Funktionskonceptets historia

Det matematiska begreppet en funktion växte fram på 1600-talet i samband med utvecklingen av kalkylen ; till exempel betraktades lutningen för en graf i en punkt som en funktion av punktens x -koordinat . Funktioner övervägdes inte uttryckligen under antiken, men några föregångare till begreppet kan kanske ses i verk av medeltida filosofer och matematiker som Oresme .

Matematiker på 1700-talet betraktade vanligtvis en funktion som definierad av ett analytiskt uttryck . På 1800-talet ledde kraven från Weierstrass och andras rigorösa analysutveckling, omformuleringen av geometrin i termer av analys och Cantors uppfinning av mängdteorin , så småningom till det mycket mer allmänna moderna konceptet om en funktion som en enkelvärdig mappning från en uppsättning till en annan.

Funktioner före 1600-talet

Redan på 1100-talet analyserade matematikern Sharaf al-Din al-Tusi ekvationen x 3 + d = b ⋅ x 2 i formen x 2 ⋅ ( b – x ) = d , och angav att den vänstra sidan måste vara minst lika med värdet av d för att ekvationen ska ha en lösning. Han bestämde sedan maxvärdet för detta uttryck. Det kan hävdas att isoleringen av detta uttryck är ett tidigt förhållningssätt till begreppet "funktion". Ett värde mindre än d betyder ingen positiv lösning; ett värde lika med d motsvarar en lösning, medan ett värde större än d motsvarar två lösningar. Sharaf al-Dins analys av denna ekvation var en anmärkningsvärd utveckling inom islamisk matematik , men hans arbete fortsattes inte längre vid den tiden, varken i den muslimska världen eller i Europa.

Enligt Dieudonné och Ponte uppstod begreppet funktion på 1600-talet som ett resultat av utvecklingen av analytisk geometri och infinitesimalkalkylen . Icke desto mindre antyder Medvedev att det implicita begreppet en funktion är ett med en gammal härstamning. Ponte ser också mer explicita synsätt på begreppet under medeltiden :

Historiskt sett kan vissa matematiker anses ha förutsett och kommit nära en modern formulering av funktionsbegreppet. Bland dem finns Oresme (1323–1382) . . . I hans teori tycks vissa allmänna idéer om oberoende och beroende variabla storheter finnas närvarande.

Utvecklingen av analytisk geometri runt 1640 gjorde det möjligt för matematiker att gå mellan geometriska problem om kurvor och algebraiska relationer mellan "variabla koordinater x och y ." Calculus utvecklades med hjälp av begreppet variabler, med deras tillhörande geometriska betydelse, som bestod långt in på sjuttonhundratalet. Emellertid kom terminologin "funktion" att användas i interaktioner mellan Leibniz och Bernoulli mot slutet av 1600-talet.

Begreppet "funktion" i analys

Begreppet "funktion" introducerades bokstavligen av Gottfried Leibniz , i ett brev från 1673, för att beskriva en kvantitet relaterad till punkter i en kurva , såsom en koordinat eller en kurvas lutning . Johann Bernoulli började kalla uttryck gjorda av en enda variabel för "funktioner". 1698 höll han med Leibniz om att vilken kvantitet som helst som bildas "på ett algebraiskt och transcendentalt sätt" kan kallas en funktion av x . År 1718 kom han att betrakta som en funktion "alla uttryck som består av en variabel och några konstanter." Alexis Claude Clairaut (cirka 1734) och Leonhard Euler introducerade den välbekanta notationen för värdet av en funktion.

De funktioner som övervägdes på den tiden kallas idag differentierbara funktioner . För den här typen av funktioner kan man tala om limits och derivator; båda är mätningar av utmatningen eller förändringen i utsignalen eftersom det beror på ingången eller förändringen i inmatningen. Sådana funktioner är grunden för kalkylen .

Euler

I den första volymen av sin grundläggande text Introductio in analysin infinitorum , publicerad 1748, gav Euler i huvudsak samma definition av en funktion som sin lärare Bernoulli, som ett uttryck eller formel som involverar variabler och konstanter, t.ex. . Eulers egen definition lyder:

En funktion av en variabel kvantitet är ett analytiskt uttryck som på något sätt består av variabeln kvantitet och tal eller konstanta kvantiteter.

Euler tillät också flervärdiga funktioner vars värden bestäms av en implicit ekvation.

Men 1755 gav Euler i sin Institutions calculi differentialis ett mer allmänt begrepp om en funktion:

När vissa kvantiteter är beroende av andra på ett sådant sätt att de genomgår en förändring när de senare förändras, då kallas de första funktionerna hos den andra. Detta namn har en extremt bred karaktär; den omfattar alla sätt på vilka en kvantitet kan bestämmas i termer av andra.

Medvedev anser att "i huvudsak är detta den definition som blev känd som Dirichlets definition." Edwards tillskriver också Euler ett allmänt koncept för en funktion och säger vidare att

Relationerna mellan dessa kvantiteter anses inte vara givna av formler, men å andra sidan är de säkerligen inte tänkta att vara den sortens allmänna mängdteoretiska, allt möjligt delmängder av produktrum som moderna matematiker menar när de använder ordet "funktion".

Fourier

I sin Théorie Analytique de la Chaleur hävdade Fourier att en godtycklig funktion kunde representeras av en Fourier-serie . Fourier hade en allmän uppfattning om en funktion, som innefattade funktioner som varken var kontinuerliga eller definierade av ett analytiskt uttryck. Besläktade frågor om karaktären och representationen av funktioner, som härrörde från lösningen av vågekvationen för en vibrerande sträng, hade redan varit föremål för tvist mellan d'Alembert och Euler, och de hade en betydande inverkan på att generalisera begreppet en funktion . Luzin konstaterar att:

Den moderna förståelsen av funktion och dess definition, som verkar korrekt för oss, skulle kunna uppstå först efter Fouriers upptäckt. Hans upptäckt visade tydligt att de flesta av de missförstånd som uppstod i debatten om den vibrerande strängen var resultatet av att två till synes identiska men faktiskt väldigt olika begrepp förväxlades, nämligen det om funktion och dess analytiska representation. Före Fouriers upptäckt gjordes faktiskt ingen skillnad mellan begreppen "funktion" och "analytisk representation", och det var denna upptäckt som ledde till deras frånkoppling.

Cauchy

Under 1800-talet började matematiker formalisera alla olika grenar av matematik. En av de första som gjorde det var Cauchy ; hans något oprecisa resultat gjordes senare helt rigorösa av Weierstrass , som förespråkade att bygga kalkyl på aritmetik snarare än på geometri , vilket gynnade Eulers definition framför Leibniz (se aritmetisering av analys ). Enligt Smithies tänkte Cauchy på funktioner som definierade av ekvationer som involverar reella eller komplexa tal , och antog tyst att de var kontinuerliga:

Cauchy gör några allmänna anmärkningar om funktioner i kapitel I, sektion 1 i hans Analyze algébrique (1821). Av vad han säger där är det tydligt att han normalt betraktar en funktion som definierad av ett analytiskt uttryck (om det är explicit) eller av en ekvation eller ett ekvationssystem (om det är implicit); där han skiljer sig från sina föregångare är att han är beredd att överväga möjligheten att en funktion kan definieras endast för ett begränsat intervall av den oberoende variabeln.

Lobatsjovskij och Dirichlet

Nikolai Lobachevsky och Peter Gustav Lejeune Dirichlet är traditionellt krediterade för att självständigt ge den moderna "formella" definitionen av en funktion som en relation där varje första element har ett unikt andra element.

Lobatsjovskij (1834) skriver det

Det allmänna konceptet för en funktion kräver att en funktion av x definieras som ett tal som ges för varje x och varierar gradvis med x . Funktionens värde kan ges antingen genom ett analytiskt uttryck eller genom ett villkor som ger ett sätt att undersöka alla tal och välja ett av dem; eller slutligen kan beroendet existera men förbli okänt.

medan Dirichlet (1837) skriver

Om nu ett unikt ändligt y som motsvarar varje x , och dessutom på ett sådant sätt att när x sträcker sig kontinuerligt över intervallet från a till b , så varierar { kontinuerligt, då kallas y en kontinuerlig funktion av x för detta intervall. Det är inte alls nödvändigt här att y ges i termer av x av en och samma lag genom hela intervallet, och det är inte nödvändigt att det betraktas som ett beroende uttryckt med matematiska operationer.

Eves hävdar att "studenten i matematik vanligtvis uppfyller Dirichlets definition av funktion i sin introduktionskurs i kalkyl.

Dirichlets anspråk på denna formalisering har ifrågasatts av Imre Lakatos :

Det finns ingen sådan definition i Dirichlets verk alls. Men det finns gott om bevis för att han inte hade någon aning om detta koncept. I sin artikel [1837] till exempel, när han diskuterar kontinuerliga funktioner i bitar, säger han att vid diskontinuitetspunkter har funktionen två värden : ...

Gardiner säger dock "... det förefaller mig att Lakatos går för långt, till exempel när han hävdar att 'det finns gott om bevis för att [Dirichlet] inte hade någon aning om konceptet [den moderna funktionen]'." Dessutom, som nämnts ovan, verkar Dirichlets artikel innehålla en definition i linje med vad som vanligtvis tillskrivs honom, även om han (liksom Lobatsjovskij) endast anger det för kontinuerliga funktioner av en reell variabel.

På liknande sätt observerar Lavine att:

Det är en fråga om tvist hur mycket beröm Dirichlet förtjänar för den moderna definitionen av en funktion, delvis för att han begränsade sin definition till kontinuerliga funktioner....Jag tror att Dirichlet definierade begreppet kontinuerlig funktion för att klargöra att ingen regel eller lag krävs även vid kontinuerliga funktioner, inte bara generellt. Detta skulle ha förtjänat särskild betoning på grund av Eulers definition av en kontinuerlig funktion som en given av ett enda uttryck eller lag. Men jag tvivlar också på att det finns tillräckliga bevis för att lösa tvisten.

Eftersom Lobatsjovskij och Dirichlet har krediterats som bland de första som introducerade begreppet godtycklig korrespondens, kallas detta begrepp ibland som Dirichlet- eller Lobatsjovskij-Dirichlet-definitionen av en funktion. En allmän version av denna definition användes senare av Bourbaki (1939), och vissa inom utbildningssamhället hänvisar till den som "Dirichlet-Bourbaki"-definitionen av en funktion.

Dedekind

Dieudonné , som var en av de grundande medlemmarna av Bourbaki-gruppen, tillskriver Dedekind en exakt och allmän modern definition av en funktion i sitt verk Was sind und was sollen die Zahlen, som utkom 1888 men hade redan utarbetats 1878. Dieudonné observerar att istället för att begränsa sig, som i tidigare uppfattningar, till verkliga (eller komplexa) funktioner, definierar Dedekind en funktion som en enkelvärdig mappning mellan två uppsättningar:

Det som var nytt och det som skulle vara väsentligt för hela matematiken var den helt allmänna uppfattningen om en funktion .

Härdig

Hardy 1908 , s. 26–28 definierade en funktion som en relation mellan två variabler x och y så att "till vissa värden på x i alla fall motsvarar värden på y ." Han krävde varken att funktionen skulle definieras för alla värden på x eller att associera varje värde på x till ett enda värde på y . Denna breda definition av en funktion omfattar fler relationer än vad som vanligtvis anses vara funktioner i samtida matematik. Till exempel inkluderar Hardys definition flervärdiga funktioner och vad som inom beräkningsteorin kallas partiella funktioner .

Logikerns "funktion" före 1850

Logiker av denna tid var främst involverade i att analysera syllogismer (de 2000-åriga aristoteliska formerna och på annat sätt), eller som Augustus De Morgan (1847) sa det: "undersökningen av den del av resonemang som beror på det sätt på vilket slutsatser bildas, och undersökningen av allmänna maximer och regler för att konstruera argument". Vid denna tidpunkt är begreppet (logisk) "funktion" inte explicit, men åtminstone i De Morgans och George Booles arbete antyds det: vi ser abstraktion av argumentformerna, införandet av variabler, införandet av en symbolisk algebra med avseende på dessa variabler, och några av begreppen mängdteori.

De Morgans "FORMELL LOGIC OR, The Calculus of Inference, Necessary and Probable" från 1847 konstaterar att "[en] logisk sanning beror på påståendets struktur och inte på de speciella saker som talas om"; han slösar ingen tid (förord ​​sida i) med att abstrahera: "I formen av propositionen görs kopulan lika abstrakt som termerna". Han gjuter omedelbart (s. 1) vad han kallar "satsen" (nuvarande propositionsfunktion eller relation ) till en form som "X är Y", där symbolerna X, "är" och Y representerar, respektive, subjektet , kopulan och predikatet . Medan ordet "funktion" inte förekommer, finns begreppet "abstraktion" där, "variabler" finns där, begreppet inkludering i hans symbolik "allt Δ är i О" (s. 9) finns där, och slutligen en ny symbolik för logisk analys av begreppet "relation" (han använder ordet med avseende på detta exempel " X)Y " (s. 75) ) finns där:

" A 1 X)Y För att ta ett X är det nödvändigt att ta ett Y" [eller För att vara ett X är det nödvändigt att vara ett Y] "
A 1 Y)X För att ta ett Y räcker det att ta ett X" [eller För att vara ett Y räcker det att vara ett X], etc.

I sin The Nature of Logic från 1848 hävdar Boole att "logik ... i en mer speciell mening är vetenskapen om att resonera med tecken", och han diskuterar kort begreppen "tillhöra" och "klass": "En individ kan ha en stor variation av attribut och därmed tillhörande en stor variation av olika klasser". Liksom De Morgan använder han begreppet "variabel" från analys; han ger ett exempel på att "representera klassen oxar med x och hästar med y och konjunktionen och med tecknet +... vi skulle kunna representera den sammanlagda klassen oxar och hästar med x + y ".

I samband med "differentialkalkylen" definierade Boole (cirka 1849) begreppet en funktion enligt följande:

"Den kvantitet vars variation är likformig ... kallas den oberoende variabeln. Den kvantitet vars variation hänvisas till variationen av den förra sägs vara en funktion av den. Differentialkalkylen gör det möjligt för oss i alla fall att gå från funktionen till gränsen. Detta gör den genom en viss operation. Men i själva idén med en operation är... idén med en invers operation. Att utföra den inversa operationen i det aktuella fallet är den int[egral] kalkylens sak ."

Logikernas "funktion" 1850–1950

Eves observerar "att logiker har försökt att ytterligare pressa ner startnivån för den definitionsmässiga utvecklingen av matematik och att härleda teorin om mängder , eller klasser , från en grund i logiken för propositioner och propositionella funktioner". Men i slutet av 1800-talet genomgick logikernas forskning om matematikens grunder en stor splittring. Riktningen för den första gruppen, logikerna , kan nog bäst sammanfattas av Bertrand Russell 1903 – "att uppfylla två syften, dels att visa att all matematik följer av symbolisk logik, och dels att så långt som möjligt upptäcka vad är själva principerna för symbolisk logik."

Den andra gruppen av logiker, mängdteoretiker, uppstod med Georg Cantors "mängdlära" (1870–1890) men drevs framåt delvis som ett resultat av Russells upptäckt av en paradox som kunde härledas från Freges uppfattning om "funktion ", men också som en reaktion mot Russells föreslagna lösning. Zermelos mängdteoretiska svar var hans 1908 Undersökningar i grunderna för mängdteorin I – den första axiomatiska mängdteorin ; Även här spelar begreppet "propositionell funktion" en roll.

George Booles The Laws of Thought 1854; John Venns symboliska logik 1881

I sin An Investigation into the thought laws definierade Boole nu en funktion i termer av en symbol x enligt följande:

"8. Definition. – Alla algebraiska uttryck som involverar symbolen x kallas en funktion av x och kan representeras av den förkortade formen f ( x )"

Boole använde sedan algebraiska uttryck för att definiera både algebraiska och logiska begrepp, t.ex. 1 − x är logiskt NOT( x ), xy är det logiska OCH( x , y ), x + y är det logiska ELLER( x , y ), x ( x + y ) är xx + xy , och "den speciella lagen" xx = x 2 = x .

I sin symboliska logik från 1881 använde Venn orden "logisk funktion" och den samtida symboliken ( x = f ( y ), y = f −1 ( x ), jfr sidan xxi) plus cirkeldiagrammen som historiskt förknippas med Venn för att beskriva "klassrelationer", begreppen "att kvantifiera" vårt predikat", "propositioner med avseende på deras utvidgning", "förhållandet mellan inkludering och uteslutning av två klasser till varandra" och "propositionell funktion" (alla på sid. 10) ), stapeln över en variabel för att indikera not- x (sidan 43), etc. Han likställde faktiskt otvetydigt begreppet "logisk funktion" med "klass" [modern "mängd"]: "... på den uppfattning som antogs i denna bok, f ( x ) står aldrig för något annat än en logisk klass. Det kan vara en sammansatt klass aggregerad av många enkla klasser; det kan vara en klass som indikeras av vissa omvända logiska operationer, den kan vara sammansatt av två grupper av klasser som är lika till varandra, eller vad som är samma sak, deras skillnad förklaras lika med noll, det vill säga en logisk ekvation. Men hur sammansatt eller härledd som helst, kommer f ( x ) hos oss aldrig att vara något annat än ett allmänt uttryck för sådana logiska klasser saker som rättvist kan hitta en plats i vanlig logik".

Freges Begriffsschrift 1879

Gottlob Freges Begriffsschrift ( 1879) föregick Giuseppe Peano (1889), men Peano hade ingen kunskap om Frege 1879 förrän efter att han hade publicerat sin 1889. Båda författarna påverkade Russell (1903) starkt . Russell påverkade i sin tur mycket av 1900-talets matematik och logik genom hans Principia Mathematica (1913) författad tillsammans med Alfred North Whitehead .

Till en början överger Frege de traditionella "begreppen subjekt och predikat ", och ersätter dem med argument respektive funktion , som han tror "kommer att stå emot tidens tand. Det är lätt att se hur det leder till att betrakta ett innehåll som en funktion av ett argument. bildandet av begrepp. Dessutom förtjänar demonstrationen av sambandet mellan betydelserna av orden om, och, inte, eller, det finns, några, alla, och så vidare, uppmärksamhet".

Frege inleder sin diskussion om "funktion" med ett exempel: Börja med uttrycket "Väte är lättare än koldioxid". Ta nu bort tecknet för väte (dvs ordet "väte") och ersätt det med tecknet för syre (dvs ordet "syre"); detta gör ett andra uttalande. Gör detta igen (med endera påståendet) och ersätt tecknet med kväve (dvs ordet "kväve") och notera att "Detta ändrar betydelsen på ett sådant sätt att "syre" eller "kväve" kommer in i relationerna där " väte" stod före". Det finns tre påståenden:

  • "Väte är lättare än koldioxid."
  • "Syre är lättare än koldioxid."
  • "Kväve är lättare än koldioxid."

Observera nu i alla tre en "stabil komponent, som representerar helheten av [de] relationerna"; kalla detta funktionen , dvs.

"... är lättare än koldioxid", är funktionen.

Frege kallar argumentet för funktionen "[t]tecknet [t.ex. väte, syre eller kväve], betraktat som utbytbart av andra som betecknar objektet som står i dessa relationer". Han noterar att vi kunde ha härlett funktionen som "väte är lättare än ..." också, med en argumentposition till höger ; den exakta observationen görs av Peano (se mer nedan). Slutligen tillåter Frege fallet med två (eller flera) argument. Ta till exempel bort "koldioxid" för att ge den invarianta delen (funktionen) som:

  • "... är lättare än ..."

Enargumentfunktionen Frege generaliserar till formen Φ(A) där A är argumentet och Φ( ) representerar funktionen, medan tvåargumentfunktionen han symboliserar som Ψ(A, B) med A och B argumenten och Ψ ( , ) funktionen och varnar för att "i allmänhet Ψ(A, B) skiljer sig från Ψ(B, A)". Med hjälp av sin unika symbolik översätter han för läsaren följande symbolik:

"Vi kan läsa |--- Φ(A) som "A har egenskapen Φ. |--- Ψ(A, B) kan översättas med "B står i relationen Ψ till A" eller "B är ett resultat av en tillämpning av proceduren Ψ på objektet A".

Peanos The Principles of Arithmetic 1889

Peano definierade begreppet "funktion" på ett sätt som liknar Frege, men utan precision. Först definierar Peano tecknet "K betyder klass eller aggregat av objekt", vars objekt uppfyller tre enkla likhetsvillkor, a = a , ( a = b ) = ( b = a ), IF (( a = b ) OCH ( b = c )) DÅ ( a = c ). Han introducerar sedan φ, "ett tecken eller ett aggregat av tecken så att om x är ett objekt av klassen s , betecknar uttrycket φ x ett nytt objekt". Peano lägger till två villkor för dessa nya objekt: För det första att de tre likhetsvillkoren gäller för objekten φ x ; för det andra att "om x och y är objekt av klass s och om x = y , antar vi att det är möjligt att härleda φ x = φ y ". Med tanke på att alla dessa villkor är uppfyllda är φ ett "funktionspresign". Likaså identifierar han ett "funktionsposttecken". Till exempel om φ är funktionen presign a +, då ger φ x a + x , eller om φ är funktionen eftertecken + a så ger x φ x + a .

Bertrand Russells The Principles of Mathematics 1903

Medan inflytandet från Cantor och Peano var avgörande, i Appendix A "The Logical and Arithmetical Doctrines of Frege" av The Principles of Mathematics, kommer Russell fram till en diskussion om Freges funktionsuppfattning, "... en punkt där Freges arbete är mycket viktigt och kräver noggrann undersökning”. Som svar på sin brevväxling 1902 med Frege om den motsägelse han upptäckte i Freges Begriffsschrift tog Russell detta avsnitt på i sista stund.

För Russell är den förvirrande föreställningen "variabel": "6. Matematiska propositioner kännetecknas inte bara av det faktum att de hävdar implikationer, utan också av det faktum att de innehåller variabler. Uppfattningen om variabeln är en av de svåraste som logiken har att göra med. För närvarande vill jag öppet göra det klart att det finns variabler i alla matematiska propositioner, även där de vid första anblicken kan tyckas vara frånvarande... Vi kommer alltid att finna i all matematisk påståenden, att orden något eller några förekommer; och dessa ord är tecken på en variabel och en formell implikation".

Som uttryckt av Russell "processen att omvandla konstanter i en proposition till variabler leder till vad som kallas generalisering, och ger oss, så att säga, den formella essensen av en proposition ... Så länge som vilken term som helst i vår proposition kan vändas till en variabel kan vår proposition generaliseras; och så länge detta är möjligt är det matematikens sak att göra det"; dessa generaliseringar kallade Russell propositionella funktioner ". Han citerar och citerar faktiskt från Freges Begriffsschrift och presenterar ett levande exempel från Freges 1891 Function und Begriff : Att "essensen av den aritmetiska funktionen 2 x 3 + x är det som finns kvar när x -et tas bort, dvs i ovanstående fall 2( ) 3 + ( ). Argumentet x tillhör inte funktionen, men de två tillsammans bildar helheten." Russell instämde i Freges föreställning om "funktion" i en mening: "Han betraktar funktioner – och i detta håller jag med honom – som mer grundläggande än predikat och relationer" men Russell förkastade Freges "teori om subjekt och påstående", i synnerhet "han tror att om en term a förekommer i en proposition, kan påståendet alltid analyseras till a och ett påstående om a ".

Utveckling av Russells begrepp om "funktion" 1908–1913

Russell skulle föra sina idéer framåt i hans 1908 Mathematical logical baserat på teorin om typer och in i hans och Whiteheads 1910–1913 Principia Mathematica . Vid Principia Mathematicas tid ansåg Russell, liksom Frege, propositionsfunktionen vara grundläggande: "Propositionella funktioner är den grundläggande sorten från vilken de vanligare typerna av funktioner, såsom "sin x" eller log x eller " fadern till x " är härledda. Dessa derivata funktioner ... kallas "beskrivande funktioner". Funktionerna av propositioner ... är ett särskilt fall av propositionella funktioner".

Propositionella funktioner : Eftersom hans terminologi skiljer sig från den samtida, kan läsaren bli förvirrad av Russells "propositionella funktion". Ett exempel kan hjälpa. Russell skriver en propositionell funktion i sin råa form, t.ex. som φŷ : " ŷ är sårad". (Observera cirkumflexen eller "hatten" över variabeln y ). För vårt exempel kommer vi bara att tilldela variabeln ŷ 4 värden : "Bob", "Den här fågeln", "Emily the rabbit" och " y ". Substitution av ett av dessa värden med variabel ŷ ger en proposition ; denna proposition kallas ett "värde" av propositionsfunktionen. I vårt exempel finns det fyra värden för propositionsfunktionen, t.ex. "Bob är skadad", "Den här fågeln är skadad", "Emily kaninen är skadad" och "y är skadad . " Ett påstående, om det är betydelsefullt - dvs om dess sanning är bestämd - har ett sanningsvärde av sanning eller falskhet . Om en propositions sanningsvärde är "sanning" så sägs variabelns värde uppfylla propositionsfunktionen . Slutligen, enligt Russells definition, "en klass [uppsättning] är alla objekt som uppfyller någon propositionell funktion" (s. 23). Notera ordet "alla" – så här kommer de nutida föreställningarna om "För alla ∀" och "det finns minst en instans ∃" in i behandlingen (s. 15).

För att fortsätta exemplet: Antag (utanför matematiken/logiken) att man bestämmer att påståendena "Bob är sårad" har ett sanningsvärde av "falskhet", "Den här fågeln är sårad" har ett sanningsvärde av "sanning", "Emily" kaninen är sårad" har ett obestämt sanningsvärde eftersom "kaninen Emily" inte existerar, och " y är sårad" är tvetydigt vad gäller dess sanningsvärde eftersom argumentet y i sig är tvetydigt. Medan de två påståendena "Bob är sårad" och "Den här fågeln är skadad" är signifikanta (båda har sanningsvärden), uppfyller bara värdet "Den här fågeln" för variabeln ŷ satsfunktionen φŷ : " ŷ är skadad". När man går för att bilda klassen α: φŷ : " ŷ är skadad", ingår bara "Den här fågeln", givet de fyra värdena "Bob", "Den här fågeln", "Emily the rabbit" och "y" för variabeln ŷ och deras respektive sanningsvärden: falskhet, sanning, obestämd, tvetydig.

Russell definierar funktioner av propositioner med argument , och sanningsfunktioner f ( p) . Anta till exempel att man skulle bilda "funktionen av propositioner med argument" p 1 : "NOT( p ) AND q " och tilldela dess variabler värdena p : "Bob är skadad" och q : "Den här fågeln är skadad" . (Vi är begränsade till de logiska länkarna NOT, AND, OR och IMPLIES, och vi kan bara tilldela "signifikanta" propositioner till variablerna p och q ). Då är "funktionen av propositioner med argument" p 1 : NOT("Bob är sårad") OCH "Den här fågeln är skadad". För att bestämma sanningsvärdet för denna "funktion av propositioner med argument" skickar vi den till en "sanningsfunktion", t.ex. f ( p 1 ): f ( NOT("Bob är sårad") OCH "Den här fågeln är skadad" ) , vilket ger ett sanningsvärde av "sanning".

Begreppet "många-ett" funktionell relation" : Russell diskuterar först begreppet "identitet", definierar sedan en beskrivande funktion (sidorna 30ff) som det unika värdet ιx som uppfyller (2-variabler) propositionella funktion (dvs. "relation") φŷ .

OBS Här bör läsaren varnas för att ordningen på variablerna är omvänd! y är den oberoende variabeln och x är den beroende variabeln, t.ex. x = sin( y ).

Russell symboliserar den beskrivande funktionen som "objektet som står i relation till y ": R'y = DEF ( ιx )( x R y ). Russell upprepar att " R'y är en funktion av y , men inte en propositionell funktion [sic]; vi ska kalla det en beskrivande funktion. Alla matematikens vanliga funktioner är av detta slag. Så i vår notation skulle "sin y " skrivas "sin 'y ", och "synd" skulle stå för relationen sin 'y har till y ".

Formalistens "funktion": David Hilberts axiomatisering av matematiken (1904–1927)

David Hilbert satte sig som mål att "formalisera" klassisk matematik "som en formell axiomatisk teori, och denna teori ska bevisas vara konsekvent , dvs fri från motsägelse". I Hilbert 1927 The Foundations of Mathematics formulerar han begreppet funktion i termer av existensen av ett "objekt":

13. A(a) --> A(ε(A)) Här står ε(A) för ett objekt som påståendet A(a) säkerligen gäller om det överhuvudtaget innehåller något objekt; låt oss kalla ε den logiska ε-funktionen". [Pilen indikerar "antyder".]

Hilbert illustrerar sedan de tre sätten hur ε-funktionen ska användas, för det första som begreppen "för alla" och "det finns", för det andra för att representera "objektet som [en proposition] har" och slutligen hur man gjuter den i valfunktionen .

Rekursionsteori och beräkningsbarhet : Men det oväntade resultatet av Hilberts och hans elev Bernays ansträngning var misslyckande; se Gödels ofullständighetsteorem från 1931. Ungefär samtidigt, i ett försök att lösa Hilberts Entscheidungsproblem , började matematiker definiera vad som menades med en "effektivt beräkningsbar funktion" ( Alonzo Church 1936), dvs. "effektiv metod" eller " algoritm ", det vill säga en explicit, steg-för-steg procedur som skulle lyckas beräkna en funktion. Olika modeller för algoritmer dök upp i snabb följd, inklusive Churchs lambda-kalkyl (1936), Stephen Kleenes μ -rekursiva funktioner (1936) och Alan Turings (1936–7) idé om att ersätta mänskliga "datorer" med helt mekaniska "datormaskiner" (se Turingmaskiner ). Det visades att alla dessa modeller kunde beräkna samma klass av beräkningsbara funktioner . Churchs avhandling menar att denna klass av funktioner förbrukar alla de talteoretiska funktioner som kan beräknas med en algoritm. Resultaten av dessa ansträngningar var levande demonstrationer att, med Turings ord, "det kan inte finnas någon allmän process för att avgöra om en given formel U för funktionskalkylen K [ Principia Mathematica ] är bevisbar"; se mer på Independence (matematisk logik) och Computability theory .

Utveckling av den mängdteoretiska definitionen av "funktion"

Mängdteorin började med logikernas arbete med begreppet "klass" (modernt "uppsättning"), till exempel De Morgan (1847) , Jevons (1880), Venn (1881) , Frege (1879) och Peano (1889) . Den fick en push av Georg Cantors försök att definiera det oändliga i mängdteoretisk behandling (1870–1890) och en efterföljande upptäckt av en antinomi (motsägelse, paradox) i denna behandling ( Cantors paradox ), av Russells upptäckt (1902) ) av en antinomi i Freges 1879 ( Russells paradox ), genom upptäckten av fler antinomier i början av 1900-talet (t.ex. Burali-Forti-paradoxen 1897 och Richard-paradoxen 1905 ), och genom motstånd mot Russells komplexa behandling av logik och ogillar av hans axiom för reducerbarhet (1908, 1910–1913) som han föreslog som ett sätt att undvika antinomierna.

Russells paradox 1902

År 1902 skickade Russell ett brev till Frege och påpekade att Freges Begriffsschrift från 1879 tillät en funktion att vara ett argument för sig själv: "Å andra sidan kan det också vara så att argumentet är bestämt och funktionen obestämd ..." Ur detta ohämmad situation Russell kunde bilda en paradox:

"Du anger ... att även en funktion kan fungera som det obestämda elementet. Detta trodde jag tidigare, men nu förefaller denna uppfattning mig tveksam på grund av följande motsägelse. Låt w vara predikatet: att vara ett predikat som inte kan vara predikerad av sig själv. Kan w vara predikerad av sig själv?"

Frege svarade snabbt att "Din upptäckt av motsägelsen orsakade mig den största överraskningen och, jag skulle nästan säga, bestörtning, eftersom den har skakat grunden på vilken jag tänkte bygga aritmetik".

Från denna punkt framåt blev utvecklingen av matematikens grunder en övning i hur man undviker "Russells paradox", inramad som den var i "de blotta [mängd-teoretiska] begreppen mängd och element".

Zermelos mängdlära (1908) modifierad av Skolem (1922)

Begreppet "funktion" framträder som Zermelos axiom III – Separationens axiom (Axiom der Aussonderung). Detta axiom tvingar oss att använda en propositionell funktion Φ( x ) för att "separera" en delmängd M Φ från en tidigare bildad mängd M :

"AXIOM III. (Axiom för separation). Närhelst propositionsfunktionen Φ( x ) är bestämd för alla element i en mängd M , har M en delmängd M Φ som innehåller som element just de element x av M för vilka Φ( x ) är Sann".

Eftersom det inte finns någon universell mängd — uppsättningar härstammar via Axiom II från element i (icke-uppsättning) domän B - "... detta disponerar Russell-antinomin så långt som vi är berörda". Men Zermelos "definitiva kriterium" är oprecis och fastställs av Weyl , Fraenkel , Skolem och von Neumann .

Faktum är att Skolem i sin 1922 hänvisade till detta "definitiva kriterium" eller "egenskap" som ett "definitivt förslag":

"... ett ändligt uttryck konstruerat från elementära propositioner av formen a ε b eller a = b med hjälp av de fem operationerna [logisk konjunktion, disjunktion, negation, universell kvantifiering och existentiell kvantifiering].

van Heijenoort sammanfattar:

"En egenskap är bestämd i Skolems mening om den uttrycks ... med en välformad formel i den enkla predikatkalkylen av första ordningen där de enda predikatkonstanterna är ε och möjligen = ... Idag en axiomatisering av mängden teori är vanligtvis inbäddad i en logisk kalkyl, och det är Weyls och Skolems inställning till formuleringen av separationsaxiomet som allmänt antas.

I detta citat kan läsaren observera en förändring i terminologin: ingenstans nämns begreppet "propositionell funktion", utan man ser snarare orden "formel", "predikatkalkyl", "predikat" och "logisk kalkyl". Denna terminologiskifte diskuteras mer i avsnittet som täcker "funktion" i samtida mängdteori.

Wiener–Hausdorff–Kuratowskis "beställda par" definition 1914–1921

Historien om begreppet " ordnat par " är inte klar. Som noterats ovan föreslog Frege (1879) en intuitiv ordning i sin definition av en tvåargumentfunktion Ψ(A, B). Norbert Wiener i sin 1914 (se nedan) konstaterar att hans egen behandling i huvudsak "återgår(ar) till Schröders behandling av en relation som en klass av ordnade par". Russell (1903) betraktade definitionen av en relation (som Ψ(A, B)) som en "klass av par" men förkastade den:

"Det finns en frestelse att betrakta en relation som definierbar i förlängningen som en klass av par. Detta är den formella fördelen att det undviker nödvändigheten av den primitiva propositionen som hävdar att varje par har en relation som inte har några andra termpar. är nödvändigt för att ge paret mening, för att skilja referenten [ domän ] från relatum [ omvänd domän ]: sålunda blir ett par väsentligen distinkt från en klass med två termer och måste i sig introduceras som en primitiv idé... Det förefaller därför mer korrekt att ha en intensiv syn på relationer och att identifiera dem snarare med klassbegrepp än med klasser."

1910–1913 och Principia Mathematica Russell hade gett upp kravet på en intensional definition av en relation, och påstod att "matematik alltid handlar om förlängningar snarare än intensioner" och "Relationer, som klasser, ska tas i förlängning ". För att demonstrera begreppet en relation i förlängningen omfamnade Russell nu begreppet ordnat par : "Vi kan betrakta en relation ... som en klass av par ... relationen som bestäms av φ( x, y ) är klassen av par ( x, y ) för vilken φ( x, y ) är sant". I en fotnot klargjorde han sin uppfattning och kom fram till denna definition:

"Ett sådant par har en mening , dvs. paret ( x, y ) skiljer sig från paret ( y, x ) om inte x = y . Vi ska kalla det ett "par med förnuft", ... det kan också vara ringde ett beställt par .

Men han fortsätter med att säga att han inte skulle introducera de beställda paren ytterligare i sin "symboliska behandling"; han föreslår sin "matris" och sitt impopulära axiom för reducerbarhet i deras ställe.

Ett försök att lösa problemet med antinomierna ledde till att Russell föreslår sin "lära om typer" i en bilaga B till hans 1903 The Principles of Mathematics . Om några år skulle han förfina denna uppfattning och föreslå i sin The Theory of Types från 1908 två reducerbarhetsaxiom , vars syfte var att reducera (envariabel) propositionella funktioner och (dubbelvariabel) relationer till en "lägre" form (och slutligen in i en helt extensionsform ); han och Alfred North Whitehead skulle överföra denna behandling till Principia Mathematica 1910–1913 med en ytterligare förfining som kallas "en matris". Det första axiomet är *12,1; den andra är *12.11. För att citera Wiener är det andra axiomet *12.11 "endast involverat i relationsteorin". Båda axiomen möttes dock av skepsis och motstånd; se mer på Axiom of reducibility . År 1914 eliminerade Norbert Wiener, med hjälp av Whitehead och Russells symbolik, axiom *12.11 (den "två-variable" (relationella) versionen av reducerbarhetens axiom) genom att uttrycka en relation som ett ordnat par med hjälp av nollmängden. Ungefär samtidigt Hausdorff (1914, s. 32) definitionen av det ordnade paret ( a , b ) som {{ a ,1}, { b , 2}}. Några år senare Kuratowski (1921) en definition som har använts flitigt sedan dess, nämligen {{ a , b }, { a }}". Som noterat av Suppes (1960) "Denna definition . . . var historiskt viktig för att reducera teorin om relationer till teorin om mängder.

Observera att medan Wiener "reducerade" den relationella *12.11-formen av reducerbarhetens axiom, reducerade han inte eller på annat sätt ändrade propositionsfunktionsformen *12.1; i själva verket förklarade han detta "väsentligt för behandlingen av identitet, beskrivningar, klasser och relationer".

Schönfinkels föreställning om "funktion" som en mångfaldig "korrespondens" 1924

Exakt varifrån den allmänna begreppet "funktion" som en mång-en-korrespondens kommer från är oklart. Russell säger i sin 1920 Introduction to Mathematical Philosophy att "Det bör observeras att alla matematiska funktioner resulterar från en-många [sic - samtida användning är många-en] relationer ... Funktioner i denna mening är beskrivande funktioner ". En rimlig möjlighet är Principia Mathematica- uppfattningen om "beskrivande funktion" – R 'y = DEF (ι x )( x R y ): "det singularobjekt som har en relation R till y ". Hur som helst, 1924 Moses Schönfinkel begreppet och hävdade att det var "väl känt":

"Som bekant menar vi med funktion i det enklaste fallet en överensstämmelse mellan elementen i någon domän av kvantiteter, argumentdomänen, och de i en domän av funktionsvärden ... så att varje argumentvärde motsvarar högst ett funktionsvärde".

Enligt Willard Quine , Schönfinkel 1924 "tillhandahåller [s] för ... hela upploppet av abstrakt mängdteorin. Kärnan i saken är att Schönfinkel låter funktioner stå som argument. För Schönfinkel, i stort sett som för Frege, är klasser speciella sorters av funktioner. De är propositionella funktioner, funktioner vars värden är sanningsvärden. Alla funktioner, propositionella och andra, är för Schönfinkel enplatsfunktioner". Anmärkningsvärt nog reducerar Schönfinkel all matematik till en extremt kompakt funktionskalkyl som består av endast tre funktioner: Konstans, sammansmältning (dvs komposition) och ömsesidig exklusivitet. Quine noterar att Haskell Curry (1958) förde detta arbete framåt "under head of combinatory logic" .

Von Neumanns mängdlära 1925

År 1925 hade Abraham Fraenkel (1922) och Thoralf Skolem (1922) ändrat Zermelos mängdteori från 1908. Men von Neumann var inte övertygad om att denna axiomatisering inte kunde leda till antinomierna. Så han föreslog sin egen teori, hans 1925 An axiomatization of set theory . Den innehåller uttryckligen en "samtida", set-teoretisk version av begreppet "funktion":

"[Till skillnad från Zermelos mängdteori] föredrar vi dock att axiomatisera inte "mängd" utan "funktion". Det senare begreppet inkluderar förvisso det förra. (Mer exakt är de två begreppen helt likvärdiga, eftersom en funktion kan vara betraktas som en uppsättning av par, och en uppsättning som en funktion som kan ta två värden.)".

I början börjar han med I-objekt och II-objekt , två objekt A och B som är I-objekt (första axiom), och två typer av "operationer" som antar ordning som en strukturell egenskap som erhålls för de resulterande objekten [ x y ] och ( x , y ) . De två "objektens domäner" kallas "argument" (I-objekt) och "funktioner" (II-objekt); där de överlappar är "argumentfunktionerna" (han kallar dem I-II-objekt). Han introducerar två "universella operationer med två variabler" – (i) operationen [ x , y ]: ". . . läs 'värdet av funktionen x för argumentet y . . . det i sig är ett typ I-objekt", och (ii) operationen ( x , y ): ". . . (läs 'det ordnade paret x , y' ) vars variabler x och y båda måste vara argument och som i sig producerar ett argument ( x , y ). Dess mest viktig egenskap är att x 1 = x 2 och y 1 = y 2 följer av ( x 1 = y 2 ) = ( x 2 = y 2 )". För att förtydliga funktionsparet noterar han att "Istället för f ( x ) skriver vi [ f,x ] för att indikera att f , precis som x , är att betrakta som en variabel i denna procedur". För att undvika "naiva mängdteorins antinomier måste vi i Russells första av allt ... avstå från att behandla vissa funktioner som argument". Han antar en föreställning från Zermelo för att begränsa dessa "vissa funktioner".

Suppes observerar att von Neumanns axiomatisering modifierades av Bernays "för att förbli närmare det ursprungliga Zermelo-systemet... Han introducerade två medlemsrelationer: en mellan mängder och en mellan mängder och klasser". Sedan modifierade Gödel [1940] teorin ytterligare: "hans primitiva föreställningar är de om uppsättning, klass och medlemskap (även om medlemskap ensamt är tillräckligt)". Denna axiomatisering är nu känd som von Neumann–Bernays–Gödel mängdteori .

Bourbaki 1939

År 1939 gav Bourbaki , förutom att ge den välkända ordnade pardefinitionen av en funktion som en viss delmängd av den kartesiska produkten E × F , följande:

"Låt E och F vara två uppsättningar, som kan eller inte kan vara distinkta. En relation mellan ett variabelt element x av E och ett variabelt element y av F kallas en funktionell relation i y om det finns för alla x ∈ E . ett unikt y ∈ F som är i den givna relationen med x . Vi ger funktionsnamnet till operationen som på detta sätt associerar med varje element x ∈ E elementet y ∈ F som är i den givna relationen med x , och funktion sägs bestämmas av den givna funktionella relationen. Två ekvivalenta funktionella relationer bestämmer samma funktion."

Sedan 1950

Begreppet "funktion" i samtida mängdteori

Både axiomatiska och naiva former av Zermelos mängdteori som modifierats av Fraenkel (1922) och Skolem (1922) definierar "funktion" som en relation, definierar en relation som en uppsättning ordnade par och definierar ett ordnat par som en uppsättning av två " disymmetriska" set.

Medan läsaren av Suppes (1960) Axiomatic Set Theory eller Halmos (1970) observerar Naive Set Theory användningen av funktionssymbolik i separationsaxiomet , t.ex. φ( x ) (i Suppes) och S( x ) (i Halmos ), kommer de inte att se något omnämnande av "proposition" eller ens "första ordningens predikatkalkyl". I deras ställe finns " uttryck för objektspråket", "atomformler", "primitiva formler" och "atomära meningar".

Kleene (1952) definierar orden på följande sätt: "I ordspråk uttrycks en proposition av en mening. Sedan uttrycks ett "predikat" av en ofullständig mening eller meningsskelett som innehåller en öppen plats. Till exempel "___ är en man " uttrycker ett predikat ... Predikatet är en satsfunktion av en variabel . Predikat kallas ofta 'egenskaper' ... Predikatkalkylen kommer att behandla predikats logik i denna allmänna betydelse av 'predikat', dvs. fungera".

År 1954, Bourbaki, på sid. 76 i kapitel II av Theorie des Ensembles (mängdteori), gav en definition av en funktion som en trippel f = ( F , A , B ). Här F en funktionell graf , vilket betyder en uppsättning par där inga två par har samma första medlem. På P. 77 ( op. cit. ) Bourbaki konstaterar (ordaglig översättning): "Ofta kommer vi att använda, i resten av denna avhandling, ordet funktion istället för funktionell graf ."

Suppes (1960) i Axiomatic Set Theory , definierar formellt en relation (s. 57) som en uppsättning par, och en funktion (s. 86) som en relation där inga två par har samma första medlem.

Relationell form av en funktion

Orsaken till att orden "propositionell funktion" försvinner, t.ex. i Suppes (1960) och Halmos (1970) , förklaras av Tarski (1946) tillsammans med ytterligare förklaringar av terminologin:

"Ett uttryck som x är ett heltal , som innehåller variabler och, när dessa variabler ersätts med konstanter och blir en mening, kallas det en SENTENTIAL [dvs. propositional cf hans index] FUNKTION. Men matematiker, förresten, är inte särskilt mycket förtjust i det här uttrycket, eftersom de använder termen "funktion" med en annan innebörd ... meningsfunktioner och meningar som helt består av matematiska symboler (och inte ord i vardagsspråket), som: x + y = 5 brukar hänvisas till till av matematiker som FORMLER I stället för "meningsfunktion" säger vi ibland helt enkelt "mening" - men bara i de fall det inte finns någon risk för missförstånd".

Tarski för sin del kallar den relationella formen av funktion för en "FUNKTIONELL RELATION eller helt enkelt en FUNKTION". Efter en diskussion om denna "funktionella relation" hävdar han att:

"Begreppet en funktion som vi nu överväger skiljer sig väsentligt från begreppen en sentential [propositionell] och en designatorisk funktion .... Strängt taget ... [dessa] tillhör inte logikens eller matematikens domän; de betecknar vissa kategorier av uttryck som tjänar till att komponera logiska och matematiska påståenden, men de betecknar inte saker som behandlas i dessa påståenden... Termen "funktion" i dess nya betydelse är å andra sidan ett uttryck för en rent logisk karaktär; den betecknar en viss typ av saker som behandlas i logik och matematik."

Se mer om "sanning under en tolkning" hos Alfred Tarski .

Anteckningar

Vidare läsning

externa länkar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=History_of_the_function_concept&oldid=1140078906 "