Automorft nummer

I matematik är ett automorft tal (ibland kallat ett cirkulärt tal ) ett naturligt tal i en given talbas $b$ vars kvadrat "slutar" med samma siffror som själva numret.

Definition och egenskaper

Givet en talbas $b$ , är ett naturligt tal $n$ med $k$ siffror ett automorft tal om $n$ är en fixpunkt för polynomfunktionen $f(x)=x^{2}$ över $\mathbb {Z} /b^{k}\mathbb {Z}$ , ringen av heltal modulo $b^{k}$ . Eftersom den omvända gränsen för $\mathbb {Z} /b^{k}\mathbb {Z}$ är ${\displaystyle \mathbb {Z} _{b}},$ är ringen av $b$ -adiska heltal , automorfa tal används för att hitta de numeriska representationerna av fixpunkterna för $f(x)=x^{2}$ över ${\ displaystyle \mathbb {Z} _{b}}$ .

Till exempel, med $b=10$ , finns det fyra 10-adiska fixpunkter för $f(x)=x^{2}$ , de sista 10 siffrorna av vilka är en av dessa

\ldots 0000000000

displaystyle \ldots 0000000001}

sekvens

\displaystyle \ldots 1787109376

\ displaystyle } \

ldots 82128900001} 9376 {

( A018248 i OEIS )

Således är de automorfa talen i bas 10 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 628, 628, 628, 629 5, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625 , 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376, 59918212890625, ... (sekvens A003226 i OEIS ).

En fast punkt för $f(x)$ är en nolla för funktionen $g(x)=f(x)-x$ . I ringen av heltal modulo $b$ , finns det $2^{\omega (b)}$ nollor till $g(x )=x^{2}-x$ , där primtal omega-funktionen $\omega (b)$ är antalet distinkta primtalsfaktorer i $b$ . Ett element $x$ i $\mathbb {Z} /b\mathbb {Z}$ är en nolla av $g(x)= x^{2}-x$ om och endast om $x\equiv 0{\bmod {p}}^{v_{p}(b)}$ eller $x\equiv 1{\bmod {p}}^{v_{p}(b)}$ för alla $p|b$ . Eftersom det finns två möjliga värden i $\lbrace 0,1\rbrace$ , och det finns $\omega (b)$ sådana $p|b$ , det finns $2^{\omega (b)}$ nollor av $g(x)=x^ {2}-x$ , och därmed finns det $2^{\omega (b)}$ fixpunkter för $f(x)=x^{ 2}$ . Enligt Hensels lemma , om det finns $k$ nollor eller fixpunkter för en polynomfunktion modulo $b$ , så finns det $k$ motsvarande nollor eller fixpunkter för samma funktion modulo någon potensen av $b$ , och detta förblir sant i den omvända gränsen . Sålunda, i varje given bas $b$ finns det $2^{\omega (b)}$ $b$ -adiska fixpunkter för $f(x)=x^{2}$ .

Eftersom 0 alltid är en nolldelare är 0 och 1 alltid fixpunkter för ${\displaystyle f(x)=x^{2}} ,$ och 0 och 1 är automorfa tal i varje bas. Dessa lösningar kallas triviala automorfa tal . Om $b$ är en primpotens , så har ringen av $b$ -adic-tal inga nolldelare förutom 0, så de enda fixpunkterna för $f (x)=x^{2}$ är 0 och 1. Som ett resultat existerar icke-triviala automorfa tal , de andra än 0 och 1, endast när basen $b$ har minst två distinkta primtalsfaktorer.

Automorfa tal i bas b

Alla $b$ -adic-tal representeras i bas $b$ , med hjälp av A−Z för att representera siffervärdena 10 till 35.

$b$	Primfaktorer för $b$	Fasta punkter i $\mathbb {Z} /b\mathbb {Z}$ av $f(x)=x^{2}$	$b$ -adiska fixpunkter för $f(x)=x^{2}$	Automorfa tal i bas $b$
6	2, 3	0, 1, 3, 4	$\ldots 0000000000$ $\ldots 0000000001$ $\ldots 2221350213$ $\ldots 3334205344$	0, 1, 3, 4, 13, 44, 213, 344, 5344, 50213, 205344, 350213, 1350213, 4205344, 21350213, 34205344, 3420534 130 21350213, 3334205344, ...
10	2, 5	0, 1, 5, 6	$\ldots 0000000000$ $\ldots 0000000001$ $\ldots 8212890625$ $\ldots 1787109376$	0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376. 87109376, 8212890625, ...
12	2, 3	0, 1, 4, 9	$\ldots 0000000000$ $\ldots 0000000001$ $\ldots 21{\text{B}}61{\text{B}}3854$ $\ldots 9{\text{A}}05{\text{A}}08369$	0, 1, 4, 9, 54, 69, 369, 854, 3854, 8369, B3854, 1B3854, A08369, 5A08369, 61B3854, B61B3854, 1B61B3854, 8B61B, A511B, 8B61B, 8B611B, 8B4369A, 8B4369A, 8B611B , 9A05A08369, ...
14	2, 7	0, 1, 7, 8	$\ldots 0000000000$ $\ldots 0000000001$ $\ldots 7337{\text{A}}{\text{A}}0{\text{C}}37$ $\ldots 6{\text{A}}{\text{A}}633{\text{D}}1{\text{A}}8$	0, 1, 7, 8, 37, A8, 1A8, C37, D1A8, 3D1A8, A0C37, 33D1A8, AA0C37, 633D1A8, 7AA0C37, 37AA0C37, A633D37AA3, 633D1A3C, 633D1A3C, 633D1A3C D1A8, 7337AA0C37, ...
15	3, 5	0, 1, 6, 10	$\ldots 0000000000$ $\ldots 0000000001$ $\ldots 624{\text{D}}4{\text{B}}{\text{D}}{\text{A}}86$ $\ldots 8{\text{C}}{\text{A}}1{\text{A}}3146{\text{A}}$	0, 1, 6, A, 6A, 86, 46A, A86, 146A, DA86, 3146A, BDA86, 4BDA86, A3146A, 1A3146A, D4BDA86, 4D4BDA86, A1A3144A, 6146A, 6146A, 6146A, 6146A, 6146A, 4BDA86, 8CA1A3146A, ...
18	2, 3	0, 1, 9, 10	...000000 ...000001 ...4E1249 ...D3GFDA
20	2, 5	0, 1, 5, 16	...000000 ...000001 ...1AB6B5 ...I98D8G
21	3, 7	0, 1, 7, 15	...000000 ...000001 ...86H7G7 ...CE3D4F
22	2, 11	0, 1, 11, 12	...000000 ...000001 ...8D185B ...D8KDGC
24	2, 3	0, 1, 9, 16	...000000 ...000001 ...E4D0L9 ...9JAN2G
26	2, 13	0, 1, 13, 14	...0000 ...0001 ...1G6D ...O9JE
28	2, 7	0, 1, 8, 21	...0000 ...0001 ...AAQ8 ...HH1L
30	2, 3, 5	0, 1, 6, 10, 15, 16, 21, 25	...0000 ...0001 ...B2J6 ...H13A ...1Q7F ...S3MG ...CSQL ...IRAP
33	3, 11	0, 1, 12, 22	...0000 ...0001 ...1KPM ...VC7C
34	2, 17	0, 1, 17, 18	...0000 ...0001 ...248H ...VTPI
35	5, 7	0, 1, 15, 21	...0000 ...0001 ...5MXL ...TC1F
36	2, 3	0, 1, 9, 28	...0000 ...0001 ...DN29 ...MCXS

Tillägg

Automorfa tal kan utökas till vilken polynomfunktion som helst av grad $n$ ${\textstyle f(x)=\summa _{i=0}^{n }a_{i}x^{i}}$ med b-adiska koefficienter $a_{i}$ . Dessa generaliserade automorfa siffror bildar ett träd .

a -automorfa tal

Ett $a$ - automorft tal uppstår när polynomfunktionen är $f(x)=ax^{2}$

Till exempel, med $b=10$ och $a=2$ , eftersom det finns två fixpunkter för $f(x)=2x ^{2}$ i $\mathbb {Z} /10\mathbb {Z}$ ( $x=0$ och $x=8$ ), enligt till Hensels lemma finns det två 10-adiska fixpunkter för $f(x)=2x^{2}$ ,

\ldots 0000000000

\ldots 0893554688

så de 2-automorfa talen i bas 10 är 0, 8, 88, 688, 4688...

Trimorfa tal

Ett trimorft tal eller sfäriskt tal uppstår när polynomfunktionen är $f(x)=x^{3}$ . Alla automorfa tal är trimorfa. Termerna cirkulär och sfärisk användes tidigare för det något annorlunda fallet med ett tal vars potenser alla har samma sista siffra som själva talet.

För bas $b=10$ är de trimorfa talen:

0, 1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249, 251, 375, 376, 499, 501, 624, 625, 5149, 7, 7, 8 999, 1249, 3751, 4375, 4999, 5001, 5625, 6249, 8751, 9375, 9376, 9999, ... (sekvens A033819 i OEIS )

För bas $b=12$ är de trimorfa talen:

0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, B, 15, 47, 53, 54, 5B, 61, 68, 69, 75, A7, B3, BB, 115, 253, 368, 369, 4A7, 5BB, 601, 715, 853, 854, 969, AA7, BBB, 14A7, 2369, 3853, 3854, 4715, 5BBB, 6001, 74A7, 8368, 7569, 9569, ...

Programmeringsexempel

     
    
       0
         0
       0
              
      
       
           0 
                      
                 
               0
                
     

  
  

 
         

      
       def  hensels_lemma  (  polynom_funktion  ,  bas  :  int  ,  potens  :  int  ):  """ Hensels lemma."""  if  power  ==  :  returnera  [  ]  if  power  >  :  roots  =  hensels_lemma  (  polynom_funktion  ,  bas  ,  potens  -  1  )  new_roots  =  [ ]  för  rot  i  rötter  :  för  i  i  intervall  ( ,  bas  )  :  ny_i  =  i  *  bas  **  (  potens  -  1  )  +  rot  ny_ rot  =  polynom_funktion  (  ny_i  )  %  pow  (  bas  ,  potens  )  om  ny_rot  ==  :  nya_rötter  .  append  (  new_i  )  return  new_roots  bas  =  10  siffror  =  10  def  automorphic_polynomial  (  x  ):  return  x  **  2  -  x  för  i  i  intervallet  (  1  ,  siffror  +  1  ):  print  (  hensels_lemma  (  automorphic_polynomial  ,  base  ,  i  ))

Se även

^ Se Gérard Michons artikel på
^ "sfäriskt nummer" . Oxford English Dictionary (Online ed.). Oxford University Press . (Prenumeration eller medlemskap i en deltagande institution krävs.)

exempel på 1-automorfa tal på PlanetMath .

externa länkar

Weisstein, Eric W. "Automorphic number" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Trimorphic Number" . MathWorld .

[1] Se Gérard Michons artikel på

[2] "sfäriskt nummer" . Oxford English Dictionary (Online ed.). Oxford University Press . (Prenumeration eller medlemskap i en deltagande institution krävs.)