Aritmetisk hyperbolisk 3-grenrör

Inom matematiken , närmare bestämt i gruppteori och hyperbolisk geometri , är Aritmetiska Kleinian-grupper en speciell klass av Kleinian-grupper som är konstruerade med hjälp av ordningar i quaternionalgebror . De är särskilda instanser av aritmetiska grupper . En aritmetisk hyperbolisk tremanifold är kvoten av hyperboliskt rymden $\mathbb {H} ^{3}$ av en aritmetisk kleinisk grupp.

Definition och exempel

Kvaternionalgebror

Huvudartikel: Kvaternionalgebra

En kvaternionalgebra över ett fält $F$ är en fyrdimensionell central enkel $F$ -algebra. En kvaternionalgebra har basen $1,i,j,ij$ där $i^{2},j^{2}\in F^{\times }$ och $ij=-ji$ .

En kvaternionalgebra sägs delas över $F$ om den är isomorf som en $F$ -algebra till algebra för matriser $M_{2}(F)$ ; en kvartjonalgebra över ett algebraiskt slutet fält delas alltid.

Om $\sigma$ är en inbäddning av $F$ i ett fält $E$ ska vi beteckna med $A\otimes _{\sigma }E$ algebra erhålls genom att utöka skalärer från $F$ till $E$ där vi ser $F$ som ett underfält till $E$ via $\sigma$ .

Aritmetiska Kleinian-grupper

En undergrupp av $\mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )$ sägs härledas från en kvartjonalgebra om den kan erhållas genom följande konstruktion. Låt $F$ vara ett talfält som har exakt två inbäddningar i $\mathbb {C}$ vars bild inte finns i $\mathbb {R}$ (den ena konjugerar till den andra) . Låt $A$ vara en kvaternionalgebra över $F$ så att för varje inbäddning $\tau :F\to \mathbb {R}$ algebra ${ \displaystyle A\otimes _{\tau }\mathbb {R} }$ är isomorft till Hamilton-kvarterna . Därefter behöver vi en order ${\mathcal {O}}$ i $A$ . Låt ${\mathcal {O}}^{1}$ vara gruppen av element i ${\mathcal {O}}$ av reducerad norm 1 och låt $\Gamma$ vara dess bild i $M_{2}(\mathbb {C} )$ via $\phi$ . Vi betraktar sedan den kleinska gruppen som erhållits som bilden i $) {\displaystyle \phi ( {\mathcal {O}}^{1})}$$\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$ av .

Huvudfaktumet om dessa grupper är att de är diskreta undergrupper och de har ändlig kovolym för Haar-måttet på $\mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )$ . Dessutom ger konstruktionen ovan en kokompakt undergrupp om och endast om algebra $A$ inte är delad över $F$ . Diskretiteten är en ganska omedelbar konsekvens av det faktum att $A$ bara delas vid sina komplexa inbäddningar. Det är svårare att bevisa samvolymens ändlighet.

En aritmetisk Kleinian-grupp är vilken undergrupp som helst av $\mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )$ som är jämförbar med en grupp härledd från en quaternionalgebra. Det följer omedelbart av denna definition att aritmetiska Kleinian-grupper är diskreta och med ändlig kovolym (detta betyder att de är gitter i $\mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )$ ).

Exempel

${\mathcal {O}}=M_{2}(O_{F})$ ges genom att ta $F$ för att vara ett tänkt kvadratiskt fält , $A=M_{2}(F)$ och där $O_{F}$ är ringen av heltal för $F$ (till exempel $F=\mathbb {Q} (i)$ och $O_{F}=\mathbb {Z} [i]$ ). De sålunda erhållna grupperna är Bianchi-grupperna . De är inte kokompakta, och varje aritmetisk Kleinian-grupp som inte är jämförbar med ett konjugat av en Bianchi-grupp är kokompakt.

Om $A$ är vilken kvartärnionalgebra som helst över ett imaginärt kvadratiskt talfält $F$ som inte är isomorft till en matrisalgebra så är enhetsgrupperna av ordningar i $A$ kokompakta.

Spårfält för aritmetiska grenrör

Det invarianta spårfältet för en kleinisk grupp (eller, genom monodrominbilden av den fundamentala gruppen, av ett hyperboliskt grenrör) är det fält som genereras av spåren av kvadraterna av dess element. I fallet med ett aritmetiskt grenrör vars fundamentala grupper är jämförbara med det för ett grenrör härlett från en kvartjonalgebra över ett talfält $F$ är det invarianta spårfältet lika med $F$ .

Man kan faktiskt karakterisera aritmetiska mångfalder genom spåren av elementen i deras grundläggande grupp. En kleinisk grupp är en aritmetisk grupp om och endast om följande tre villkor är uppfyllda:

• Dess invarianta spårfält $F$ är ett talfält med exakt en komplex plats;
• Spåren av dess element är algebraiska heltal ;
• För alla $\gamma$ i gruppen, $t=\mathrm {Trace} (\gamma ^{2})$ och eventuell inbäddning $\sigma :F\to \mathbb {R}$ har vi $|\sigma (t)|\leq 2$ .

Geometri och spektrum av aritmetiska hyperboliska tre-grenrör

Volymformel

För volymen ett aritmetiskt tre grenrör $M=\Gamma _{\mathcal {O}}\backslash \mathbb {H} ^{3}$ härledd från en maximal ordning i en kvartjonalgebra $A$ över ett nummerfält $f$ har vi uttrycket:

$$\mathrm {vol} (M)={\frac {2|D_{F}|^{\frac {3}{2}}\cdot \zeta _{F}(2)}{2^{ 2r+1}\cdot \pi ^{2r}}}\cdot \prod _{{\mathfrak {p}}|D_{A}}(N({\mathfrak {p}})-1).$$

där $D_{A},D_{F}$ är diskriminanterna för $A,F$ respektive, $\zeta _{F}$ är Dedekind zeta-funktion för $F$ och $r=[F:\mathbb {Q} ]$ .

Finitet resultat

En konsekvens av volymformeln i föregående stycke är att

Givet $v>0$ finns det som mest ändligt många aritmetiska hyperboliska 3–förgreningar med volym mindre än $v$ .

Detta står i kontrast till det faktum att hyperbolisk Dehn-kirurgi kan användas för att producera oändligt många icke-isometriska hyperboliska 3-grenrör med begränsad volym. I synnerhet är en följd av detta att givet ett cusped hyperboliskt grenrör, som mest ändligt många Dehn-operationer på det kan ge ett aritmetiskt hyperboliskt grenrör.

Anmärkningsvärda aritmetiska hyperboliska tre-grenrör

Weeks -grenröret är det hyperboliska tre-grenröret med minsta volym och Meyerhoff-grenröret är det med näst minsta volym.

Komplementet i åtta- sfärens tre-sfär är en aritmetisk hyperbolisk tre-manifold och uppnår den minsta volymen bland alla cusped hyperboliska tre-grenrör.

Spektrum och Ramanujan gissningar

Ramanujans gissning för automorfa former på $\mathrm {GL} (2)$ över ett talfält skulle innebära att spektrumet för varje kongruenstäckning av en aritmetisk tremanifold (härledd från en quaternionalgebra för Laplace-operatorn finns i $[1,+\infty )$ .

Aritmetiska grenrör i tredimensionell topologi

Många av Thurstons gissningar (till exempel den praktiskt taget Haken-förmodan ), som nu alla är kända för att vara sanna efter Ian Agols arbete, kontrollerades först för aritmetiska grenrör genom att använda specifika metoder. I vissa aritmetiska fall är den virtuella Haken-förmodan känd med allmänna medel, men det är inte känt om dess lösning kan komma fram med rent aritmetiska medel (till exempel genom att hitta en kongruensundergrupp med positivt första Betti-tal).

Aritmetiska grenrör kan användas för att ge exempel på grenrör med stor injektionsradie vars första Betti-nummer försvinner.

En anmärkning av William Thurston är att aritmetiska grenrör "...often verkar ha speciell skönhet." Detta kan underbyggas av resultat som visar att förhållandet mellan topologi och geometri för dessa grenrör är mycket mer förutsägbart än i allmänhet. Till exempel:

• För ett givet släkte g finns det som mest ändligt många aritmetiska (kongruens) hyperboliska 3–grenrör som fiber över cirkeln med en fiber av släktet g .
• Det finns högst ändligt många aritmetiska (kongruens) hyperboliska 3–förgreningar med ett givet Heegaard-släkte.

Anteckningar

•    Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), The aritmetic of hyperbolic 3-manifolds , Graduate Texts in Mathematics, vol. 219, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98386-8 , MR 1937957