Aritmetisk fuchsisk grupp

Aritmetiska fuchsiska grupper är en speciell klass av fuchsiska grupper som är konstruerade med hjälp av ordningar i kvaternionalgebror . De är särskilda instanser av aritmetiska grupper . Det prototypiska exemplet på en aritmetisk fuchsisk grupp är den modulära gruppen $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )$ . De och den hyperboliska ytan associerad med deras verkan på det hyperboliska planet uppvisar ofta ett särskilt regelbundet beteende bland Fuchsiska grupper och hyperboliska ytor.

Definition och exempel

Kvaternionalgebror

En kvaternionalgebra över ett fält $F$ är en fyrdimensionell central enkel $F$ -algebra. En kvaternionalgebra har basen $1,i,j,ij$ där $i^{2},j^{2}\in F^{\times }$ och $ij=-ji$ .

En kvaternionalgebra sägs delas över $F$ om den är isomorf som en $F$ -algebra till algebra för matriser $M_{2}(F)$ .

Om $\sigma$ är en inbäddning av $F$ i ett fält ${\displaystyle E} ska vi beteckna$ algebra med $A\otimes _{\sigma }E$ erhålls genom att utöka skalärer från $F$ till $E$ där vi ser $F$ som ett underfält till $E$ via $\sigma$ .

Aritmetiska fuchsiska grupper

En undergrupp av $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ sägs vara härledd från en kvartjonalgebra om den kan erhållas genom följande konstruktion. Låt $F$ vara ett helt reellt talfält och $A$ en kvaternionalgebra över $F$ som uppfyller följande villkor. Först finns det en unik inbäddning $\sigma :F\hookrightarrow \mathbb {R}$ så att $A\otimes _{\sigma }\mathbb {R}$ är dela över $\mathbb {R}$ ; vi betecknar med $\phi :A\otimes _{\sigma }\mathbb {R} \to M_{2}(\mathbb {R} )$ en isomorfism av $\mathbb {R}$ -algebras. Vi ber också att för alla andra inbäddningar ${\displaystyle \tau } delas inte$ algebra ${\displaystyle A\otimes _{\tau }\mathbb {R} } ($ detta motsvarar att den är isomorf till Hamilton quaternions ). Därefter behöver vi en order ${\mathcal {O}}$ i $A$ . Låt ${\mathcal {O}}^{1}$ vara gruppen av element i ${\mathcal {O}}$ av reducerad norm 1 och låt $\Gamma$ vara dess bild i $M_{2}(\mathbb {R} )$ via $\phi$ . Då är bilden av $\Gamma$ en undergrupp av ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )} ($ eftersom den reducerade normen för en matrisalgebra är bara determinanten) och vi kan betrakta den fuchsiska gruppen som är dess bild i $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ .

Huvudfaktumet om dessa grupper är att de är diskreta undergrupper och de har ändlig kovolym för Haar-måttet på $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} ).$ Dessutom ger konstruktionen ovan en kokompakt undergrupp om och endast om algebra $A$ inte delas över $F$ . Diskretiteten är en ganska omedelbar konsekvens av att $A$ bara delas vid en riktig inbäddning. Det är svårare att bevisa samvolymens ändlighet.

En aritmetisk fuchsisk grupp är vilken undergrupp som helst av $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ som är jämförbar med en grupp härledd från en kvartjonalgebra. Det följer omedelbart av denna definition att aritmetiska fuchsiska grupper är diskreta och med ändlig kovolym (detta betyder att de är gitter i $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ ).

Exempel

Det enklaste exemplet på en aritmetisk fuchsisk grupp är den modulära $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} ),$ som erhålls genom konstruktionen ovan med $A=M_{2}(\mathbb {Q} )$ och ${\mathcal {O}}=M_{2}(\mathbb {Z} ).$ Genom att ta Eichler-order i $A$ får vi undergrupper $\Gamma _{0 }(N)$ för $N\geqslant 2$ av ändligt index i $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )$ som kan uttryckligen skrivas enligt följande:

\Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} ):c=0{\pmod {N}}\right\}.

Naturligtvis följer aritmeticiteten för sådana undergrupper av det faktum att de är finita-index i den aritmetiska gruppen $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )$ ; de tillhör en mer allmän klass av finita-index-undergrupper, kongruensundergrupper.

Vilken ordning som helst i en kvaternionalgebra över $\mathbb {Q}$ som inte delas över $\mathbb {Q}$ utan delas över $\mathbb {R}$ ger en kokompakt aritmetisk Fuchsian grupp. Det finns ett rikligt utbud av sådana algebror.

Mer generellt ger alla ordningar i kvartjonalgebror (som uppfyller ovanstående villkor) som inte är $M_{2}(\mathbb {Q} )$ kokompakta undergrupper. Ett ytterligare exempel av särskilt intresse erhålls genom att ta $A$ för att vara Hurwitz quaternions .

Maximala undergrupper

En naturlig fråga är att identifiera de bland aritmetiska fuchsiska grupper som inte strikt ingår i en större diskret undergrupp. Dessa kallas maximala kleinska grupper och det är möjligt att ge en fullständig klassificering i en given aritmetisk kommensurabilitetsklass. Observera att ett teorem av Margulis antyder att ett gitter i $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )$ är aritmetiskt om och bara om det är jämförbart med oändligt många maximala kleinska grupper.

Kongruensundergrupper

En huvudkongruensundergrupp av $\Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ är en undergrupp av formen:

\Gamma (N)=\ vänster\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} ):a,d=1{\pmod {N}} ,\,b,c=0{\pmod {N}}\right\}

för vissa $N\geqslant 1.$ Dessa är normala undergrupper med finita index och kvoten $\Gamma /\Gamma (N)$ är isomorf till den finita gruppen $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ).$ En kongruensundergrupp av $\Gamma$ är per definition en undergrupp som innehåller en huvudkongruensundergrupp (detta är grupperna som definieras genom att ta matriserna i $\Gamma$ som uppfyller vissa kongruenser modulo ett heltal, därav namnet).

Noterbart är att inte alla finita-index-undergrupper av $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ är kongruensundergrupper. Ett trevligt sätt att se detta är att observera att $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ har undergrupper som övergår till den alternerande gruppen $A_ {n}$ för godtycklig $n,$ och eftersom för stora $n$ gruppen $A_{n}$ inte är en undergrupp till $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )$ för alla $N$ kan dessa undergrupper inte vara kongruensundergrupper. I själva verket kan man också se att det finns många fler icke-kongruens än kongruens undergrupper i $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ .

Begreppet en kongruensundergrupp generaliserar till samkompakta aritmetiska fuchsiska grupper och resultaten ovan gäller även i denna allmänna miljö.

Konstruktion via kvadratiska former

Det finns en isomorfism mellan $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ och den anslutna komponenten i den ortogonala gruppen $\mathrm {SO} (2,1)$ ges genom verkan av den förra genom konjugering på rymden av matriser med spår noll, på vilken determinanten inducerar strukturen av ett reellt kvadratiskt signaturrum (2,1). Aritmetiska fuchsiska grupper kan konstrueras direkt i den senare gruppen genom att ta integralpunkterna i den ortogonala gruppen associerade med kvadratiska former definierade över talfält (och uppfylla vissa villkor).

$\mathrm {SO} (2,1)(\mathbb {Z} ).$ med gruppen

Aritmetiska Kleinian-grupper

Konstruktionen ovan kan anpassas för att erhålla undergrupper i ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )} :$ istället för att be om att $F$ ska vara helt verklig och $A$ som ska delas vid exakt en riktig inbäddning ber man om $F$ att ha exakt en komplex inbäddning upp till komplex konjugation, där $A$ delas automatiskt, och att $A$ inte delas vid någon inbäddning $F\hookrightarrow \mathbb {R}$ . Undergrupperna av $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )$ som är jämförbara med de som erhålls genom denna konstruktion kallas aritmetiska kleinska grupper . Som i det fuchsiska fallet är aritmetiska Kleinian-grupper diskreta undergrupper av ändlig kovolym.

Spårfält av aritmetiska fuchsiska grupper

Det invarianta spårfältet för en fuchsisk grupp (eller, genom monodrominbilden av den fundamentala gruppen, av en hyperbolisk yta) är det fält som genereras av spåren av kvadraterna av dess element. I fallet med en aritmetisk yta vars grundgrupp är jämförbar med en fuchsisk grupp härledd från en kvartjonalgebra över ett talfält $F$ är det invarianta spårfältet lika med $F$ .

Man kan faktiskt karakterisera aritmetiska grenrör genom spåren av elementen i deras grundläggande grupp, ett resultat som kallas Takeuchis kriterium. En fuchsisk grupp är en aritmetisk grupp om och endast om följande tre villkor är uppfyllda:

Dess invarianta spårfält $F$ är ett helt reellt talfält;
Spåren av dess element är algebraiska heltal ;
Det finns en inbäddning av $\sigma :F\to \mathbb {R}$ så att för alla $\gamma$ i gruppen, $t=\mathrm {Trace} (\gamma ^{2})$ och för alla andra inbäddningar $\sigma \neq \sigma ':F\to \mathbb {R }$ vi har $|\sigma '(t)|\leqslant 2$ .

Geometri för aritmetiska hyperboliska ytor

Lie-gruppen $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ är gruppen av positiva isometrier för det hyperboliska planet $\mathbb {H} ^{2}$ . Således, om $\Gamma$ är en diskret undergrupp av $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ då $\Gamma$ agerar korrekt diskontinuerligt på $\mathbb {H} ^{2}$ . Om dessutom $\Gamma$ är torsionsfri så är handlingen fri och kvotutrymmet $\Gamma \setminus \mathbb {H} ^{2}$ är en yta (en 2- grenrör) med ett hyperboliskt mått (ett riemannsk mått med konstant tvärsnittskurvatur −1). Om ${\displaystyle \Gamma } är en aritmetisk fuchsisk grupp$ kallas en sådan yta ${\displaystyle S} en$ aritmetisk hyperbolisk yta (inte att förväxla med de aritmetiska ytorna från aritmetisk geometri, men när sammanhanget är klart "hyperbolisk yta" " specificator kan utelämnas). Eftersom aritmetiska fuchsiska grupper är av ändlig kovolym, har aritmetiska hyperboliska ytor alltid ändlig riemannsk volym (dvs integralen över $S$ för volymformen är ändlig).

Volymformel och ändlighet

Det är möjligt att ge en formel för volymen av särskiljande aritmetiska ytor från de aritmetiska data med vilka den konstruerades. Låt ${\mathcal {O}}$ vara en maximal ordning i quaternionalgebra $A$ av diskriminant $D_{A}$ över fältet $F$ , låt $r=[F:\mathbb {Q} ]$ vara dess grad, $D_{F}$ dess diskriminant och $\zeta _{F}$ dess Dedekind zeta - funktion . Låt $\Gamma _{\mathcal {O}}$ vara den aritmetiska gruppen som erhålls från ${\mathcal {O}}$ enligt proceduren ovan och $\displaystyle S}$ { orbifolden $\Gamma _{\mathcal {O}}\setminus \mathbb {H} ^{2}$ . Dess volym beräknas med formeln

\operatorname {vol} (S)={\frac {2|D_{F}|^{\frac {3}{2}}\cdot \zeta _{F}(2)}{(2\ pi )^{2r-2}}}\cdot \prod _{{\mathfrak {p}}\mid D_{A}}(N({\mathfrak {p}})-1);

produkten har tagit över de främsta idealen för $O_{F}$ som delar $(D_{A})$ och vi minns $N(\cdot )$ är normfunktionen på ideal, dvs $N({\mathfrak {p}})$ är kardinaliteten för den finita ringen $O_{F}/{\mathfrak {p }}$ ). Läsaren kan kontrollera att om ${\mathcal {O}}=M_{2}(\mathbb {Z} )$ utdata från denna formel återställer det välkända resultatet att hyperboliken volymen av den modulära ytan är lika med $\pi /3$ .

Tillsammans med beskrivningen av maximala undergrupper och ändlighetsresultat för nummerfält tillåter denna formel att bevisa följande påstående:

Givet någon $V>0$ finns det bara ändligt många aritmetiska ytor vars volym är mindre än $V$ .

hävdar Wangs finitetssats (en konsekvens av lokal stelhet ) att detta påstående förblir sant genom att ersätta "aritmetik" med "ändlig volym". En asymptotisk ekvivalent för antalet om aritmetiska grenrör av en viss volym gavs av Belolipetsky— Gelander — Lubotzky — Mozes .

Minimal volym

Den hyperboliska orbifolden med minimal volym kan erhållas som den yta som är associerad med en viss ordning, Hurwitz quaternion order , och den är kompakt till volymen $\pi /21$ .

Sluten geodetik och injektivitetsradier

En sluten geodetisk på ett Riemann-grenrör är en sluten kurva som också är geodetisk . Man kan ge en effektiv beskrivning av uppsättningen av sådana kurvor i en aritmetisk yta eller tre—manifold: de motsvarar vissa enheter i vissa kvadratiska förlängningar av basfältet (beskrivningen är lång och ska inte ges i sin helhet här). Till exempel motsvarar längden av primitiva slutna geodesik i den modulära ytan det absoluta värdet av enheter av norm ett i verkliga kvadratiska fält. Denna beskrivning användes av Sarnak för att fastställa en gissning av Gauss om medelordningen av klassgrupper av verkliga kvadratiska fält.

Aritmetiska ytor kan användas för att konstruera familjer av ytor av släktet $g$ för alla $g$ som uppfyller den (optimala, upp till en konstant) systolisk olikhet

\operatorname {sys} (S)\geqslant {\frac {4}{3}}\log g.

Spektra av aritmetiska hyperboliska ytor

Laplace egenvärden och egenfunktioner

Om $S$ är en hyperbolisk yta så finns det en distingerad operator $\Delta$ på jämna funktioner på $S$ . I fallet där $S$ är kompakt sträcker den sig till en obegränsad , väsentligen självadjoint operator på Hilbert-utrymmet $L^{2}(S)$ av kvadratintegrerbara funktioner på $S$ . Spektralsatsen i Riemannsk geometri säger att det finns en ortonormal bas $\phi _{0},\phi _{1},\ldots ,\phi _{n} ,\ldots$ av egenfunktioner för $\Delta$ . De associerade egenvärdena $\lambda _{0}=0<\lambda _{1}\leqslant \lambda _{2}\leqslant \cdots$ är obegränsade och deras asymptotiska beteende styrs av Weyls lag .

I fallet där $S=\Gamma \setminus \mathbb {H} ^{2}$ är aritmetisk är dessa egenfunktioner en speciell typ av automorfa former för $\Gamma$ som kallas Maass former . Egenvärdena för $\Delta$ är av intresse för talteoretiker, liksom fördelningen och nodmängderna för $\phi _{n}$ .

Fallet där $S$ har en fin volym är mer komplicerat men en liknande teori kan etableras via begreppet cusp form .

Selbergs gissning

Spektralgapet för ytan $S$ är per definition gapet mellan det minsta egenvärdet $\lambda _{0}=0$ och det näst minsta egenvärdet $\lambda _{ 1}>0$ ; sålunda är dess värde lika med $\lambda _{1}$ och vi ska beteckna det med $\lambda _{1}(S).$ I allmänhet kan den göras godtyckligt liten (ref Randol) (dock har den en positiv nedre gräns för en yta med fast volym). Selbergs gissning är följande uttalande som ger en förmodad enhetlig nedre gräns i det aritmetiska fallet:

Om $är {\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ gitter som härleds från en kvarternionalgebra och $\ Gamma '$ är en vridningsfri kongruensundergrupp av $\Gamma ,$ sedan för $mathbb {H} ^{2}}$ \ har

\lambda _{1}(S)\geqslant {\tfrac {1}{4}}.

Observera att påståendet endast är giltigt för en underklass av aritmetiska ytor och kan ses vara falskt för allmänna undergrupper av finita index i gitter härledda från kvaternionalgebror. Selbergs ursprungliga uttalande gjordes endast för kongruensskydd av den modulära ytan och det har verifierats för några små grupper. Selberg har själv bevisat den nedre gränsen ${\displaystyle \lambda _{1}\geqslant {\tfrac {1}{16}},$ ett resultat känt som "Selbergs 1/16-sats". Det mest kända resultatet i full allmänhet beror på Luo—Rudnick—Sarnak.

$\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ).$ har konsekvenser för konstruktionen av expandergrafer som Schreier-grafer för

Relationer med geometri

Selbergs spårformel visar att för en hyperbolisk yta med ändlig volym är det ekvivalent att känna till längdspektrumet (samlingen av längder för alla slutna geodesiker på ${\displaystyle S} ,$ med multipliciteter) och spektrumet för $\Delta$ . Det exakta sambandet är dock inte explicit.

En annan relation mellan spektrum och geometri ges av Cheegers olikhet , som i fallet med en yta $S$ anger ungefär att en positiv nedre gräns på spektralgapet för $S$ översätts till en positiv nedre gräns för den totala längden av en samling jämna slutna kurvor som skiljer $S$ i två sammankopplade komponenter.

Quantum ergodicitet

Kvantergodicitetssatsen av Shnirelman, Colin de Verdière och Zelditch säger att egenfunktioner i genomsnitt är lika fördelade på $\displaystyle S}$ { . Rudnicks och Sarnaks unika kvant-ergodicitetsförmodan frågar sig om det starkare påståendet att individuella egenfunktioner är lika fördelade är sant. Formellt är uttalandet följande.

Låt $S$ vara en aritmetisk yta och $\phi _{j}$ vara en sekvens av funktioner på $S$ så att

\Delta \phi _{j}=\lambda _{j}\phi _{j},\qquad \int _{S}\phi _{j}( x)^{2}\,dx=1.

Sedan för alla smidiga, kompakta funktioner $\psi$ på $S$ har vi

\lim _{j\to \infty }\left(\int _{S}\psi (x)\phi _{j}(x)^{2}\,dx\right)=\int _ {S}\psi (x)\,dx.

Denna gissning har bevisats av E. Lindenstrauss i fallet där $S$ är kompakt och $\phi _{j}$ är dessutom egenfunktioner för Hecke-operatorerna på $S$ . När det gäller kongruensomslag av modulären uppstår några ytterligare svårigheter, som hanterades av K. Soundararajan.

Isospektrala ytor

Det faktum att för aritmetiska ytor bestämmer aritmetiska data spektrumet för Laplace-operatorn $\Delta$ påpekades av MF Vignéras och användes av henne för att konstruera exempel på isospektrala kompakta hyperboliska ytor. Det exakta uttalandet är som följer:

Om $A$ är en kvaternionalgebra, är ${\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2}$ maximala ordningar i $A$ och de associerade fuchsiska grupperna $\Gamma _{1},\Gamma _{2}$ är torsionsfria då de hyperboliska ytorna $S_{i}=\Gamma _{i}\setminus \mathbb {H} ^{2}$ har samma Laplace-spektrum.

Vignéras konstruerade sedan explicita instanser för ${\displaystyle A,{\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2}} som$ uppfyllde villkoren ovan och så att i addition ${\mathcal {O}}_{2}$ konjugeras inte med ett element av $A$ till ${\mathcal {O}}_{1}$ . De resulterande isospektrala hyperboliska ytorna är då inte isometriska.

Anteckningar

Katok, Svetlana (1992). Fuchsiska grupper . Univ. från Chicago press.