riktningen för den relativa rörelsen

$$\mathbf {u} '_{\parallel }={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2 }}}\mathbf {v} ,$$

och den vinkelräta komponenten av u' ′ kan hittas av korsproduktens geometriska egenskaper ( se figuren ovan till höger),

$$\mathbf {u} '_{\perp }=-{\frac {\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')}{v^{2}} }.$$

I varje fall är v / v en enhetsvektor i relativ rörelseriktning.

Uttrycken för u _|| och u _⊥ kan hittas på samma sätt. Ersätter den parallella komponenten i

$$\mathbf {u} ={ \frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^ {2}}}}}+{\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}(\mathbf {u} -\mathbf {u} _{\parallel }')}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},$$

resulterar i ovanstående ekvation.

---

Genom att använda en identitet i $\alpha _{v}$ och $\gamma _{v}$ ,

$${\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '\equiv \mathbf {u} &={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf { v} +{\frac {\mathbf {u} '}{\gamma _{v}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{ 1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1+{\frac { \mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{ 2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right ],\end{aligned}}$$

och framåt (v positiv, S → S') riktning

$${\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} '&= {\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\vänster[{\frac {\mathbf {u} }{ \gamma _{v}}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}} }(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf { v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {u} -\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{ v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\right]\end{aligned}}$$

där det sista uttrycket är av standardvektoranalysformeln v × ( v × u ) = ( v ⋅ u ) v − ( v ⋅ v ) u . Det första uttrycket sträcker sig till valfritt antal rumsliga dimensioner, men korsprodukten definieras endast i tre dimensioner. Objekten A , B , C där B har hastighet v relativt A och C som har hastighet u relativt A kan vara vad som helst. I synnerhet kan de vara tre ramar, eller så kan de vara laboratoriet, en sönderfallspartikel och en av sönderfallsprodukterna från den sönderfallande partikeln.

Egenskaper

Den relativistiska additionen av 3-hastigheter är icke-linjär , så generellt

$$(\lambda \mathbf {v} )\oplus (\lambda \mathbf {u} )\neq \lambda (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),$$

för reellt tal λ , även om det är sant att

$$(-\mathbf {v} )\oplus (-\mathbf {u} )=-(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),$$

Dessutom, på grund av de sista termerna, är i allmänhet varken kommutativ

$$\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \neq \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ,$$

inte heller associativ

$$\mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} )\neq (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )\oplus \mathbf {w} .$$

Det förtjänar särskilt att nämnas att om u och v′ hänvisar till hastigheter för parvisa parallella ramar (primade parallellt med oprimade och dubbelt primade parallellt med primade), så, enligt Einsteins hastighetsreciprocitetsprincip, rör sig den oprimade ramen med hastigheten − u i förhållande till primerad ram, och den primade ramen rör sig med hastigheten − v′ relativt den dubbelt primade ramen, därför (− v′ ⊕ − u ) är hastigheten för den oprimade ramen i förhållande till den dubbelprimade ramen, och man kan förvänta sig att ha u ⊕ v′ = −(− v′ ⊕ − u ) genom naiv tillämpning av reciprocitetsprincipen. Detta håller inte, även om storleken är lika stor. De oprimade och dubbelprimade ramarna är inte parallella, utan relaterade genom en rotation. Detta är relaterat till fenomenet Thomas precession och behandlas inte vidare här.

Normerna ges av

$$|\mathbf {u} |^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}={\frac {1}{\left(1+{\ frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {v} +\mathbf {u} '\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} '\right)^{2}\right]= |\mathbf {u} '\oplus \mathbf {v} |^{2}.$$

och

$$|\mathbf {u} '|^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |^{2}={\frac {1}{\left(1-{\ frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {u} -\mathbf {v} \ höger)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} \right)^{2}\right]=|\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |^{2}.$$

Bevis

$${\begin{aligned}&\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}| \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}\\&=\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2} }}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right]^ {2}\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v }}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ) (\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {1}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\ gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )^{2}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u } ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}} \left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u } ')\right]+{\frac {v^{2}}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}} \right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \ mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}} }{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf { v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\alpha _{v})(1+\alpha _ {v})}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\ mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right ]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}} {\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\ mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(\gamma _{v}-1)}{c^{2}(\gamma _{v}+1)} }\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ') ^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\ gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\gamma _{v})}{c^{2}(\gamma _{ v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}} {\frac {\gamma _{v}+1}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{ 2}-{\frac {1}{c^{2}}}|\mathbf {v} \times \mathbf {u} '|^{2}\end{aligned}}$$

Omvänd formel hittas genom att använda standardproceduren för att byta v mot -v och u mot u′ .

Det är tydligt att icke-kommutativiteten manifesterar sig som en ytterligare rotation av koordinatramen när två förstärkningar är involverade, eftersom normen i kvadrat är densamma för båda förstärkningsordningarna.

Gammafaktorerna för de kombinerade hastigheterna beräknas som

$${\{displaystyle \gamma _ u}=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}=\left[1-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{(1 +{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\left((\mathbf {v} +\mathbf {u} ' )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{ 2})\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v } \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right),\quad \quad \gamma _{u}'=\gamma _{v}\gamma _{u}\left(1 -{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)}$$

Detaljerade bevis

$${\begin{aligned}\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}& =\left[{\frac {c^{3}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}{c ^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}-{\frac {1}{c^ {2}}}{\frac {(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u' ^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c ^{2}}})^{2}}}\höger]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+{ \frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}-(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+ {\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c ^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac { 1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2 }}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}})-v^{2}-u'^{2} -2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v } \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}} })^{2}}}\höger]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\vänster[{\frac {1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{ \frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2}{c^{2} }}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v } \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2 }}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{ 2}}}+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2 })}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac { 1}{2}}}\\&=\left[{\frac {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\left(1-{ \frac {u'^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{ 2}}}\höger)^{2}}}\höger]^{-{\frac {1}{2}}}=\vänster[{\frac {1}{\gamma _{v}^{2 }\gamma _{u}'^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2} }}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}$$

Omvänd formel hittas genom att använda standardproceduren för att byta v mot − v och u mot u′ .

Notationskonventioner

Notationer och konventioner för hastighetstillägget varierar från författare till författare. Olika symboler kan användas för operationen, eller för de inblandade hastigheterna, och operanderna kan växlas för samma uttryck, eller symbolerna kan växlas för samma hastighet. En helt separat symbol kan också användas för den transformerade hastigheten, snarare än primtal som används här. Eftersom hastighetsadditionen är icke-kommutativ, kan man inte byta operander eller symboler utan att ändra resultatet.

Exempel på alternativ notation inkluderar:

Ingen specifik operand

Landau & Lifshitz (2002) (med enheter där c = 1)

$$|\mathbf {v_{rel}} |^{2}= {\frac {1}{(1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} )^{2}}}\left[(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}\right]$$

Vänster-till-höger-ordning av operander

Mocanu (1992)

$$\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} = {\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]$$

Ungar (1988)

$$\mathbf {u} *\mathbf {v} ={ \frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} + {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \ gånger (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]$$

Ordning från höger till vänster av operander

Sexl & Urbantke (2001)

$$\mathbf {w} \circ \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}}}\vänster[{\frac {\mathbf {w} } {\gamma _{\mathbf {v} }}}+\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{ \gamma _{\mathbf {v} }+1}}(\mathbf {w} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]$$

Ansökningar

Några klassiska tillämpningar av formler för hastighetsaddition, på Doppler-förskjutningen, på ljusets aberration och på släpningen av ljus i rörligt vatten, vilket ger relativistiskt giltiga uttryck för dessa fenomen, beskrivs i detalj nedan. Det är också möjligt att använda hastighetsadditionsformeln, förutsatt bevarande av rörelsemängd (genom att vädja till vanlig rotationsinvarians), den korrekta formen av 3 -vektordelen av rörelsemängdsfyrvektorn, utan att tillgripa elektromagnetism, eller a priori okänd att vara giltiga, relativistiska versioner av den lagrangska formalismen . Detta innebär att experimentalister studsar av relativistiska biljardbollar från varandra. Detta är inte detaljerat här, men se för referens Lewis & Tolman (1909) Wikisource version (primär källa) och Sard (1970 , avsnitt 3.2).

Fizeau-experiment

Hippolyte Fizeau (1819–1896), en fransk fysiker, var 1851 den första som mätte ljusets hastighet i strömmande vatten.

Huvudartikel: Fizeau-experiment

När ljus fortplantar sig i ett medium reduceras dess hastighet, i mediets viloram, till c _m = c ⁄ n _m , där n _m är brytningsindex för mediet m . Ljushastigheten i ett medium som rör sig likformigt med hastigheten V i den positiva x -riktningen mätt i labbramen ges direkt av formlerna för hastighetsaddition. För framåtriktningen (standardkonfiguration, droppindex m på n ) får man,

$${\begin{aligned}c_{m}&={\frac {V+c_{m}'}{1+{\frac {Vc_{m}'}{c^{2}}}}} ={\frac {V+{\frac {c}{n}}}{1+{\frac {Vc}{nc^{2}}}}}={\frac {c}{n}}{\frac {1+{\frac {nV}{c}}}{1+{\frac {V}{nc}}}}\\&={\frac {c}{n}}\left(1+{\ frac {nV}{c}}\right){\frac {1}{1+{\frac {V}{nc}}}}=\left({\frac {c}{n}}+V\right )\left(1-{\frac {V}{nc}}+\left({\frac {V}{nc}}\right)^{2}-\cdots \right).\end{aligned}}$$

Samla in de största bidragen explicit,

$$c_{m}={\frac {c}{n}}+V\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {V}{nc}} +\cdots \right).$$

Fizeau hittade de tre första termerna. Det klassiska resultatet är de två första termerna.

Aberration av ljus

Huvudartikel: Aberration av ljus

En annan grundläggande tillämpning är att överväga ljusets avvikelse, dvs ändring av dess riktning, vid transformering till en ny referensram med parallella axlar, kallad ljusaberration . I det här fallet v ′ = v = c , och insättning i formeln för tan θ ger

$$\tan \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}c\sin \theta '}{c\cos \ theta '+V}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\cos \theta '+ {\frac {V}{c}}}}.$$

I detta fall kan man också beräkna sin θ och cos θ från standardformlerna,

$$\sin \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2} }{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},$$

Trigonometri

$${\begin{aligned}{\frac {v_{y}}{v} }&={\frac {\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}v_{y}'}{1+{\frac {V }{c^{2}}}v_{x}'}}{\frac {\sqrt {v'^{2}+V^{2}+2Vv'\cos \theta '-({\frac {Vv '\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v'\cos \theta '}}}\\&={ \frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2 }+2Vc\cos \theta '-V^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2} }{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}(1-\cos ^{2}\theta ')}}}={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{ \sqrt {c^{2}+2Vc\cos \theta '+V^{2}\cos ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},\end{aligned}}$$

---

$$\cos \theta ={\frac {{\frac {V}{c}}+\cos \theta '}{ 1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},$$

James Bradley (1693–1762) FRS , gav en förklaring av ljusavvikelse korrekt på klassisk nivå, i strid med de senare teorierna som rådde under artonhundratalet baserade på existensen av eter .

de trigonometriska manipulationerna är väsentligen identiska i cos -fallet med manipulationerna i sin- fallet. Tänk på skillnaden,

$${\begin{aligned}\sin \theta -\sin \theta '&=\sin \theta '\left({\frac {\sqrt {1-{ \frac {V^{2}}{c^{2}}}}}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}}-1\right)\\&\approx \ sin \theta '\left(1-{\frac {V}{c}}\cos \theta '-1\right)=-{\frac {V}{c}}\sin \theta '\cos \theta ',\end{aligned}}$$

rätta till ordning v ⁄ c . Använd för att göra små vinkelapproximationer en trigonometrisk formel,

$$\$$

där cos 1 / 2 ( θ + θ ′) ≈ cos θ ′, sin 1 / 2 ( θ − θ ′) ≈ 1 / 2 ( θ − θ ′) användes.

Kvantiteten alltså

$$\Delta \theta \equiv \theta '-\theta ={\frac {V}{c}}\sin \theta ',$$

den klassiska aberrationsvinkeln erhålls i gränsen V ⁄ c → 0 .

Relativistiskt dopplerskifte

Christian Doppler (1803–1853) var en österrikisk matematiker och fysiker som upptäckte att den observerade frekvensen av en våg beror på källans och observatörens relativa hastighet.

Huvudartikel: Relativistisk dopplereffekt

Här kommer hastighetskomponenter att användas i motsats till hastighet för större allmänhet, och för att undvika kanske till synes ad hoc- introduktioner av minustecken. Minustecken som förekommer här kommer istället att tjäna till att belysa funktioner när hastigheter lägre än ljusets hastighet beaktas.

För ljusvågor i vakuum räcker tidsdilatation tillsammans med en enkel geometrisk observation enbart för att beräkna dopplerförskjutningen i standardkonfiguration (kolinjär relativ hastighet för emitter och observatör samt observerad ljusvåg).

Alla hastigheter i det följande är parallella med den vanliga positiva x -riktningen , så sänkningar på hastighetskomponenter tas bort. Introducera den geometriska observationen i observatörsramen

$$\lambda =-sT+VT=(-s+V)T$$

som det rumsliga avståndet, eller våglängden , mellan två pulser (vågtoppar), där T är tiden som förflutit mellan utsändningen av två pulser. Tiden som förflutit mellan passagen av två pulser vid samma punkt i rymden är tidsperioden τ , och dess inversa ν = 1 ⁄ τ är den observerade (temporala) frekvensen . Motsvarande kvantiteter i sändarens ram är försedda med primtal.

För ljusvågor

$$s=s'=-c,$$

och den observerade frekvensen är

$$\nu ={-s \over \lambda }={-s \over (Vs)T}={c \over (V+c)\gamma _{_{V}}T'}=\nu '{\frac {c{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}{c+V}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.$$

där T = γ _V T ′ är standardtidsdilatationsformeln .

Antag istället att vågen inte är sammansatt av ljusvågor med hastighet c , utan istället, för enkel visualisering, kulor som avfyras från en relativistisk maskingevär, med hastigheten s ′ i sändarens ram. Då, i allmänhet, är den geometriska observationen exakt densamma . Men nu s ≠ s och s av hastighetsaddition,

$$s={\frac {s'+V}{1+{s'V \over c^{2}}}}.$$

Beräkningen är då i huvudsak densamma, förutom att det här är lättare att utföra upp och ner med τ = 1 ⁄ ν istället för ν . Man hittar

$\tau ={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right),\quad \nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{ V \over s'}\right)$

Detaljer i avledning

$${\begin{aligned}{L \over -s}&={\frac {\left({\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}} }}+V\right)T}{\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}}\\&={\gamma _{_{V} } \over \nu '}{\frac {-s'-V+V(1+{s'V \over c^{2}})}{-s'-V}}\\&={\gamma _{_{V}} \över \nu '}\left({\frac {s'\left(1-{V^{2} \over c^{2}}\right)}{s'+V }}\right)\\&={\gamma _{_{V}} \över \nu '}\left({\frac {s'\gamma ^{-2}}{s'+V}}\ höger)\\&={1 \över \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\höger).\\ \end{aligned}}$$

---

Observera att i det typiska fallet är s ′ som kommer in negativt . Formeln har dock generell giltighet. När s ′ = − c reduceras formeln till formeln som beräknas direkt för ljusvågor ovan,

$$\nu =\nu '\gamma _{_{V}}(1-\beta )=\nu '{\frac {1-\beta }{{\sqrt {1-\beta }}{\ sqrt {1+\beta }}}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.$$

Om sändaren inte skjuter kulor i tomt utrymme, utan sänder ut vågor i ett medium, så gäller formeln fortfarande , men nu kan det vara nödvändigt att först beräkna s ′ från sändarens hastighet i förhållande till mediet.

För att återgå till fallet med en ljussändare, om observatören och sändaren inte är kolinjära, har resultatet liten modifiering,

$$\nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{\frac {V}{s'} }\cos \theta \right),$$

där θ är vinkeln mellan ljussändaren och observatören. Detta reduceras till det tidigare resultatet för kolinjär rörelse när θ = 0 , men för tvärgående rörelse motsvarande θ = π /2 skiftas frekvensen med Lorentz - faktorn . Detta händer inte i den klassiska optiska dopplereffekten.

Hyperbolisk geometri

Funktionerna sinh , cosh och tanh . Funktionen tanh relaterar hastigheten −∞ < ς < +∞ till relativistisk hastighet −1 < β < +1 .

Associerad till den relativistiska hastigheten ${\boldsymbol {\beta }}$ för ett objekt är en kvantitet ${\boldsymbol {\zeta }}$ vars norm kallas snabbhet . Dessa är relaterade genom

$${\mathfrak {so} }(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni {\boldsymbol {\zeta }}={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},$$

där vektorn ${\boldsymbol {\zeta }}$ anses vara kartesiska koordinater på ett 3-dimensionellt delrum av Lie-algebra ${\mathfrak {so}} (3,1)$ av Lorentz-gruppen som spänns av boostgeneratorerna $K_{1},K_{2},K_{3}$ . Detta utrymme, kalla det rapidity space , är isomorft till ℝ ³ som ett vektorrum, och mappas till den öppna enhetskulan, $\mathbb {B} ^{3}$ , hastighetsrymd , via ovanstående relation . Additionslagen för kolinjär form sammanfaller med lagen om addition av hyperboliska tangenter

$$\tanh(\zeta _{v}+ '})={\tanh \zeta _{v}+\tanh \zeta _{u'} \över 1+\tanh \zeta _{v}\tanh \zeta _{u'}}$$

med

$${\frac {v}{c}}=\tanh \zeta _{v}\ ,\quad {\frac {u'}{c}}=\tanh \zeta _{u'}\ ,\ quad \,{\frac {u}{c}}=\tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'}).$$

Linjeelementet i hastighetsrymden $\mathbb {B} ^{3}$ följer av uttrycket för relativistisk relativ hastighet i valfri ram,

$$v_{r}={\frac {\sqrt {(\mathbf {v_{1 }} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_ {1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }},$$

där ljusets hastighet är satt till enhet så att $v_{i}$ och $\beta _{i}$ överensstämmer. Det här uttrycket, $\mathbf {v} _{1}$ och $\mathbf {v} _{2}$ är hastigheter för två objekt i en given ram. Kvantiteten $v_{r}$ är hastigheten för det ena eller det andra objektet i förhållande till det andra objektet sett i den givna ramen . Uttrycket är Lorentz invariant, dvs. oberoende av vilken ram som är den givna ramen, men kvantiteten det beräknar är inte . Till exempel, om den givna ramen är resten av objekt ett, då $v_{r}=v_{2}$ .

Linjeelementet hittas genom att sätta $\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}+d\mathbf {v}$ eller motsvarande ${\boldsymbol {\beta }}_{2}={\boldsymbol {\beta }}_{1}+d{\boldsymbol {\beta }}$ ,

$$dl_{\boldsymbol {\beta }}^{2}={\frac {d{\boldsymbol {\beta }}^{2}-({\boldsymbol {\beta }}\ gånger d{\boldsymbol {\beta }})^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}={\frac {d\beta ^{2}}{(1- \beta ^{2})^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}(d\theta ^{2}+\sin ^{2 }\theta d\varphi ^{2}),$$

med θ och φ de vanliga sfäriska vinkelkoordinaterna för ${\boldsymbol {\beta }}$ tagna i z -riktningen. Introducera nu ζ igenom

$$\zeta =|{\boldsymbol {\zeta }}|=\tanh ^{-1}\beta ,$$

och linjeelementet på hastighetsrymden $\mathbb {R} ^{3}$ blir

$$dl_{\boldsymbol {\zeta }}^{2}=d\zeta ^{2}+\sinh ^{2}\zeta (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}).$$

Relativistiska partikelkollisioner

I spridningsexperiment är det primära målet att mäta det invarianta spridningstvärsnittet . Detta anger formeln för spridning av två partikeltyper till ett sluttillstånd $f$ som antas ha två eller flera partiklar,

$$dN_{f}=R_{f}\,dV\,dt=\sigma F\,dV\,dt$$

eller, i de flesta läroböcker,

$$dN_{f}=\sigma n_{1}n_{2}v_{r}\,dV\,dt$$

var

• $dVdt$ är rumtidsvolym. Det är en invariant under Lorentz-transformationer.
• $dN_{f}$ är det totala antalet reaktioner som resulterar i sluttillstånd $f$ i rumtidsvolym $dVdt$ . Eftersom det är ett tal är det oföränderligt när samma rumtidsvolym beaktas.
• $R_{f}=F\sigma$ är antalet reaktioner som resulterar i sluttillstånd $f$ per enhet rumstid, eller reaktionshastighet . Detta är oföränderligt.
• $F=n_{1}n_{2}v_{r}$ kallas det infallande flödet . Detta krävs för att vara oföränderligt, men är inte i den mest allmänna inställningen.
• $\sigma$ är spridningstvärsnittet. Det krävs att den är oföränderlig.
• $n_{1},n_{2}$ är partikeldensiteterna i de infallande strålarna. Dessa är inte invarianta, vilket är tydligt på grund av längdkontraktion .
• $v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|$ är den relativa hastigheten för de två infallande strålarna. Detta kan inte vara invariant eftersom $F=n_{1}n_{2}v_{r}$ krävs för att vara så.

Målet är att hitta ett korrekt uttryck för relativistisk relativ hastighet $v_{rel}$ och ett invariant uttryck för det infallande flödet.

Icke-relativistiskt har man för relativ hastighet $v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|$ . Om systemet i vilket hastigheter mäts är viloramen för partikeltyp $1$ , krävs det att $v_{rel}=v_{r}=|\mathbf {v} _{2}|.$ Ställa in ljusets hastighet $c=1$ , uttrycket för ${ \displaystyle v_{rel}}$ följer omedelbart av formeln för normen (andra formeln) i den allmänna konfigurationen som

$$v_{\text{rel}}={\frac {\sqrt {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1 }} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }}.$$

Formeln minskar i den klassiska gränsen till $v_{r}=|\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}|$ som det ska, och ger det korrekta resultatet i resten av partiklarna. Den relativa hastigheten är felaktigt angiven i de flesta, kanske alla böcker om partikelfysik och kvantfältteori. Detta är för det mesta ofarligt, eftersom om antingen en partikeltyp är stationär eller den relativa rörelsen är kolinjär, så erhålls det rätta resultatet från de felaktiga formlerna. Formeln är oföränderlig, men inte uppenbart så. Det kan skrivas om i termer av fyra hastigheter som

$$v_{\text{rel}}={\frac {\sqrt {(u_{1}\cdot u_{2})^{2}-1}}{u_{1}\cdot u_{2} }}.$$

Det korrekta uttrycket för fluxen, utgiven av Christian Møller 1945, ges av

$$F=n_{1}n_{2}{\sqrt {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}-(\mathbf {v} _ {1}\times \mathbf {v} _{2})^{2}}}\equiv n_{1}n_{2}{\bar {v}}.$$

Man noterar att för kolinjära hastigheter, $F=n_{1}n_{2}|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|=n_{1}n_{2} v_{r}$ . För att få ett tydligt Lorentz invariant uttryck skriver man $J_{i}=(n_{i},n_{i}\mathbf {v} _{i} )$ med ${\displaystyle n_{i}=\gamma _{i}n_{i}^{0}} ,$ där $n_{i}^{0}$ är densiteten i viloramen, för de enskilda partiklarna fluxar och kommer fram till

$$F=(J_{1}\cdot J_{2})v_{\text{rel}}.$$

kallas både kvantiteten ${\bar {v}}$ och ${\displaystyle v_{r}} som den relativa hastigheten.$ I vissa fall (statistisk fysik och mörk materialitteratur) benämns ${\displaystyle {\bar {v}}} som$ Møller-hastigheten , i vilket fall $v_{r}$ betyder relativ hastighet. Den sanna relativa hastigheten är i alla fall $v_{rel}$ . Diskrepansen mellan $v_{rel}$ och $v_{r}$ är relevant även om hastigheterna i de flesta fall är kolinjära. Vid LHC är korsningsvinkeln liten, cirka 300 μ rad, men vid den gamla korsande lagringsringen vid CERN var den cirka 18 ^◦ .

Se även

• Hyperbolisk lag för cosinus
• Biquaternion

Anteckningar

•   Cannoni, Mirco (2017). "Lorentz invariant relativ hastighet och relativistiska binära kollisioner". International Journal of Modern Physics A . 32 (2n03): 1730002. arXiv : 1605.00569 . Bibcode : 2017IJMPA..3230002C . doi : 10.1142/S0217751X17300022 . S2CID 119223742 – via World Scientific .
• Einstein, A. (1905). "Om rörliga kroppars elektrodynamik" [Zur Elektrodynamik bewegter Körper] (PDF) . Annalen der Physik . 10 (322): 891-921. Bibcode : 1905AnP...322..891E . doi : 10.1002/andp.19053221004 .
•   Fock, VA (1964). Teorin om rum, tid och gravitation (2:a uppl.). ISBN 978-0-08-010061-6 – via ScienceDirect .
•   French, AP (1968). Särskild relativitet . MIT Introductory Physics Series. WW Norton & Company . ISBN 978-0-393-09793-1 .
•   Friedman, Yaakov; Scarr, Tzvi (2005). Fysiska tillämpningar av homogena bollar . Birkhäuser. s. 1–21. ISBN 978-0-8176-3339-4 .
•   Jackson, JD (1999) [1962]. "Kapitel 11". Klassisk elektrodynamik (3d ed.). John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-30932-1 . (examensnivå)
•   Kleppner, D .; Kolenkow, RJ (1978) [1973]. En introduktion till mekanik . London: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-035048-9 . (introduktionsnivå)
•   Landau, LD ; Lifshitz, EM (2002) [1939]. Den klassiska teorin om fält . Kurs i teoretisk fysik. Vol. 2 (4:e upplagan). Butterworth–Heinemann . ISBN 0-7506-2768-9 . (examensnivå)
•   Lerner, RG ; Trigg, GL (1991). Encyclopaedia of Physics (2:a uppl.). VHC Publishers, Springer. ISBN 978-0-07-025734-4 .
•   Mermin, ND (2005). Det är på tiden: Att förstå Einsteins relativitet . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12201-4 .
•    Mocanu, CI (1992). "Om den relativistiska hastighetssammansättningsparadoxen och Thomas-rotationen". Hittades. Phys. Lett . 5 (5): 443–456. Bibcode : 1992FoPhL...5..443M . doi : 10.1007/BF00690425 . ISSN 0894-9875 . S2CID 122472788 .
• Møller, C. (1945). "Allmänna egenskaper hos den karakteristiska matrisen i teorin om elementarpartiklar I" ( PDF) . D. KGL Danske Vidensk. Selsk. Mat.-Fys. Medd . 23 (1).
•   Parker, SP (1993). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2:a upplagan). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-051400-3 .
•   Sard, RD (1970). Relativistisk mekanik – speciell relativitet och klassisk partikeldynamik . New York: WA Benjamin. ISBN 978-0-8053-8491-8 .
•   Sexl, RU; Urbantke, HK (2001) [1992]. Relativitet, Grupper Partiklar. Specialrelativitet och relativistisk symmetri i fält- och partikelfysik . Springer. s. 38–43. ISBN 978-3-211-83443-5 .
•   Tipler, P.; Mosca, G. (2008). Fysik för vetenskapsmän och ingenjörer (6:e upplagan). Fri man. s. 1328–1329. ISBN 978-1-4292-0265-7 .
•    Ungar, AA (1988). "Thomas rotation och parametrisering av Lorentz-gruppen". Grunderna för fysikbokstäver . 1 (1): 57–81. Bibcode : 1988FoPhL...1...57U . doi : 10.1007/BF00661317 . ISSN 0894-9875 . S2CID 121240925 .

Historisk

• Bradley, James (1727–1728). "Ett brev från pastorn Mr. James Bradley Savilian professor i astronomi vid Oxford och FRS till Dr. Edmond Halley Astronom. Reg. &c. Redogörelse för en ny upptäckt rörelse av de fixa stjärnorna" . Phil. Trans. R. Soc. (PDF). 35 (399–406): 637–661. Bibcode : 1727RSPT...35..637B . doi : 10.1098/rstl.1727.0064 .
• Doppler, C. (1903) [1842], Über das farbige Licht der Doppelsterne und einiger anderer Gestirne des Himmels [ Om binärstjärnornas färgade ljus och några andra himlens stjärnor] (på tyska), vol. 2, Prag: Abhandlungen der Königl. Böhm. Gesellschaft der Wissenschaften, s. 465–482
• Fizeau, H. (1851F). "Sur les hypothèses relatives à l'éther lumineux" [Hypoteserna som rör den lysande etern]. Comptes Rendus (på franska). 33 : 349-355.
• Fizeau, H. (1851E). "Hypoteserna angående den lysande etern" . Filosofisk tidskrift . 2 : 568-573.
• Fizeau, H. (1859). "Sur les hypothèses relatives à l'éther lumineux" [Hypoteserna som rör den lysande etern]. Ann. Chim. Phys. (på franska). 57 : 385-404.
• Fizeau, H. (1860). "Om effekten av en kropps rörelse på den hastighet med vilken den passeras av ljus" . Filosofisk tidskrift . 19 : 245–260.
•   Galilei, G. (2001) [1632]. Dialog om de två främsta världssystemen [ Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo ]. Stillman Drake (Redaktör, Översättare), Stephen Jay Gould (Redaktör), JL Heilbron (Introduktion), Albert Einstein (Förord). Modernt bibliotek. ISBN 978-0-375-75766-2 .
•   Galilei, G. (1954) [1638]. Dialoger rörande två nya vetenskaper [ Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze ]. Henry Crew, Alfonso de Salvio (översättare). Digiread.com. ISBN 978-1-4209-3815-9 .
• Lewis, GN ; Tolman, RC (1909). "Relativitetsprincipen och icke-newtonsk mekanik" . Phil. Mag . 6. 18 (106): 510–523. doi : 10.1080/14786441008636725 . Wikisource version

externa länkar

• Sommerfeld, A. (1909). "Om sammansättningen av hastigheter i relativitetsteorin" [ Über die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten in der Relativteori]. Verh. Dtsch. Phys. Ges . 21 : 577-582.