Centrerat triangulärt tal

Ett centrerat (eller centrerat ) triangulärt nummer är ett centrerat figurtal som representerar en liksidig triangel med en prick i mitten och alla dess andra prickar som omger mitten i på varandra följande liksidiga triangulära lager.

Följande bild visar byggnaden av de centrerade triangulära talen med hjälp av de tillhörande figurerna: vid varje steg omges den föregående triangeln (visad i rött) av ett triangulärt lager av nya punkter (i blått).

Egenskaper

• ( Gnomon för det : e centrerade triangulära talet, motsvarande det ( n + 1) -:e triangulära lagret, är:

$C_{3,n+1}-C_{3,n}=3(n+1).$

• Det n -te centrerade triangulära talet, motsvarande n lager plus mitten, ges av formeln:

$C_{3,n}=1+3{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {3n^{2}+3n+2}{2}}.$

• Varje centrerat triangulärt tal har en återstod av 1 när det divideras med 3, och kvoten (om positiv) är det tidigare vanliga triangulära talet.

• Varje centrerat triangulärt tal från 10 och framåt är summan av tre på varandra följande regelbundna triangulära tal .

• För n > 2 är summan av de första n centrerade triangulära talen den magiska konstanten för en n gånger n normal magisk kvadrat .

Förhållande med centrerade kvadrattal

De centrerade triangulära talen kan uttryckas i termer av de centrerade kvadrattalen:

$C_{3,n}={\frac {3C_{4,n}+1}{4}},$

var

$C_{4,n}=n^{2}+(n+1)^{2}.$

Listor över centrerade triangulära tal

De första centrerade triangulära talen ( C _{3, n} < 3000) är:

1 , 4 , 10 , 19 , 31 , 46 , 64 , 85 , 109 , 136 , 166 , 199 , 235 , 274 , 316 , 361 , 409 , 460 , 460 , 5 2 , 5 , 6 , 5 , 5 , 6 , 6 , 5 , 6 , 5 , 6 , 6 , 6 , 7 , 9, 901, 976, 1054, 1135, 1219, 1306, 1396, 1489, 1585, 1684, 1786, 1891, 1999, 2110, 2224, 2341. sekvens A005448 i OEIS ) .

De första triangulära och centrerade triangulära talen ( C _{3, n} = T _N < 10 ⁹ ) samtidigt är:

1, 10, 136, 1 891, 26 335, 366 796, 5 108 806, 71 156 485, 991 081 981, … (sekvens A128862 i OEIS ) .

Den genererande funktionen

Den genererande funktionen som ger de centrerade triangulära talen är:

${\frac {x^{2}+x+1}{(1-x)^{3}}}=1+4x+10x^{2}+19x^{3}+31x^{4 }+~...~.$

•   Lancelot Hogben : Mathematics for the Million (1936), återutgiven av WW Norton & Company (september 1993), ISBN 978-0-393-31071-9
• Weisstein, Eric W. "Centered Triangular Number" . MathWorld .