Lokal stelhet

Lokala styvhetsteorem i teorin om diskreta undergrupper av Lie-grupper är resultat som visar att små deformationer av vissa sådana undergrupper alltid är triviala. Det skiljer sig från Mostow-styvhet och svagare (men håller oftare) än superrigidity .

Historia

Den första sådana satsen bevisades av Atle Selberg för samkompakta diskreta undergrupper av de unimodulära grupperna $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )$ . Kort därefter bevisades ett liknande uttalande av Eugenio Calabi i inställningen av grundläggande grupper av kompakta hyperboliska grenrör. Slutligen utvidgades satsen till alla samkompakta undergrupper av semisimpla Lie-grupper av André Weil . Utvidgningen till icke-kompakta galler gjordes senare av Howard Garland och Madabusi Santanam Raghunathan . Resultatet kallas nu ibland för Calabi—Weil (eller bara Weil) stelhet.

Påstående

Deformationer av undergrupper

Låt $\Gamma$ vara en grupp genererad av ett ändligt antal element $g_{1},\ldots ,g_{n}$ och $G$ a Lie grupp. Därefter är kartan $\mathrm {Hom} (\Gamma ,G)\to G^{n}$ definierad av $\rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{n}))$ är injektiv och detta ger ${\ displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)}$ med en topologi inducerad av den för $G^{n}$ . Om $\Gamma$ är en undergrupp av $G$ så är en deformation av $\Gamma$ vilket element som helst i $\mathrm {Hom} ( \Gamma ,G)$ . Två representationer $\phi ,\psi$ sägs vara konjugerade om det finns en $g\in G$ så att ${ \displaystyle \phi (\gamma )=g\psi (\gamma )g^{-1}}$ för alla $\gamma \in \Gamma$ . Se även karaktärsvariation .

Gitter i enkla grupper ej av typ A1 eller A1 × A1

Det enklaste påståendet är när $\Gamma$ är ett gitter i en enkel Lie-grupp $G$ och den senare inte är lokalt isomorf till $\mathrm {SL} _{ 2}(\mathbb {R} )$ eller $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )$ och $\Gamma$ (detta betyder att dess Liealgebra är inte en av dessa två grupper).

Det finns en stadsdel $U$ i $\mathrm {Hom} (\Gamma ,G)$ av inkluderingen $i:\Gamma \ delmängd G$ så att valfri $\phi \in U$ är konjugerad till $i$ .

Närhelst ett sådant påstående gäller för ett par $G\supset \Gamma$ kommer vi att säga att lokal stelhet gäller.

Gitter i SL(2,C)

Lokal styvhet gäller för kokompakta gitter i $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )$ . Ett gitter $\Gamma$ i $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )$ som inte är kokompakt har icke-triviala deformationer som kommer från Thurstons hyperboliska Dehn- kirurgiteori . Men om man lägger till begränsningen att en representation måste skicka paraboliska element i $\Gamma$ till paraboliska element så gäller lokal stelhet.

Gitter i SL(2,R)

I det här fallet håller aldrig lokal stelhet. För kokompakta gitter förblir en liten deformation ett kokompakt gitter men det kanske inte är konjugerat med det ursprungliga (se Teichmüller-utrymmet för mer detaljer). Icke-kompakta gitter är praktiskt taget fria och har därför icke-gitterdeformationer.

Halvenkla Lie-grupper

Lokal styvhet gäller för gitter i semisenkla Lie-grupper förutsatt att de senare inte har någon faktor av typ A1 (dvs. lokalt isomorf till $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ eller $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )$ ) eller den förra är irreducerbar.

Övriga resultat

Det finns också lokala styvhetsresultat där den omgivande gruppen ändras, även i de fall där superrigiditeten misslyckas. Till exempel, om $\Gamma$ är ett gitter i den enhetliga gruppen $\mathrm {SU} (n,1)$ och $n\geq 2$ sedan inkluderingen $\Gamma \subset \mathrm {SU} (n,1)\subset \mathrm {SU} (n+ 1,1)$ är lokalt stel.

Ett enhetligt gitter $\Gamma$ i vilken som helst kompakt genererad topologisk grupp $G$ är topologiskt lokalt stel , i den meningen att varje tillräckligt liten deformation $\varphi$ av inneslutningen $i:\Gamma \subset G$ är injektiv och $\varphi (\Gamma )$ är ett enhetligt gitter i $G$ . Ett irreducerbart likformigt gitter i isometrigruppen av någon korrekt geodesiskt komplett $\mathrm {CAT} (0)$ -utrymme som inte är isometriskt för det hyperboliska planet och utan euklidiska faktorer är lokalt stel.

Bevis för satsen

Weils ursprungliga bevis är genom att relatera deformationer av en undergrupp $\Gamma$ i $G$ till den första kohomologigruppen av $\Gamma$ med koefficienter i Lie-algebra av $G$ , och visar sedan att denna kohomologi försvinner för kokompakta gitter när $G$ inte har någon enkel faktor av absolut typ A1. Ett mer geometriskt bevis som också fungerar i de icke-kompakta fallen använder Charles Ehresmann (och William Thurstons ) teori om $(G,X)$ strukturer.