Spårfält för en representation

I matematik är spårfältet för en linjär grupp det fält som genereras av spåren av dess element. Det studeras mestadels för Kleinian och Fuchsian grupper , även om relaterade objekt används i teorin om gitter i Lie-grupper, ofta under namnet definitionsfält .

Fuchsian och Kleinian grupper

Spårfält och invarianta spårfält för fuchsiska grupper

Fuchsiska grupper är diskreta undergrupper av $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ . Spåret för ett element i $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ är väldefinierat upp till tecken (genom att ta spåret av en godtycklig förbild i ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )} )$ och spårfältet för $\Gamma$ är fältet som genereras över $\mathbb {Q}$ av spåren av alla element i $\Gamma$ (se till exempel i Maclachlan & Reid (2003) ) .

Det invarianta spårfältet är lika med spårfältet för undergruppen $\Gamma ^{(2)}$ som genereras av alla kvadrater av element i $\Gamma$ (en undergrupp med ändligt index av $\Gamma$ ).

Det invarianta spårfältet för fuchsiska grupper är stabilt under att ta jämförbara grupper. Detta är inte fallet för spårfältet; i synnerhet skiljer sig spårfältet i allmänhet från det invarianta spårfältet.

Kvaternionalgebror för fuchsiska grupper

Låt $\Gamma$ vara en fuchsisk grupp och $k$ dess spårfält. Låt $A$ vara $k$ -subalgebra av matrisalgebra $M_{2}(\mathbb {R} )$ genererad av förbilderna av element i ${ \displaystyle \Gamma }$ . Algebra $A$ är då så enkel som möjligt, mer exakt:

Om $\Gamma$ är av den första eller andra typen så är $A$ en kvaternionalgebra över $k$ .

Algebra $A$ kallas quaternionalgebra för $\Gamma$ . Kvaternionalgebra för $\Gamma ^{(2)}$ kallas den invarianta kvartjonalgebra för $\Gamma$ , betecknad med $A\Gamma$ . När det gäller spårfält är det förra inte detsamma för alla grupper i samma jämförbarhetsklass, men det senare är det.

Om $\Gamma$ är en aritmetisk fuchsisk grupp så är $k\Gamma$ och $A\Gamma$ tillsammans ett talfält och kvartärnionalgebra från vilken en grupp kan jämföras med ${\ displaystyle \Gamma }$ kan härledas.

Kleiniska grupper

Teorin för kleinska grupper (diskreta undergrupper av ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )} )$ liknar mestadels den för fuchsiska grupper. En stor skillnad är att spårfältet för en grupp med ändlig kovolym alltid är ett talfält.

Spårfält och definitionsfält för undergrupper av Lie-grupper

Definition

När man överväger undergrupper av allmänna Lie-grupper (som inte nödvändigtvis definieras som en matrisgrupper ) måste man använda en linjär representation av gruppen för att ta spår av element. Den mest naturliga är den angränsande representationen . Det visar sig att för applikationer är det bättre, även för grupper som har en naturlig lägre dimensionell linjär representation (som de speciella linjära grupperna $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )$ ), för att alltid definiera spårningsfältet med hjälp av den adjoint representationen. Således har vi följande definition, ursprungligen på grund av Ernest Vinberg , som använde terminologin "definitionsfält".

Låt $G$ vara en Lie-grupp och $\Gamma \subset G$ en undergrupp. Låt $\rho$ vara den adjoint representation av $G$ . Spårfältet för $\Gamma$ är fältet:

$k\Gamma =\mathbb {Q} (\{\operatörsnamn {spår} (\rho (\gamma )):\gamma \in \Gamma \}).$

Om två Zariski-täta undergrupper av $G$ är kommensurerbara så har de samma spårfält i denna mening.

Spårfältet för galler

Låt $G$ vara en halvenkel Lie-grupp och $\Gamma \subset G$ ett gitter . Antag vidare att antingen $\Gamma$ är irreducerbar och $G$ inte är lokalt isomorf till $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ , eller att $\Gamma$ inte har någon faktor lokalt isomorf till $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ . Då lokal stelhet följande resultat.

Fältet $k\Gamma$ är ett nummerfält .

Dessutom finns det en algebraisk grupp $\mathbf {G}$ över $k\Gamma$ så att gruppen av reella punkter $\mathbf {G} (\mathbb { R} )$ är isomorf till $\rho (G)$ och $\rho (\Gamma )$ ingår i en konjugat av $\ mathbf {G} (k\Gamma )$ . Sålunda $k\Gamma$ ett "definitionsfält" för $\Gamma$ i den meningen att det är ett definitionsfält för dess Zariski-stängning i den angränsande representationen.

I fallet där $\Gamma$ är aritmetisk är den jämförbar med den aritmetiska gruppen som definieras av $\mathbf {G}$ .

För fuchsiska grupper är fältet $k\Gamma$ som definierats ovan lika med dess invarianta spårfält. För kleinska grupper är de samma om vi använder den adjointa representationen över de komplexa talen.

Anteckningar

•   Vinberg, Ernest (1971). "Definitionsringar av täta undergrupper av halvenkla linjära grupper". Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Matta. (på ryska). Vol. 35. s. 45–55. MR 0279206 .
• Maclachlan, Colin; Reid, Alan (2003). Aritmetiken för hyperboliska 3-grenrör . Springer.
•    Margulis, Grigory (1991). Diskreta undergrupper av halvenkla Lie-grupper . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag . ISBN 3-540-12179-X . MR 1090825 .