Kommensurabilitet (gruppteori)

Ej att förväxla med Kommensurabilitet (matematik) .

Inom matematiken , särskilt i gruppteorin , är två grupper jämförbara om de skiljer sig endast med en ändlig mängd, i en exakt mening. Kommensuratorn för en undergrupp är en annan undergrupp , relaterad till normaliseraren .

Kommensurabilitet i gruppteori

Två grupper G ₁ och G ₂ sägs vara ( abstrakt ) kommensurerbara om det finns undergrupper H ₁ ⊂ G ₁ och H ₂ ⊂ G ₂ med ändligt index så att H ₁ är isomorf till H ₂ . Till exempel:

• En grupp är ändlig om och endast om den är jämförbar med den triviala gruppen.
• Alla två ändligt genererade fria grupper på minst 2 generatorer är jämförbara med varandra. Gruppen SL (2, Z ) är också jämförbar med dessa fria grupper.
• Alla två ytgrupper av släktet minst 2 är jämförbara med varandra.

Ett annat men relaterat begrepp används för undergrupper av en given grupp. Två undergrupper Γ ₁ och Γ ₂ i en grupp G sägs nämligen vara kommensurerbara om skärningspunkten Γ ₁ ∩ Γ ₂ har ändligt index i både Γ ₁ och Γ ₂ . Detta innebär helt klart att Γ1 _och Γ2 _är abstrakt jämförbara.

Exempel: för reella tal a och b som inte är noll , är undergruppen av R som genereras av a kommensurerbar med undergruppen som genereras av b om och endast om de reella talen a och b är kommensurerbara , vilket betyder att a / b tillhör de rationella talen Q .

I geometrisk gruppteori betraktas en ändligt genererad grupp som ett metriskt utrymme med ordet metrisk . Om två grupper är (abstrakt) kommensurerbara, så är de kvasi-isometriska . Det har varit fruktbart att fråga när det omvända håller.

Det finns en analog uppfattning i linjär algebra: två linjära delrum S och T i ett vektorrum V är kommensurerbara om skärningspunkten S ∩ T har finit kodimension i både S och T .

I topologi

Två bana-anslutna topologiska utrymmen kallas ibland commensurable om de har homeomorphic finite-sheeted täckande utrymmen . Beroende på vilken typ av utrymme som övervägs, kanske man vill använda homotopi-ekvivalenser eller diffeomorfismer istället för homeomorfismer i definitionen. Genom förhållandet mellan täckande utrymmen och grundgruppen har jämförbara utrymmen jämförbara grundgrupper.

Exempel: Gieseking-grenröret är jämförbart med komplementet till knuten åtta ; dessa är båda icke-kompakta hyperboliska 3-grenrör med ändlig volym. Å andra sidan finns det oändligt många olika jämförbarhetsklasser av kompakta hyperboliska 3-grenrör, och även av icke-kompakta hyperboliska 3-grenrör med ändlig volym.

Kommensuratorn

Kommensuratorn för en undergrupp Γ av en grupp G , betecknad Comm _{G (} Γ ), är mängden av element g av G som är sådan att den konjugerade undergruppen g Γ g ⁻¹ är jämförbar med Γ. Med andra ord,

$\operatorname {Comm} _{G}(\Gamma )=\{g\in G:g\Gamma g^{-1}\cap \Gamma {\text{ har ändligt index i både }}\Gamma {\text{ och }}g\Gamma g^{-1}\}.$

Detta är en undergrupp av G som innehåller normalisatorn NG (Γ) (och därför innehåller Γ) _.

Kommensuratorn för den speciella linjära gruppen SL ( n , Z ) i SL ( n , R ) innehåller till exempel SL ( n , Q ). Speciellt är kommensuratorn för SL ( n , Z ) i SL ( n , R ) tät i SL ( n , R ). Mer generellt Grigory Margulis att kommensuratorn för ett gitter Γ i en semisenkel Lie-grupp G är tät i G om och endast om Γ är en aritmetisk undergrupp av G .

Den abstrakta kommensuratorn

Den abstrakta kommensuratorn för en grupp $G$ , betecknad Comm $(G)$ , är gruppen av ekvivalensklasser av isomorfismer $\phi :H\to K$ , där $H$ och $K$ är finita indexundergrupper av ${\displaystyle G} ,$ under komposition. Element av ${\text{Comm}}(G)$ kallas kommensuratorer för $G$ .

Om $G$ är en ansluten semisenkel Lie-grupp som inte är isomorf till ${\displaystyle {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {R} )} ,$ med trivialt centrum och ingen kompakt faktorer, då enligt Mostows stelhet är den abstrakta kompensatorn för varje irreducibelt gitter $\Gamma \leq G$ linjär. Dessutom, om $\Gamma$ är aritmetisk, så är Comm $(\Gamma )$ praktiskt taget isomorf till en tät undergrupp av $G$ , annars Comm $( \Gamma )$ är praktiskt taget isomorft till $\Gamma$ .

Anteckningar

•    Druțu, Cornelia ; Kapovich, Michael (2018), Geometric Group Theory , American Mathematical Society , ISBN 9781470411046 , MR 3753580
•    Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds , Springer Nature , ISBN 0-387-98386-4 , MR 1937957
•    Margulis, Grigory (1991), Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups , Springer Nature , ISBN 3-540-12179-X , MR 1090825