1893 definierade och studerade Giuseppe Lauricella fyra hypergeometriska serier F A F B F C F D Lauricella 1893 ):
F
A
( 3 )
( a ,
b
1
,
b
2
,
b
3
,
c
1
,
c
2
,
c
3
;
x
1
,
x
2
,
x
3
) =
∑
i
1
,
i
2
,
i
3
=
0
∞
( a
)
i
1
+
i
2
+
i
3
(
b
1
)
i
1
(
b
2
)
i
2
(
b
3
)
i
3
(
c
1
)
i
1
(
c
2
)
i
2
(
c
3
)
i
3
i
1
!
jag
2
!
jag
3
!
x
1
i
1
x
2
i
2
x
3
i
3
{\displaystyle F_{A}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c_{1},c_{ 2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\summa _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty } {\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}} (b_{3})_{i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_ {3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2} }x_{3}^{i_{3}}}
för | x 1 | + | x 2 | + | x 3 | < 1 och
F
B
( 3 )
(
a
1
,
a
2
,
a
3
,
b
1
,
b
2
,
b
3
, c ;
x
1
,
x
2
,
x
3
) =
∑
i
1
,
i
2
,
i
3
=
0
∞
(
a
1 )
)
i
1
(
a
2
)
i
2
(
a
3
)
i
3
(
b
1
)
i
1
(
b
2
)
i
2
(
b
3
)
i
3
( c
)
i
1
+
i
2
+
i
3
i
1
!
jag
2
!
jag
3
!
x
1
i
1
x
2
i
2
x
3
i
3
{\displaystyle F_{B}^{(3)}(a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2} ,b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\summa _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty } {\frac {(a_{1})_{i_{1}}(a_{2})_{i_{2}}(a_{3})_{i_{3}}(b_{1})_ {i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_ {3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2} }x_{3}^{i_{3}}}
för | x 1 | < 1, | x 2 | < 1, | x 3 | < 1 och
F
C
( 3 )
( a , b ,
c
1
,
c
2
,
c
3
;
x
1
,
x
2
,
x
3
) =
∑
i
1
,
i
2
,
i
3
=
0
∞
( a
)
i
1
+
i
2
+
i
3
( b
)
i
1
+
i
2
+
i
3
(
c
1
)
i
1
(
c
2
)
i
2
(
c
3
)
i
3
i
1
!
jag
2
!
jag
3
!
x
1
i
1
x
2
i
2
x
3
i
3
{\displaystyle F_{C}^{(3)}(a,b,c_{1},c_{2},c_{3};x_{1}, x_{2},x_{3})=\summa _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1} +i_{2}+i_{3}}(b)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2 })_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1 }^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}
för | x 1 | ½ + | x 2 | ½ + | x 3 | ½ < 1 och
F
D
( 3 )
( a ,
b
1
,
b
2
,
b
3
, c ;
x
1
,
x
2
,
x
3
) =
∑
i
1
,
i
2
,
i
3
=
0
∞
( a
)
i
1
+
i
2
+
i
3
(
b
1
)
i
1
(
b
2
)
i
2
(
b
3
)
i
3
( c
)
i
1
+
i
2
+
i
3
i
1
!
jag
2
!
jag
3
!
x
1
i
1
x
2
i
2
x
3
i
3
{\displaystyle F_{D}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1}, x_{2},x_{3})=\summa _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1} +i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}} }{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1 }^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}}
för | x 1 | < 1, | x 2 | < 1, | x 3 | < 1. Här indikerar Pochhammer-symbolen ( q ) i den i -te stigande faktorn av q , dvs.
( q
)
i
= q ( q + 1 ) ⋯ ( q + i − 1 ) =
Γ ( q + i )
Γ ( q )
,
{\displaystyle (q)_{i}=q\,(q+1) \cdots (q+i-1)={\frac {\Gamma (q+i)}{\Gamma (q)}}~,}
där den andra likheten är sann för alla komplexa
q
{\displaystyle q}
0
q = , − 1 , − 2 , …
{\displaystyle q=0,-1,-2,\ldots }
Dessa funktioner kan utökas till andra värden av variablerna x 1 , x 2 , x 3 med hjälp av analytisk fortsättning .
Lauricella indikerade också förekomsten av tio andra hypergeometriska funktioner av tre variabler. Dessa fick namnet F E F F F T Saran 1954 ). Det finns därför totalt 14 Lauricella–Saran hypergeometriska funktioner.
Generalisering till n variabler
Dessa funktioner kan enkelt utökas till n variabler. Man skriver till exempel
F
A
( n )
( a ,
b
1
, … ,
b
n
,
c
1
, … ,
c
n
;
x
1
, … ,
x
n
) =
∑
i
1
, … ,
i
n
=
0
∞
( a
)
i
1
+ ⋯ +
i
n
(
b
1
)
i
1
⋯ (
b
n
)
i
n
(
c
1
)
i
1
⋯ (
c
n
)
i
n
i
1
! ⋯
i
n
!
x
1
i
1
⋯
x
n
i
n
,
{\displaystyle F_{A}^{(n)}(a,b_{1},\ldots,b_{n},c_{1},\ldots,c_{n };x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_ {1}+\cdots +i_{n}}(b_{1})_{i_{1}}\cdots (b_{n})_{i_{n}}}{(c_{1})_{ i_{1}}\cdots (c_{n})_{i_{n}}\,i_{1}!\cdots \,i_{n}!}}\,x_{1}^{i_{1} }\cdots x_{n}^{i_{n}}~,}
där | x 1 | + ... + | x n
När n = 2, motsvarar Lauricella-funktionerna Appells hypergeometriska serie av två variabler:
F2
FA
( 2 )
≡ ,
F
F3
1
B
( 2 )
≡ ,
F
C
(
.
)
)
2
≡
F4
≡
,
F
D
( 2
_
F
_
_ _
{\displaystyle F_{A}^{(2)}\equiv F_{2},\quad F_{B}^{(2)}\equiv F_{3},\quad F_{C}^{(2) }\equiv F_{4},\quad F_{D}^{(2)}\equiv F_{1}.}
När n = 1 reduceras alla fyra funktionerna till Gauss hypergeometriska funktion :
F
A
( 1 )
( a , b , c ; x ) ≡
F
B
( 1 )
( a , b , c ; x ) ≡
F
C
( 1 )
( a , b , c ; x ) ≡
F
D
( 1 )
( a , b , c ; x ) ≡
2
F1
x
( a , b ; c ; ) . _
{\displaystyle F_{A}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{B}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{C}^ {(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{D}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv {_{2}}F_{1}(a, b;c;x).}
Integral representation av F D
I analogi med Appells funktion F 1 kan Lauricellas F D Euler - typintegral för valfritt antal n av variabler:
0
F
D
( n )
( a ,
b
1
, … ,
b
n
, c ;
x
1
, … ,
x
n
) =
Γ ( c )
Γ ( a ) Γ ( c − a )
0
∫
1
t
a − 1
( 1 − t
)
c − a − 1
( 1 −
x
1
t
)
−
b
1
⋯ ( 1 −
x
n
t
)
−
b
n
d
t , Re c > Re a > .
{\displaystyle F_{D}^{(n)}(a,b_{1},\ldots ,b_{n},c;x_{1},\ldots,x_{n})={\frac {\ Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (ca)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{ca-1}(1-x_ {1}t)^{-b_{1}}\cdots (1-x_{n}t)^{-b_{n}}\,\mathrm {d} t,\qquad \operatörsnamn {Re} c> \operatörsnamn {Re} a>0~.}
Denna representation kan enkelt verifieras med hjälp av Taylor-expansion av integranden, följt av termisk integration. Representationen antyder att den ofullständiga elliptiska integralen Π är ett specialfall av Lauricellas funktion F D
Π ( n , ϕ , k ) =
0
∫
ϕ
d
θ
( 1 − n
sin
2
θ )
1 −
k
2
sin
2
θ
= sin ( ϕ )
F
D
( 3 )
(
1 2
, 1 ,
1 )
_
1 2
,
3 2
; n
sin
2
ϕ ,
sin
2
ϕ ,
k
2
sin
2
ϕ ) ,
|
Re ϕ
|
<
π 2
.
{\displaystyle \Pi (n,\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}=\sin(\phi )\,F_{D}^{(3)}({\tfrac {1} {2}},1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}};n\sin ^{2}\phi , \sin ^{2}\phi ,k^{2}\sin ^{2}\phi ),\qquad |\operatörsnamn {Re} \phi |<{\frac {\pi }{2}}~.}
Finita summalösningar av F D
Fall 1 :
a > c
{\displaystyle a>c}
a − c
{\displaystyle ac}
Man kan relatera F D Carlson R -funktionen
R
n
{\displaystyle R_{n}}
F
D
( a ,
b ¯
, c ,
z ¯
) =
Ra
)
− c
(
b
∗
¯
,
z
∗
¯
) ⋅
∏
i
(
z
i
∗
a
b
i
∗
=
Γ (
− c + 1 ) Γ ( b
_
∗
)
Γ ( a − c +
b
∗
)
⋅
D
a − c
(
b
∗
¯
,
z
∗
¯
) ⋅
∏
i
(
z
i
∗
)
b
i
∗
{\displaystyle F_{D}(a,{\overline { b}},c,{\overline {z}})=R_{ac}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})\cdot \prod _{ i}(z_{i}^{*})^{b_{i}^{*}}={\frac {\Gamma (a-c+1)\Gamma (b^{*})}{\Gamma (a-c+b^{*})}}\cdot D_{ac}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})\cdot \prod _{ i}(z_{i}^{*})^{b_{i}^{*}}}
med den iterativa summan
D
n
(
b
∗
¯
,
z
∗
¯
) =
1 n
∑
k = 1
n
(
∑
i = 1
N
b
i
∗
⋅ (
z
i
∗
)
k
)
⋅
D
k − i
{\displaystyle D_{n}({ \overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})={\frac {1}{n}}\summa _{k=1}^{n}\left(\ summa _{i=1}^{N}b_{i}^{*}\cdot (z_{i}^{*})^{k}\right)\cdot D_{ki}}
D
0
= 1
{ \displaystyle D_{0}=1}
där det kan utnyttjas att Carlson R-funktionen med
n >
0
{\displaystyle n>0}
Vektorerna definieras som
b
∗
¯
= [
b ¯
, c −
∑
i
b
i
]
{\displaystyle {\overline {b^{*}}}=[{\overline {b}},c-\sum _{i}b_{i }]}
z
∗
¯
= [
1
1 −
z
1
, … ,
1
1 −
z
N − 1
, 1 ]
{\displaystyle {\overline {z^{*}}}=[{\frac {1}{1-z_{ 1}}},\ldots ,{\frac {1}{1-z_{N-1}}},1]}
där längden på
z ¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
b ¯
{\displaystyle {\overline {b}}}
N − 1
{\displaystyle N-1}
z
∗
¯
{ \displaystyle {\overline {z^{*}}}}
b
∗
¯
{\displaystyle {\overline {b^{*}}}}
N
{\displaystyle N}
Fall 2:
c > a
{\displaystyle c>a}
c − a
{\displaystyle ca}
I det här fallet finns det också en känd analytisk form, men den är ganska komplicerad att skriva ner och innefattar flera steg. Se för mer information.
Appell, Paul ; Kampé de Fériet, Joseph (1926). Funktioner hypergéométriques et hypersphériques; Polynômes d'Hermite (på franska). Paris: Gauthier–Villars. JFM 52.0361.13 . (se sid. 114)
Exton, Harold (1976). Flera hypergeometriska funktioner och applikationer . Matematik och dess tillämpningar. Chichester, Storbritannien: Halsted Press, Ellis Horwood Ltd. ISBN 0-470-15190-0 MR 0422713 .
Lauricella, Giuseppe (1893). "Sulle funzioni ipergeometriche a più variabili". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 7 (S1): 111–158. doi : 10.1007/BF03012437 . JFM 25.0756.01 . S2CID 122316343 .
Saran, Shanti (1954). "Hypergeometriska funktioner för tre variabler". Ganita . 5 (1): 77–91. ISSN 0046-5402 . MR 0087777 . Zbl 0058.29602 . (rättelse 1956 i Ganita 7 , s. 65)
Slater, Lucy Joan (1966). Generaliserade hypergeometriska funktioner ISBN 0-521-06483-X MR 0201688 . (det finns en pocketbok från 2008 med ISBN 978-0-521-09061-2 )
Srivastava, Hari M.; Karlsson, Per W. (1985). Multipel Gaussisk hypergeometrisk serie . Matematik och dess tillämpningar. Chichester, Storbritannien: Halsted Press, Ellis Horwood Ltd. ISBN 0-470-20100-2 MR 0834385 . (det finns en annan utgåva med ISBN 0-85312-602-X )
![{\displaystyle {\overline {b^{*}}}=[{\overline {b}},c-\sum _{i}b_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80751fea2d6b7fc97fa4d37bc1ceffc8aa0d8cbe)
![{\displaystyle {\overline {z^{*}}}=[{\frac {1}{1-z_{1}}},\ldots ,{\frac {1}{1-z_{N-1}}},1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70acaa1030bfec1c2f47d68025a9ae24dae8cf8b)
