Figurant nummer

Termen figurantal används av olika skribenter för medlemmar av olika uppsättningar av tal, generaliserande från triangulära tal till olika former (polygonala tal) och olika dimensioner (polyedriska tal). Termen kan betyda

polygonalt tal
ett tal representerat som ett diskret $r$ -dimensionellt regelbundet geometriskt mönster av $r$ -dimensionella kulor såsom ett polygonalt tal (för $r = 2$ ) eller ett polyedriskt tal (för $r = 3$ ).
en medlem av delmängden av uppsättningarna ovan som endast innehåller triangulära tal, pyramidal tal och deras analoger i andra dimensioner.

Terminologi

Vissa typer av figurantal diskuterades på 1500- och 1600-talen under namnet "figurtal".

I historiska verk om grekisk matematik den föredragna termen brukade vara figurnummer .

I en användning som går tillbaka till Jacob Bernoullis Ars Conjectandi , används termen figurantal för triangulära tal som består av på varandra följande heltal , tetraedriska tal som består av på varandra följande triangulära tal, etc. Dessa visar sig vara de binomiala koefficienterna . I den här användningen kvadrattalen (4, 9, 16, 25, ...) inte betraktas som figuranta tal när de ses som arrangerade i en kvadrat.

Ett antal andra källor använder termen figurantal som synonymt för polygontalen , antingen bara den vanliga typen eller både dessa och de centrerade polygontalen .

Historia

Den matematiska studien av figurantal sägs ha sitt ursprung i Pythagoras , möjligen baserat på babyloniska eller egyptiska föregångare. Att generera vilken klass av figurtal som pythagoranerna studerade med hjälp av gnomoner tillskrivs också Pythagoras. Tyvärr finns det ingen pålitlig källa för dessa påståenden, eftersom alla bevarade skrifter om pytagoreerna är från århundraden senare. Speusippus är den tidigaste källan som avslöjar uppfattningen att tio, som det fjärde triangulära numret, i själva verket var tetractys, som antas vara av stor betydelse för pytagoreanism . Figurantal var ett bekymmer för den pythagoras världsbild. Det var väl förstått att vissa tal kunde ha många figurer, t.ex. 36 är både en kvadrat och en triangel och även olika rektanglar.

Den moderna studien av figurantal går tillbaka till Pierre de Fermat , närmare bestämt Fermats polygonala talsats . Senare blev det ett viktigt ämne för Euler , som gav en explicit formel för alla triangulära tal som också är perfekta kvadrater, bland många andra upptäckter som rör figurantal.

Figurantal har spelat en betydande roll i modern rekreationsmatematik. Inom forskningsmatematik studeras figurantal med hjälp av Ehrhart-polynomen , polynom som räknar antalet heltalspunkter i en polygon eller polyeder när den expanderas med en given faktor.

Triangulära tal och deras analoger i högre dimensioner

De triangulära talen för $n = 1, 2, 3, ...$ är resultatet av sammanställningen av de linjära talen (linjära gnomoner) för $n = 1, 2, 3, ...$ :

Dessa är binomialkoefficienterna $\textstyle {\binom {n+1}{2}}$ . Detta är fallet $r = 2$ av det faktum att den $r:$ te diagonalen i Pascals triangel för $r \geq 0$ består av figurtalen för de $r$ -dimensionella analogerna av trianglar ( $r$ -dimensionella förenklingar ).

De enkla polytopiska talen för $r = 1, 2, 3, 4, ...$ är:

$P_{1}(n)={\frac {n}{1}}={\binom {n+0}{ 1}}={\binom {n}{1}}$ (linjära tal),
$P_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2}}={\binom {n+1}{2}}$ ( triangulära tal ),
$P_{3}(n)={\frac {n(n+1)(n+2 )}{6}}={\binom {n+2}{3}}$ ( tetraedriska tal ),
$P_{4}(n)={\frac {n(n+1 )(n+2)(n+3)}{24}}={\binom {n+3}{4}}$ (pentakoriska tal, pentatopiska tal , 4-simplexa tal),

$\qquad \vdots$

$P_{r}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)\cdots (n+r-1)}{r! }}={\binom {n+(r-1)}{r}}$ ( $r$ -ämnesnummer, $r$ - simplextal ).

Termerna kvadratnummer och kubiktal härrör från deras geometriska representation som en kvadrat eller kub . Skillnaden mellan två positiva triangulära tal är ett trapetsformat tal .

Gnomon

Gnomonen är den bit som läggs till ett figurat nummer för att omvandla det till nästa större.

Till exempel är kvadrattalets gnomon det udda talet , av den allmänna formen $2 n + 1$ , $n = 0, 1, 2, 3, ...$ . Kvadraten i storlek 8 som består av gnomoner ser ut så här:

8 8 8 8 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 8 7 6 6 6 6 6 6 8 7 6 5 5 5 5 5 5 8 7 6 5 4 4 4 4 8 7 6 5 4 3 3 3 6 5 4 3 2 2 8 7 6 5 4 3 2 1

För att transformera från $n$ -kvadraten (kvadraten med storlek $n$ ) till $(n + 1)$ -kvadraten, gränsar en till $2 n + 1$ element: en till slutet av varje rad ( $n$ element), en till slutet av varje kolumn ( $n$ element) och en enda till hörnet. Till exempel, när vi transformerar 7-kvadraten till 8-kvadraten, lägger vi till 15 element; dessa tillägg är 8:orna i figuren ovan.

Denna gnomoniska teknik ger också ett matematiskt bevis på att summan av de första $n$ udda talen är $n 2$ ; figuren visar 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8 ² .

Anteckningar

Gazalé, Midhat J. (1999), "Gnomon: From Pharaohs to Fractals", European Journal of Physics , Princeton University Press , 20 (6): 523, Bibcode : 1999EJPh...20..523G , doi : 10.1088/0143 -0807/20/6/501 , ISBN 978-0-691-00514-0
Deza, Elena ; Deza, Michel Marie (2012), Figurate Numbers, första upplagan , World Scientific , ISBN 978-981-4355-48-3
Heath, Thomas Little (2000), A history of Greek Mathematics: Volume 1. From Thales to Euclid , Adamant Media Corporation, ISBN 978-0-543-97448-8
Heath, Thomas Little (2000), A history of Greek Mathematics: Volume 2. From Aristarchus to Diophantus , Adamant Media Corporation, ISBN 978-0-543-96877-7
Dickson, Leonard Eugene (1923), History of theory of Numbers , Chelsea Publishing Co, ASIN B000OKO3TK
Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C., A History of Mathematics (andra upplagan)