Aritmetisk yta

I matematik är en aritmetisk yta över en Dedekind-domän R med bråkfält $K$ ett geometriskt objekt som har en konventionell dimension och en annan dimension som tillhandahålls av primtalens oändlighet . När R är ringen av heltal Z , beror denna intuition på att det primära idealspektrum Spec( Z ) ses som analogt med en linje. Aritmetiska ytor uppstår naturligt i diofantin geometri , när en algebraisk kurva definierad över K är tänkt att ha reduktioner över fälten R / P , där P är ett primärt ideal för R , för nästan alla P ; och är behjälpliga med att specificera vad som ska hända med processen att reducera till R / P när det mest naiva sättet inte är meningsfullt.

Ett sådant objekt kan mer formellt definieras som ett R-schema med en icke-singular, sammankopplad projektiv kurva $C/K$ för en generisk fiber och sammanslutningar av kurvor (eventuellt reducerbara , singular , icke-reducerade ) över lämpligt restfält för specialfibrer .

Formell definition

Mer detaljerat är en aritmetisk yta $S$ (över Dedekind-domänen $R$ ) ett schema med en morfism $p:S\rightarrow \mathrm {Spec} (R)$ med följande egenskaper: $S$ är integral , normal , excellent , platt och av finit typ över $R$ och den generiska fibern är en icke-singular, ansluten projektiv kurva över $\mathrm {Frac} (R)$ och för andra $t$ i $\mathrm {Spec} (R)$ ,

S{\underset {\mathrm {Spec} (R)}{\times }}\mathrm {Spec} (k_{t})

är en union av kurvor över $R/t$ .

Över ett Dedekind-schema

I ännu mer allmänt hänseende kan aritmetiska ytor definieras över Dedekind-scheman, ett typiskt exempel på vilka är spektrumet av ringen av heltal i ett talfält (vilket är fallet ovan). En aritmetisk yta är då en vanlig fiberyta över ett Dedekind-schema av dimension ett. Denna generalisering är användbar, till exempel tillåter den baskurvor som är jämna och projektiva över ändliga fält, vilket är viktigt för positiva egenskaper.

Vad gör dem "aritmetiska"?

Aritmetiska ytor över Dedekind-domäner är den aritmetiska analogen av fiberytor över algebraiska kurvor. Aritmetiska ytor uppstår främst inom talteorisammanhang. I själva verket, givet en kurva $X$ över ett talfält $S$ , finns det en aritmetisk yta över ringen av heltal $O_{K}$ vars generiska fiber är isomorf till $X$ . I högre dimensioner kan man också överväga aritmetiska scheman.

Egenskaper

Dimensionera

Aritmetiska ytor har dimension 2 och relativ dimension 1 över sin bas.

Avdelare

Vi kan utveckla en teori om Weil divisorer på aritmetiska ytor eftersom varje lokal ring av dimension ett är regelbunden. Detta anges kortfattat som "aritmetiska ytor är regelbundna i kodimension ett." Teorin utvecklas till exempel i Hartshornes Algebraic Geometry.

Exempel

Projektiv linje

Den projektiva linjen över Dedekind-domänen $R$ är en jämn , korrekt aritmetisk yta över $R$ . Fibern över varje maximal ideal ${\mathfrak {m}}$ är den projektiva linjen över fältet $R/{\mathfrak {m}}.$

Vanliga minimala modeller

Néron-modeller för elliptiska kurvor , initialt definierade över ett globalt fält , är exempel på denna konstruktion och är mycket studerade exempel på aritmetiska ytor. Det finns starka analogier med elliptiska fibrationer .

Intersektionsteori

Med tanke på två distinkta irreducerbara divisorer och en sluten punkt på specialfibern på en aritmetisk yta, kan vi definiera det lokala skärningsindexet för divisorerna vid den punkt som du skulle göra för vilken algebraisk yta som helst, nämligen som dimensionen av en viss kvot av den lokala ring vid en punkt. Tanken är då att lägga till dessa lokala index för att få ett globalt skärningsindex. Teorin börjar avvika från den för algebraiska ytor när vi försöker säkerställa att linjära ekvivalenta divisorer ger samma skärningsindex, detta skulle användas, till exempel för att beräkna ett divisors skärningsindex med sig själv. Detta misslyckas när basschemat för en aritmetisk yta inte är "kompakt". Faktum är att i det här fallet kan linjär ekvivalens flytta en skärningspunkt ut till oändligheten. En partiell lösning på detta är att begränsa uppsättningen av divisorer vi vill skära, i synnerhet att tvinga minst en divisor att vara "fibral" (varje komponent är en komponent av en speciell fiber) gör att vi kan definiera en unik korsningsparning med detta egendom, bland annat önskvärda. En fullständig upplösning ges av Arakelovs teori.

Arakelov teori

Arakelovs teori erbjuder en lösning på problemet som presenteras ovan. Intuitivt läggs fibrer till i oändligheten genom att lägga till en fiber för varje arkimediskt absolutvärde av K. En lokal korsningsparning som sträcker sig till hela divisorgruppen kan sedan definieras, med den önskade invariansen under linjär ekvivalens.

Se även

Anteckningar

Hartshorne, Robin (1977). Algebraisk geometri . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 52. Springer-Verlag . ISBN 0-387-90244-9 . Zbl 0367.14001 .
Qing Liu (2002). Algebraisk geometri och aritmetiska kurvor . Oxford University Press . ISBN 0-19-850284-2 .
Eisenbud, David ; Harris, Joe (2000). Schemens geometri . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 197. Springer-Verlag . ISBN 0-387-98637-5 . Zbl 0960.14002 .
Lang, Serge (1988). Introduktion till Arakelov teori . New York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-96793-1 . MR 0969124 . Zbl 0667.14001 .
Silverman, Joseph H. (1994). Avancerade ämnen i aritmetiken av elliptiska kurvor . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 151. Springer-Verlag . ISBN 0-387-94328-5 . Zbl 0911.14015 .
Soulé, C.; Abramovich, Dan; Burnol, J.-F.; Kramer, Jürg (1992). Föreläsningar om Arakelovs geometri . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 33. Gemensamt arbete med H. Gillet. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-47709-3 . Zbl 0812.14015 .