Triangulärt tal

₀ De första sex triangulära talen (börjar inte med T )

Triangulära nummer plot

Ett triangulärt tal eller triangelnummer räknar objekt ordnade i en liksidig triangel . Triangulära tal är en typ av figurtal , andra exempel är kvadrattal och kubtal . Det n :te triangulära talet är antalet punkter i det triangulära arrangemanget med n punkter på varje sida och är lika med summan av de n naturliga talen från 1 till n . Följden av triangulära tal, som börjar med det 0 : e triangulära talet , är

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 0, 25, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

(Denna sekvens ingår i On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (sekvens A000217 i OEIS ).)

Formel

Härledning av triangulära tal från en vänsterjusterad Pascals triangel

De triangulära talen ges av följande explicita formler:

$$T_{n}=\summa _{k=1 }^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \välj 2},$$

där $\textstyle {n+1 \choose 2}$ är en binomial koefficient . Det representerar antalet distinkta par som kan väljas från n + 1 objekt, och det läses upp som " n plus en välj två".

Den första ekvationen kan illustreras med ett visuellt bevis . För varje triangulärt tal $T_{n}$ , föreställ dig ett "halvkvadrat"-arrangemang av objekt som motsvarar det triangulära talet, som i figuren nedan. Genom att kopiera detta arrangemang och rotera det för att skapa en rektangulär figur fördubblas antalet objekt, vilket ger en rektangel med dimensionerna ${\displaystyle n\times (n+1)} ,$ vilket också är antalet objekt i rektangeln. Det är uppenbart att det triangulära talet i sig alltid är exakt hälften av antalet objekt i en sådan figur, eller: $T_{n}={\frac {n(n+1) }{2}}$ . Exemplet $T_{4}$ följer:

$2T_{4}=4(4+1)=20$ (grön plus gul) innebär att ${\ displaystyle T_{4}={\frac {4(4+1)}{2}}=10}$ (grön).

Denna formel kan bevisas formellt med matematisk induktion . Det är helt klart sant för $1$ :

$$T_{1}=\summa _{k=1}^{1}k={\frac {1 (1+1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1.$$

Antag nu att för något naturligt tal $m$ , $T_{m}=\summa _{k=1}^{ m}k={\frac {m(m+1)}{2}}$ . Att lägga till $m+1$ till detta ger

$${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{m}k+(m+1)&={ \frac {m(m+1)}{2}}+m+1\\&={\frac {m(m+1)+2m+2}{2}}\\&={\frac {m ^{2}+m+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+3m+2}{2}}\\&={\frac {(m+1) (m+2)}{2}},\end{aligned}}$$

så om formeln är sann för $m$ , är den sann för $m+1$ . Eftersom det är klart sant för $1$ , är det därför sant för $2$ , $3$ , och slutligen alla naturliga tal $n$ genom induktion.

Den tyske matematikern och vetenskapsmannen, Carl Friedrich Gauss , sägs ha funnit detta förhållande i sin tidiga ungdom, genom att multiplicera n / 2 par av tal i summan med värdena för varje par n + 1 . Men oavsett sanningen i denna berättelse var Gauss inte den första som upptäckte denna formel, och vissa finner det troligt att dess ursprung går tillbaka till pytagoreerna på 500-talet f.Kr. De två formlerna beskrevs av den irländska munken Dicuil omkring 816 i hans Computus . En engelsk översättning av Dicuils konto finns tillgänglig.

Det triangulära talet T _n löser handslagsproblemet med att räkna antalet handslag om varje person i ett rum med n + 1 personer skakar hand en gång med varje person. Med andra ord är lösningen på handskakningsproblemet för n personer T _{n −1} . Funktionen T är den additiva analogen till faktorfunktionen , som är produkterna av heltal från 1 till n .

Antalet linjesegment mellan närmaste prickpar i triangeln kan representeras i termer av antalet punkter eller med ett återkommande förhållande :

$$L_{n}=3T_{n-1}=3{n \choose 2};~~~L_{n} =L_{n-1}+3(n-1),~L_{1}=0.$$

I gränsen är förhållandet mellan de två siffrorna, punkter och linjesegment

$$\lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}}{L_{n}}}={\frac {1}{3}}.$$

Relationer till andra figurantal

Triangulära tal har en mängd olika relationer till andra figurtal.

Enklast är summan av två på varandra följande triangulära tal ett kvadrattal, där summan är kvadraten på skillnaden mellan de två (och därmed är skillnaden mellan de två kvadratroten av summan). Algebraiskt,

$$T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left( {\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2 }}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\ höger)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.$$

Detta faktum kan demonstreras grafiskt genom att placera trianglarna i motsatta riktningar för att skapa en kvadrat:

6 + 10 = 16 10 + 15 = 25

Det dubbla av ett triangulärt tal, som i det visuella beviset från avsnittet ovan § Formel , kallas ett proniskt tal .

Det finns oändligt många triangulära tal som också är kvadrattal; t.ex. 1, 36, 1225. Några av dem kan genereras med en enkel rekursiv formel:

$$S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right)$$

med $S_{1}=1.$

Alla kvadratiska triangulära tal hittas från rekursionen

$$S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2$$

med $S_{0}=0$ och $S_{1}=1.$

En kvadrat vars sidolängd är ett triangulärt tal kan delas upp i kvadrater och halva kvadrater vars ytor adderas till kuber. Detta visar att kvadraten på det n: te triangulära talet är lika med summan av de första n kubtalen.

Dessutom är kvadraten på det n: te triangulära talet samma som summan av kuberna för heltal 1 till n . Detta kan också uttryckas som

$$\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.$$

Summan av de första n triangulära talen är det n : te tetraedriska numret :

$$\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\summa _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}={\ frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.$$

Mer generellt är skillnaden mellan det n :te m -gonala talet och det n :te ( m + 1) -gonala talet det ( n − 1) : e triangulära talet. Till exempel är det sjätte hexagonala talet (81) minus det sjätte hexagonala talet (66) lika med det femte triangulära talet, 15. Vartannat triangulärt tal är ett hexagonalt tal. Genom att känna till de triangulära talen kan man räkna vilket centrerat polygontal som helst ; det n :te centrerade k -gonala talet erhålls med formeln

$$Ck_{n}=kT_{n-1}+1$$

där T är ett triangulärt tal.

Den positiva skillnaden mellan två triangulära tal är ett trapetsformat tal .

Mönstret som hittades för triangulära tal $\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={ \binom {n_{2}+1}{2}}$ och för tetraedriska tal $\sum _ {n_{2}=1}^{n_{3}}\summa _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{ 3}},$ som använder binomialkoefficienter , kan generaliseras. Detta leder till formeln:

$$\sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\summa _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\dots \sum _{n_{ 2}=1}^{n_{3}}\summa _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k }}$$

Övriga fastigheter

Triangulära tal motsvarar förstagradsfallet av Faulhabers formel .

Alternerande triangulära tal (1, 6, 15, 28, ...) är också hexagonala tal.

Varje jämnt perfekt tal är triangulärt (liksom hexagonalt), givet av formeln

$$M_{p}2^{p-1}={\frac {M_{p}(M_{p}+1 )}{2}}=T_{M_{p}}$$

där M _p är ett Mersenne-primtal . Inga udda perfekta tal är kända; därför är alla kända perfekta tal triangulära.

Till exempel är det tredje triangulära talet (3 × 2 =) 6, det sjunde är (7 × 4 =) 28, det 31:a är (31 × 16 =) 496 och det 127:e är (127 × 64 =) 8128.

Den sista siffran i ett triangulärt tal är 0, 1, 3, 5, 6 eller 8, och slutar alltså aldrig på 2, 4, 7 eller 9. En sista 3:a måste föregås av en 0 eller 5; en sista 8:a måste föregås av en 2 eller 7.

I bas 10 är den digitala roten av ett triangulärt tal som inte är noll alltid 1, 3, 6 eller 9. Därför är varje triangulärt tal antingen delbart med tre eller har en återstod av 1 när de divideras med 9:

0 = 9 × 0

1 = 9 × 0 + 1

3 = 9 × 0 + 3

6 = 9 × 0 + 6

10 = 9 × 1 + 1

15 = 9 × 1 + 6

21 = 9 × 2 + 3

28 = 9 × 3 + 1

36 = 9 × 4

45 = 9 × 5

55 = 9 × 6 + 1

66 = 9 × 7 + 3

78 = 9 × 8 + 6

91 = 9 × 10 + 1

...

Det finns en mer specifik egenskap för de triangulära talen som inte är delbara med 3; det vill säga, de har antingen en rest 1 eller 10 när de divideras med 27. De som är lika med 10 mod 27 är också lika med 10 mod 81.

Det digitala rotmönstret för triangulära tal, som upprepas var nionde term, som visas ovan, är "1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9".

Motsatsen till påståendet ovan är dock inte alltid sant. Till exempel är den digitala roten av 12, som inte är ett triangulärt tal, 3 och delbart med tre.

Om x är ett triangulärt tal, så är ax + b också ett triangulärt tal, givet a är en udda kvadrat och b = a − 1 / 8 . Observera att b alltid kommer att vara ett triangulärt tal, eftersom 8 T _n + 1 = (2 n + 1) ² , vilket ger alla udda kvadrater avslöjas genom att multiplicera ett triangulärt tal med 8 och lägga till 1, och processen för b ges a är en udda kvadrat är inversen av denna operation. De första paren av den här formen (räknade inte 1 x + 0 ) är: 9 x + 1 , 25 x + 3 , 49 x + 6 , 81 x + 10 , 121 x + 15 , 169 x + 21 , ... etc. Givet x är lika med T _n ger dessa formler T _{3 n + 1} , T _{5 n + 2} , T _{7 n + 3} , T _{9 n + 4} , och så vidare.

Summan av de reciproka av alla triangulära tal som inte är noll är

$$\sum _{n=1}^{\infty }{1 \över {{n^ {2}+n} \över 2}}=2\summa _{n=1}^{\infty }{1 \över {n^{2}+n}}=2.$$

Detta kan visas genom att använda grundsumman för en teleskopisk serie :

$$\sum _{n=1}^{\infty }{1 \över {n(n+1)}}=1.$$

Två andra formler angående triangulära tal är

$$T_{a+b}=T_{a}+T_{b}+ab$$

och

$$T_{ab}=T_{a}T_{b}+T_{a-1}T_{b-1},$$

båda kan enkelt fastställas antingen genom att titta på punktmönster (se ovan) eller med någon enkel algebra.

År 1796 upptäckte Gauss att varje positivt heltal kan representeras som en summa av tre triangulära tal (möjligen inklusive T ₀ = 0), och skrev i sin dagbok sina berömda ord, " ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ ". Denna sats innebär inte att de triangulära talen är olika (som i fallet med 20 = 10 + 10 + 0), inte heller att det måste finnas en lösning med exakt tre triangulära tal som inte är noll. Detta är ett specialfall av Fermats polygonala talsats .

Det största triangulära talet av formen 2 ^k − 1 är 4095 (se Ramanujan–Nagells ekvation ) .

Wacław Franciszek Sierpiński ställde frågan om förekomsten av fyra distinkta triangulära tal i geometrisk progression . Det antogs av den polske matematikern Kazimierz Szymiczek vara omöjligt och bevisades senare av Fang och Chen 2007.

Formler som involverar att uttrycka ett heltal som summan av triangulära tal är kopplade till thetafunktioner , i synnerhet Ramanujan theta-funktionen .

Ansökningar

Det maximala antalet bitar, p som kan erhållas med n raka snitt är det n :e triangulära siffran plus ett, som bildar den lata caterarens sekvens (OEIS A000124)

Ett helt anslutet nätverk med n datorenheter kräver närvaron av T _{n − 1} kablar eller andra anslutningar; detta motsvarar handskakningsproblemet som nämns ovan.

I ett turneringsformat som använder ett round-robin- gruppspel är antalet matcher som måste spelas mellan n lag lika med det triangulära talet T _{n − 1} . Till exempel kräver ett gruppspel med 4 lag 6 matcher och ett gruppspel med 8 lag kräver 28 matcher. Detta motsvarar också problem med handskakning och problem med fullt anslutna nätverk.

Ett sätt att beräkna avskrivningen av en tillgång är summan av år siffror metoden , som går ut på att hitta T _n , där n är längden i år av tillgångens nyttjandeperiod. Varje år förlorar föremålet ( b − s ) × n − y / T _n , där b är föremålets startvärde (i valutaenheter), s är dess slutliga räddningsvärde, n är det totala antalet år föremålet är användbar och y innevarande år i avskrivningsschemat. Enligt denna 4/10 det metod skulle en vara med en användbar livslängd på andra n = 4 år förlora av sitt "förlorbara" värde under det första året, under i 3/10 1/10 under 2/10 , det tredje och den fjärde, ackumulerar en total avskrivning på 10 / 10 (hela) av det förlustbara värdet.

Brädspelsdesignerna Geoffrey Engelstein och Isaac Shalev beskriver triangulära siffror som att de uppnått "nästan statusen som ett mantra eller koan bland speldesigners ", och beskriver dem som "djupt intuitiva" och "finns med i ett enormt antal spel, [visar sig] otroligt mångsidiga att ge eskalerande belöningar för större uppsättningar utan att alltför stimulera specialisering till att utesluta alla andra strategier".

Triangulära rötter och tester för triangulära tal

I analogi med kvadratroten ur x kan man definiera den (positiva) triangelroten ur x som talet n så att T _n = x :

$$n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}$$

som följer omedelbart av kvadratformeln . Så ett heltal x är triangulärt om och endast om 8 x + 1 är en kvadrat. På motsvarande sätt, om den positiva triangulära roten n av x är ett heltal, så är x det n :te triangulära talet.

alternativt namn

Ett alternativt namn som föreslagits av Donald Knuth , i analogi med factorials , är "termial", med notationen n ? för det n: te triangulära talet. Men även om vissa andra källor använder detta namn och notation, är de inte i stor användning.

Se även

• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• Dubbeltriangulärt tal , ett triangulärt tal vars position i sekvensen av triangulära tal också är ett triangulärt tal
• Tetractys , ett arrangemang av tio punkter i en triangel, viktigt inom pytagoreanism

externa länkar

• "Arithmetic series" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Triangulära siffror vid cut-the-knoten
• Det finns triangulära siffror som också är kvadratiska vid cut-the-knoten
• Weisstein, Eric W. "Triangulärt nummer" . MathWorld .
• Hypertetraedriska polytopiska rötter av Rob Hubbard, inklusive generaliseringen till triangulära kubrötter , några högre dimensioner och några ungefärliga formler