Brahmagupta-Fibonacci identitet

I algebra uttrycker Brahmagupta -Fibonacci-identiteten produkten av två summor av två kvadrater som summan av två kvadrater på två olika sätt. Därför stängs mängden av alla summor av två kvadrater under multiplikation. Specifikt säger identiteten

{\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}= \left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&&(1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2} +\left(ad-bc\right)^{2}.&&(2)\end{aligned}}

Till exempel,

(1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^ {2}.

Identiteten är också känd som Diophantus-identiteten , eftersom den först bevisades av Diophantus av Alexandria . Det är ett specialfall av Eulers fyrkantiga identitet , och även av Lagranges identitet .

Brahmagupta bevisade och använde en mer allmän Brahmagupta-identitet , med påstående

{\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}= \left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&(3)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2 }+n\left(ad-bc\right)^{2}.&&(4)\end{aligned}}

Detta visar att för varje fast A är mängden av alla tal på formen x ² + Ay ² stängd under multiplikation.

Dessa identiteter gäller för alla heltal , såväl som alla rationella tal ; mer generellt är de sanna i alla kommutativa ringar . Alla fyra former av identiteten kan verifieras genom att expandera varje sida av ekvationen. Dessutom kan (2) erhållas från (1), eller (1) från (2), genom att ändra b till − b , och likaså med (3) och (4).

Historia

Identiteten dök först upp i Diophantus ' Arithmetica (III, 19), från det tredje århundradet e.Kr. Den återupptäcktes av Brahmagupta (598–668), en indisk matematiker och astronom , som generaliserade den till Brahmaguptas identitet och använde den i sin studie av det som nu kallas Pells ekvation . Hans Brahmasphutasiddhanta översattes från sanskrit till arabiska av Mohammad al-Fazari , och översattes därefter till latin 1126. Identiteten introducerades i västra Europa 1225 av Fibonacci , i The Book of Squares , och därför har identiteten ofta varit tillskrivas honom.

Besläktade identiteter

Analoga identiteter är Eulers fyrkvadrat relaterade till quaternions och Degens åttakvadrat som härrör från oktonionerna som har kopplingar till Bott periodicitet . Det finns också Pfisters identitet på sexton kvadrat , även om den inte längre är bilinjär.

Dessa identiteter är starkt relaterade till Hurwitzs klassificering av sammansättningsalgebror .

Multiplikation av komplexa tal

Om a , b , c och d är reella tal är Brahmagupta-Fibonacci-identiteten ekvivalent med multiplikativitetsegenskapen för absoluta värden av komplexa tal :

|a+bi|\cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.

Detta kan ses på följande sätt: expandera höger sida och kvadrera båda sidor, multiplikationsegenskapen motsvarar

|a+bi|^{2}\cdot |c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},

och enligt definitionen av absolut värde är detta i sin tur ekvivalent med

(a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2 }.

En ekvivalent beräkning i det fall att variablerna a , b , c och d är rationella tal visar att identiteten kan tolkas som påståendet att normen i fältet Q ( i ) är multiplikativ: normen ges av

{\displaystyle N(a+bi)=a^{2}+b^{2},

och multiplikativitetsberäkningen är densamma som den föregående.

Tillämpning på Pells ekvation

I sitt ursprungliga sammanhang tillämpade Brahmagupta sin upptäckt av denna identitet på lösningen av Pells ekvation x ² − Ay ² = 1. Använda identiteten i den mer allmänna formen

(x_{1}^{2}-Ay_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ay_{2}^{2})=(x_{1}x_{2} +Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},

han kunde "komponera" trippel ( x ₁ , y ₁ , k ₁ ) och ( x ₂ , y ₂ , k ₂ ) som var lösningar av x ² − Ay ² = k , för att generera den nya trippeln

(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{ 1}k_{2}).

Detta gav inte bara ett sätt att generera oändligt många lösningar till x ² − Ay ² = 1 med utgångspunkt i en lösning, utan också, genom att dividera en sådan sammansättning med k ₁ k ₂ , kunde ofta heltals- eller "nästan heltalslösningar" erhållas . Den allmänna metoden för att lösa Pell-ekvationen som gavs av Bhaskara II 1150, nämligen den chakravala (cykliska) metoden , baserades också på denna identitet.

Skriva heltal som summan av två kvadrater

När den används i samband med en av Fermats satser , bevisar Brahmagupta–Fibonacci-identiteten att produkten av en kvadrat och valfritt antal primtal av formen 4 n + 1 är summan av två kvadrater.

Se även

Anteckningar

Joseph, George G. (2000), The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics (2:a upplagan), Princeton University Press , sid. 306, ISBN 978-0-691-00659-8
Stillwell, John (2002), Mathematics and its history (2nd ed.), Springer , s. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6

externa länkar