Eulers formel

Den här artikeln handlar om Eulers formel i komplex analys. För annan användning, se Lista över saker uppkallade efter Leonhard Euler § Formler .

  Eulers formel , uppkallad efter Leonhard Euler , är en matematisk formel i komplex analys som fastställer det grundläggande förhållandet mellan de trigonometriska funktionerna och den komplexa exponentialfunktionen . Eulers formel säger att för alla reella tal x :

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$$

där e är basen för den naturliga logaritmen , i är den imaginära enheten och cos och sin är de trigonometriska funktionerna cosinus respektive sinus . Denna komplexa exponentialfunktion betecknas ibland cis x (" cosine plus i s ine"). Formeln är fortfarande giltig om x är ett komplext tal , och därför hänvisar vissa författare till den mer allmänna komplexa versionen som Eulers formel.

Eulers formel är allestädes närvarande inom matematik, fysik och teknik. Fysikern Richard Feynman kallade ekvationen "vår juvel" och "den mest anmärkningsvärda formeln i matematik".

När x = π , kan Eulers formel skrivas om till e ^iπ + 1 = 0 eller e ^iπ = -1 , vilket är känt som Eulers identitet .

Historia

År 1714 presenterade den engelske matematikern Roger Cotes ett geometriskt argument som kan tolkas (efter att ha korrigerat en felplacerad faktor på ${\displaystyle {\sqrt {-1}}} )$ som:

$$ix=\ln(\cos x+i\sin x).$$

Exponentiering av denna ekvation ger Eulers formel. Observera att den logaritmiska satsen inte är universellt korrekt för komplexa tal, eftersom en komplex logaritm kan ha oändligt många värden, som skiljer sig åt med multiplar av 2 πi .

Runt 1740 vände Leonhard Euler sin uppmärksamhet till exponentialfunktionen och härledde ekvationen uppkallad efter honom genom att jämföra serieexpansionerna av de exponentiella och trigonometriska uttrycken. Formeln publicerades första gången 1748 i hans grundläggande arbete Introductio in analysin infinitorum .

Johann Bernoulli funnit

$${\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1-ix}}+{\frac { 1}{1+ix}}\höger).$$

Och sedan

$$\int {\frac {dx}{1+ax}}={\frac {1}{a}}\ ln(1+ax)+C,$$

ovanstående ekvation säger oss något om komplexa logaritmer genom att relatera naturliga logaritmer till imaginära (komplexa) tal. Bernoulli utvärderade dock inte integralen.

Bernoullis korrespondens med Euler (som också kände till ovanstående ekvation) visar att Bernoulli inte helt förstod komplexa logaritmer . Euler föreslog också att komplexa logaritmer kan ha oändligt många värden.

Synen på komplexa tal som punkter i det komplexa planet beskrevs cirka 50 år senare av Caspar Wessel .

Definitioner av komplex exponentiering

Huvudartiklar: Exponentiering och exponentiell funktion

Exponentialfunktionen e ^x för reella värden på x kan definieras på några olika ekvivalenta sätt (se Karakteriseringar av exponentialfunktionen ) . Flera av dessa metoder kan direkt utvidgas för att ge definitioner av e ^z för komplexa värden på z helt enkelt genom att ersätta z istället för x och använda de komplexa algebraiska operationerna. I synnerhet kan vi använda någon av de tre följande definitionerna, som är likvärdiga. Ur ett mer avancerat perspektiv kan var och en av dessa definitioner tolkas som att de ger den unika analytiska fortsättningen av e ^x till det komplexa planet.

Definition av differentialekvationer

Exponentialfunktionen $f(z)=e^{z}$ är den unika differentierbara funktionen för en komplex variabel för vilken derivatan är lika med funktionen

$${\frac {df}{dz}}=f$$

och

$$f(0)=1.$$

Power serie definition

För komplexa z

$$e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{ 3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$$

Med hjälp av förhållandetestet är det möjligt att visa att denna potensserie har en oändlig konvergensradie och definierar så e ^z för alla komplexa z .

Begränsa definition

För komplexa z

$$e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.$$

Här är n begränsad till positiva heltal , så det är ingen tvekan om vad potensen med exponent n betyder.

Bevis

Olika bevis på formeln är möjliga.

Använder differentiering

Detta bevis visar att kvoten för de trigonometriska och exponentiella uttrycken är den konstanta funktionen ett, så de måste vara lika (exponentialfunktionen är aldrig noll, så detta är tillåtet).

Betrakta funktionen f ( θ )

$$f(\theta )={\frac {\cos \theta +i \sin \theta }{e^{i\theta }}}=e^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$$

på riktigt θ . Differentiering ger genom produktregeln

$$f'(\theta )=e^{ -i\theta }\left(i\cos \theta -\sin \theta \right)-ie^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=0$$

Således är f ( θ ) en konstant. Eftersom f (0) = 1 , då f ( θ ) = 1 för alla reella θ , och alltså

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$$

Använder kraftserier

Här är ett bevis på Eulers formel med kraftserieexpansion, samt grundläggande fakta om krafterna i i :

$${ \begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\\i^{4} &=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligned }}$$

Genom att nu använda effektseriedefinitionen från ovan ser vi det för verkliga värden på x

$${\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}} +{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{ 8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+ {\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\ frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^ {2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8 }}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!} }-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}}$$

där vi i det sista steget känner igen de två termerna är Maclaurin-serien för cos x och sin x . Omarrangemanget av termer är motiverat eftersom varje serie är absolut konvergent .

Använda polära koordinater

Ett annat bevis bygger på att alla komplexa tal kan uttryckas i polära koordinater . Därför, för vissa r och θ beroende på x ,

$$e^{ix}=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right).$$

Inga antaganden görs om r och θ ; de kommer att fastställas under bevisningen. Från någon av definitionerna av exponentialfunktionen kan det visas att derivatan av e ^ix är dvs ^ix . Att skilja båda sidorna ger därför

$$ie^{ix}=\left(\cos \theta +i\sin \theta \right){\frac {dr}{dx}}+r\left(-\sin \theta +i\cos \ theta \right){\frac {d\theta }{dx}}.$$

Genom att ersätta r (cos θ + i sin θ ) med e ^ix och likställa reella och imaginära delar i denna formel ger dr / dx = 0 och dθ / dx = 1 . Således r en konstant och θ är x + C för någon konstant C . De initiala värdena r (0) = 1 och θ (0) = 0 kommer från e ^{0 i} = 1 , vilket ger r = 1 och θ = x . Detta bevisar formeln

$$e^{ix}=1(\cos x+i\sin x)=\cos x+i\sin x.$$

Ansökningar

Tillämpningar i komplex talteori

Eulers formel e ^iφ = cos φ + i sin φ illustrerad i det komplexa planet.

Tolkning av formeln

Denna formel kan tolkas som att funktionen e ^iφ är ett enhetskomplext tal , dvs. den spårar ut enhetscirkeln i det komplexa planet när φ sträcker sig genom de reella talen. Här är φ vinkeln som en linje som förbinder origo med en punkt på enhetscirkeln gör med den positiva reella axeln, mätt moturs och i radianer .

Det ursprungliga beviset är baserat på Taylor-seriens expansioner av exponentialfunktionen e ^z (där z är ett komplext tal) och av sin x och cos x för reella tal x (se nedan). Faktum är att samma bevis visar att Eulers formel till och med är giltig för alla komplexa tal x .

En punkt i det komplexa planet kan representeras av ett komplext tal skrivet i kartesiska koordinater . Eulers formel ger ett sätt att omvandla mellan kartesiska koordinater och polära koordinater . Den polära formen förenklar matematiken när den används i multiplikation eller potenser av komplexa tal. Alla komplexa tal z = x + iy , och dess komplexa konjugat, z = x − iy , kan skrivas som

$${\begin{aligned}z&=x+iy=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^ {i\varphi },\\{\bar {z}}&=x-iy=|z|(\cos \varphi -i\sin \varphi )=re^{-i\varphi },\end{aligned }}$$

var

• x = Re z är den verkliga delen,
• y = Im z är den imaginära delen,
• r = | z | = √ x ² + y ² är storleken på z och
• φ = arg z = atan2 ( y , x ) .

φ är argumentet för z , dvs vinkeln mellan x- axeln och vektorn z mätt moturs i radianer , som definieras upp till addition av 2 π . Många texter skriver φ = tan ⁻¹ y / x istället för φ = atan2( y , x ) , men den första ekvationen behöver justeras när x ≤ 0 . Detta beror på att för alla reella x och y , inte båda noll, skiljer sig vinklarna för vektorerna ( x , y ) och (− x , − y ) med π radianer, men har samma värde för tan φ = y / x .

Användning av formeln för att definiera logaritmen för komplexa tal

Nu, med denna härledda formel, kan vi använda Eulers formel för att definiera logaritmen för ett komplext tal. För att göra detta använder vi också definitionen av logaritmen (som den inversa operatorn för exponentiering):

$$a=e^{\ln a},$$

och det

$$e^{a}e^{b}=e^{a+b},$$

båda gäller för alla komplexa tal a och b . Därför kan man skriva:

$$z=\left|z\right|e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|}e^{i\varphi }=e^{\ln \ vänster|z\höger|+i\varphi }$$

för någon z ≠ 0 . Att ta logaritmen för båda sidor visar det

$$\ln z=\ln \left|z\right|+i\varphi ,$$

och i själva verket kan detta användas som definition för den komplexa logaritmen . Logaritmen för ett komplext tal är alltså en funktion med flera värden , eftersom φ är flervärdig.

Slutligen den andra exponentiella lagen

$$\left(e^{a}\right)^{k}=e^{ak},$$

som kan ses hålla för alla heltal k , tillsammans med Eulers formel, innebär flera trigonometriska identiteter , liksom de Moivres formel .

Förhållande till trigonometri

Samband mellan sinus, cosinus och exponentialfunktion

Eulers formel, definitionerna av de trigonometriska funktionerna och standardidentiteterna för exponentialer är tillräckliga för att enkelt härleda de flesta trigonometriska identiteter. Det ger en kraftfull koppling mellan analys och trigonometri , och ger en tolkning av sinus- och cosinusfunktionerna som viktade summor av exponentialfunktionen:

$${\begin{aligned}\cos x&=\operatörsnamn {Re} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2} },\\\sin x&=\operatörsnamn {Im} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.\end{ Justerat}}$$

De två ekvationerna ovan kan härledas genom att addera eller subtrahera Eulers formler:

$${\begin{aligned} e^{ix}&=\cos x+i\sin x,\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos xi\sin x\end{ Justerat}}$$

och lösa för antingen cosinus eller sinus.

Dessa formler kan till och med tjäna som definition av trigonometriska funktioner för komplexa argument x . Om vi ​​till exempel låter x = iy , har vi:

$${\begin{aligned}\cos iy&={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\cosh y,\\\sin iy&={\frac {e ^{-y}-e^{y}}{2i}}={\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}i=i\sinh y.\end{aligned} }$$

Komplexa exponentialer kan förenkla trigonometri, eftersom de är lättare att manipulera än deras sinusformade komponenter. En teknik är helt enkelt att omvandla sinusoider till ekvivalenta uttryck i form av exponentialer. Efter manipulationerna är det förenklade resultatet fortfarande verkligt värderat. Till exempel:

$${\begin{aligned}\cos x\cos y&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{iy}+e ^{-iy}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(xy)}+ e^{i(-x+y)}+e^{i(-xy)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} _{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i( xy)}+e^{-i(xy)}}{2}} _{\cos(xy)}{\bigg )}.\end{aligned}}$$

En annan teknik är att representera sinusoiderna i termer av den verkliga delen av ett komplext uttryck och utföra manipulationerna på det komplexa uttrycket. Till exempel:

$${\begin{aligned}\cos nx&=\operatörsnamn {Re} \left(e^{inx}\right)\\&=\operatörsnamn {Re} \left(e^{i(n-1) x}\cdot e^{ix}\right)\\&=\operatörsnamn {Re} {\Big (}e^{i(n-1)x}\cdot {\big (}\underbrace {e^{ ix}+e^{-ix}} _{2\cos x}-e^{-ix}{\big )}{\Big )}\\&=\operatörsnamn {Re} \left(e^{i (n-1)x}\cdot 2\cos xe^{i(n-2)x}\right)\\&=\cos[(n-1)x]\cdot [2\cos x]-\ cos[(n-2)x].\end{aligned}}$$

Denna formel används för rekursiv generering av cos nx för heltalsvärden på n och godtyckliga x (i radianer).

Se även: Fasor § Aritmetik

Topologisk tolkning

På topologispråket anger Eulers formel att den imaginära exponentialfunktionen $t\mapsto e^{it}$ är en ( surjektiv ) morfism av topologiska grupper från den reella linjen $\mathbb {R}$ till enhetscirkeln $\mathbb {S} ^{1}$ . Faktum är att detta visar $\mathbb {R}$ som ett täckande utrymme för $\mathbb {S} ^{1}$ . På liknande sätt säger Eulers identitet att kärnan i denna karta är ${\displaystyle \tau \mathbb {Z} } ,$ där $\tau =2\pi$ . Dessa observationer kan kombineras och sammanfattas i det kommutativa diagrammet nedan:

Andra applikationer

Se även: Komplext nummer § Ansökningar

I differentialekvationer används ofta funktionen e ^{ix för att förenkla lösningar, även om det slutliga svaret är en verklig funktion som involverar sinus och cosinus. Anledningen till detta} är att exponentialfunktionen är egenfunktionen för differentieringsoperationen .

Inom elektroteknik , signalbehandling och liknande områden beskrivs signaler som varierar periodiskt över tiden ofta som en kombination av sinusformade funktioner (se Fourier-analys ), och dessa uttrycks mer bekvämt som summan av exponentialfunktioner med imaginära exponenter, med hjälp av Eulers formel. Fasoranalys av kretsar kan också innefatta Eulers formel för att representera impedansen hos en kondensator eller en induktor.

I det fyrdimensionella utrymmet av quaternions finns det en sfär av imaginära enheter . För varje punkt r på denna sfär, och x ett reellt tal, gäller Eulers formel:

$$\exp xr=\cos x+r\sin x,$$

och elementet kallas en versor i quaternions. Uppsättningen av alla versorer bildar en 3-sfär i 4-utrymmet.

Se även

• Komplext tal
• Eulers identitet
• Integration med Eulers formel
• Historien om Lorentz transformationer § Eulers gap
• Lista över saker uppkallade efter Leonhard Euler

Vidare läsning

•   Nahin, Paul J. (2006). Dr Eulers fantastiska formel: botar många matematiska sjukdomar . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11822-2 .
•    Wilson, Robin (2018). Eulers banbrytande ekvation: den vackraste satsen i matematik . Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-879492-9 . MR 3791469 .

externa länkar

• Element av algebra