Cheeger konstant

Den här artikeln handlar om Cheegers isoperimetriska konstant och Cheegers ojämlikhet i Riemannsk geometri. För en annan användning, se Cheeger konstant (grafteori) .

I Riemannsk geometri är Cheegers isoperimetriska konstant för ett kompakt Riemannmanifold M ett positivt reellt tal h ( M ) definierat i termer av den minimala arean av en hyperyta som delar M i två disjunkta delar. 1970 Jeff Cheeger en ojämlikhet som relaterade det första icke-triviala egenvärdet för Laplace-Beltrami-operatorn på M till h ( M ). Detta visade sig vara en mycket inflytelserik idé i Riemannsk geometri och global analys och inspirerade till en analog teori för grafer .

Definition

Låt M vara ett n -dimensionellt slutet Riemann-grenrör. Låt V ( A ) beteckna volymen av en n -dimensionell delgren A och S ( E ) beteckna den n −1-dimensionella volymen av en delgren E (vanligen kallad "area" i detta sammanhang). Cheegers isoperimetriska konstant för M definieras som

$h(M)=\inf _{E}{\frac {S(E)}{\min (V(A),V(B))}},$

där infimumet tas över alla släta n −1-dimensionella undergrenrör E av M som delar upp det i två disjunkta undergrenrör A och B . Den isoperimetriska konstanten kan definieras mer generellt för icke-kompakta Riemann-grenrör med ändlig volym.

Cheegers ojämlikhet

Cheeger-konstanten h ( M ) och $\scriptstyle {\lambda _{1}(M)},$ det minsta positiva egenvärdet för Laplacian på M , är relaterade av följande fundamentala olikhet bevisad av Jeff Cheeger :

$\lambda _{1}(M)\geq {\frac {h^{2}(M)}{4}}.$

Denna olikhet är optimal i följande mening: för varje h > 0, naturligt tal k och ε > 0, finns det ett tvådimensionellt Riemann-grenrör M med den isoperimetriska konstanten h ( M ) = h och så att det k: te egenvärdet för Laplacian är inom ε från Cheeger-bunden (Buser, 1978).

Busers ojämlikhet

Peter Buser visade en övre gräns för $\scriptstyle {\lambda _{1}(M)}$ i termer av den isoperimetriska konstanten h ( M ). Låt M vara ett n -dimensionellt slutet Riemann-grenrör vars Ricci-kurvatur begränsas nedanför av −( n −1) a ² , där a ≥ 0. Då

$\lambda _{1}(M)\leq 2a(n-1)h(M)+10h^{2}(M).$

Se även

• Cheeger konstant (grafteori)
• Isoperimetriskt problem
• Spektralgap

•   Buser, Peter (1982). "En notering om den isoperimetriska konstanten" . Ann. Sci. École Norm. Supera. (4) . 15 (2): 213–230. MR 0683635 .
•   Buser, Peter (1978). "Über eine Ungleichung von Cheeger" [Om en ojämlikhet mellan Cheeger]. Matematik. Z. (på tyska). 158 (3): 245–252. doi : 10.1007/BF01214795 . MR 0478248 .
•   Cheeger, Jeff (1970). "En nedre gräns för det minsta egenvärdet för Laplacian". I Gunning, Robert C. (red.). Problem i analys (Papper tillägnade Salomon Bochner , 1969) . Princeton, NJ: Princeton Univ. Tryck. s. 195–199. MR 0402831 .

•    Lubotzky, Alexander (1994). Diskreta grupper, expanderande grafer och oföränderliga mått . Moderna Birkhäuserklassiker. Med en bilaga av Jonathan D. Rogawski. Basel: Birkhäuser Verlag. doi : 10.1007/978-3-0346-0332-4 . ISBN 978-3-0346-0331-7 . MR 2569682 .