Propositionell funktion
I satskalkyl är en satsfunktion eller ett predikat en mening uttryckt på ett sätt som skulle anta värdet av sant eller falskt , förutom att det inom meningen finns en variabel ( x ) som inte är definierad eller specificerad (därmed en fri variabel ), vilket lämnar uttalandet obestämt. Meningen kan innehålla flera sådana variabler (t.ex. n variabler, i vilket fall funktionen tar n argument).
Översikt
Som en matematisk funktion , A ( x ) eller A ( x 1 , x 2 , ..., x n ), är satsfunktionen abstraherad från predikat eller satsformer. Som ett exempel, betrakta predikatschemat, "x är hett". Ersättandet av x med en entitet kommer att producera en specifik proposition som kan beskrivas som antingen sant eller falskt, även om " x är hett" i sig inte har något värde som varken sant eller falskt påstående. Men när ett värde tilldelas x , såsom lava , har funktionen då värdet true ; medan man tilldelar x ett värde som ice , har funktionen då värdet false .
Propositionella funktioner är användbara i mängdteorin för bildandet av mängder . Till exempel, 1903 skrev Bertrand Russell i The Principles of Mathematics (sidan 106):
- "...det har blivit nödvändigt att ta propositionell funktion som en primitiv föreställning .
Senare undersökte Russell problemet med huruvida propositionella funktioner var predikativa eller inte, och han föreslog två teorier för att försöka komma fram till denna fråga: sicksackteorin och den förgrenade teorin om typer.
En propositionsfunktion, eller ett predikat, i en variabel x är en öppen formel p ( x ) som involverar x som blir en proposition när man ger x ett bestämt värde från den uppsättning värden den kan ta.
Enligt Clarence Lewis , "En proposition är vilket uttryck som helst som är antingen sant eller falskt; en propositionsfunktion är ett uttryck som innehåller en eller flera variabler, som blir en proposition när var och en av variablerna ersätts med något av dess värden från en individers diskursdomän ." Lewis använde begreppet propositionella funktioner för att introducera relationer , till exempel är en propositionell funktion av n variabler en relation av aritet n . Fallet n = 2 motsvarar binära relationer , av vilka det finns homogena relationer (båda variabler från samma uppsättning) och heterogena relationer .