Bol loop

I matematik och abstrakt algebra är en Bol-loop en algebraisk struktur som generaliserar begreppet grupp . Bol loopar är uppkallade efter den holländska matematikern Gerrit Bol som introducerade dem i ( Bol 1937 ) .

En loop , L , sägs vara en vänster Bol-loop om den uppfyller identiteten

${\displaystyle a(b(ac))=(a(ba))c} ,$ för varje a , b , c i L ,

medan L sägs vara en rätt Bol-loop om den uppfyller

${\displaystyle ((ca)b)a=c((ab)a)} ,$ för varje a , b , c i L .

Dessa identiteter kan ses som försvagade former av associativitet , eller en förstärkt form av (vänster eller höger) alternativitet .

En slinga är både vänster Bol och höger Bol om och endast om det är en Moufang loop . Alternativt är en höger eller vänster Bol-loop Moufang om och endast om den uppfyller den flexibla identiteten a(ba) = (ab)a . Olika författare använder termen "Bol loop" för att hänvisa till antingen en vänster Bol- eller en höger Bol-loop.

Egenskaper

Den vänstra (höger) Bol-identiteten innebär direkt den vänstra (höger) alternativa egenskapen , vilket kan visas genom att sätta b till identiteten.

Det innebär också den vänstra (höger) inversa egenskapen , vilket kan ses genom att sätta b till vänster (höger) invers av a, och använda loopdivision för att ta bort den överflödiga faktorn av a. Som ett resultat har Bol-öglor tvåsidiga inverser.

Bol-loopar är också kraftassociativa .

Bruck loopar

En Bol-slinga där den tidigare nämnda tvåsidiga inversen uppfyller den automorfa inversa egenskapen, ( ab ) ⁻¹ = a ⁻¹ b ⁻¹ för alla a,b i L , är känd som en (vänster eller höger) Bruck-loop eller K- loop (uppkallad efter den amerikanske matematikern Richard Bruck ). Exemplet i följande avsnitt är en Bruck-loop.

Bruck loopar har tillämpningar i speciell relativitet ; se Ungar (2002). Vänster Bruck-loopar är ekvivalenta med Ungars (2002) gyrokommutativa gyrogrupper , även om de två strukturerna definieras olika.

Exempel

Låt L beteckna mängden nxn positiva definitiva , Hermitiska matriser över de komplexa talen. Det är i allmänhet inte sant att matrisprodukten AB av matriserna A , B i L är hermitisk, än mindre positiv definitiv. Det finns emellertid ett unikt P i L och en unik enhetlig matris U så att AB = PU ; detta är den polära nedbrytningen av AB . Definiera en binär operation * på L med A * B = P . Sedan ( L , *) är en vänster Bruck-ögla. En explicit formel för * ges av A * B = ( AB ² A ) ^1/2 , där den upphöjda 1/2 anger den unika positiva bestämda hermitiska kvadratroten .

Bol algebra

En (vänster) Bol-algebra är ett vektorrum utrustat med en binär operation $[a,b]+[b,a]=0$ och en ternär operation $\{a,b,c\}$ som uppfyller följande identiteter:

$\{a,b,c\}+\{b,a,c\}=0$

och

$\{a,b,c\}+\{b,c,a\}+\{c ,a,b\}=0$

och

$[\{a,b,c\},d]-[\{a,b,d\},c]+\{c,d,[ a,b]\}-\{a,b,[c,d]\}+[[a,b],[c,d]]=0$

och

$\{a,b,\{c,d,e\}\}-\{\{a,b,c\},d,e\}-\{c,\ {a,b,d\},e\}-\{c,d,\{a,b,e\}\}=0$ .

Observera att {.,.,.} fungerar som ett Lie trippelsystem . Om A är en vänster eller höger alternativ algebra så har den en associerad Bol algebra A ^b , där $[a,b]=ab-ba$ är kommutatorn och $\{a,b,c\}=\langle b,c,a\rangle$ är Jordan-associatorn .

•      Bol, G. (1937), "Gewebe und gruppen", Mathematische Annalen , 114 (1): 414–431, doi : 10.1007 /BF01594185 , ISSN 0025-5831 , JFM 63.1157.04 , Z31247015 , Z31247015 , MR 6124701
•   Kiechle, H. (2002). Teori om K-loopar . Springer. ISBN 978-3-540-43262-3 .
•   Pflugfelder, HO (1990). Kvasigrupper och loopar: Introduktion . Heldermann. ISBN 978-3-88538-007-8 . Kapitel VI handlar om Bol-loopar.
•   Robinson, DA (1966). "Bol loopar" . Trans. Amer. Matematik. Soc . 123 (2): 341–354. doi : 10.1090/s0002-9947-1966-0194545-4 . JSTOR 1994661 .
•   Ungar, AA (2002). Beyond the Einstein Addition Law and its Gyroscopic Thomas Precession: Theory of Gyrogroups and Gyrovector Spaces . Kluwer. ISBN 978-0-7923-6909-7 .