Ramanujan–Nagell ekvation

Inom matematiken , inom talteorin , är Ramanujan –Nagell-ekvationen en ekvation mellan ett kvadrattal och ett tal som är sju mindre än en potens av två . Det är ett exempel på en exponentiell diofantisk ekvation , en ekvation som ska lösas i heltal där en av variablerna visas som en exponent .

Ekvationen är uppkallad efter Srinivasa Ramanujan , som antog att den bara har fem heltalslösningar, och efter Trygve Nagell , som bevisade gissningen. Det innebär att det inte finns perfekta binära koder med minsta Hamming-avstånd 5 eller 6.

Ekvation och lösning

Ekvationen är

2^{n}-7=x^{2}\,

och lösningar i naturliga tal n och x existerar precis när n = 3, 4, 5, 7 och 15 (sekvens A060728 i OEIS ).

Detta antogs 1913 av den indiske matematikern Srinivasa Ramanujan , föreslog självständigt 1943 av den norske matematikern Wilhelm Ljunggren , och bevisades 1948 av den norske matematikern Trygve Nagell . Värdena på n motsvarar värdena på x som:-

x = 1, 3, 5, 11 och 181 (sekvens A038198 i OEIS ).

Triangulära Mersenne-nummer

Problemet med att hitta alla tal av formen 2 ^b − 1 ( Mersenne-tal ) som är triangulära är ekvivalenta:

{\begin{aligned}&\ 2^{b}-1={\frac {y(y+ 1)}{2}}\\[2pt]\Longleftrightarrow &\ 8(2^{b}-1)=4y(y+1)\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-8=4y ^{2}+4y\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-7=4y^{2}+4y+1\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-7=(2y+ 1)^{2}\end{aligned}}

Värdena på b är bara de för n − 3, och motsvarande triangulära Mersenne-tal (även kända som Ramanujan-Nagell-tal) är:

{\frac {y(y+1)}{2}}={\frac {(x-1)(x+ 1)}{8}}

för x = 1, 3, 5, 11 och 181, vilket ger 0, 1, 3, 15, 4095 och inte mer (sekvens A076046 i OEIS ).

Ekvationer av typen Ramanujan–Nagell

En formekvation

x^{2}+D=AB^{n}

för fast D , A , B och variabel x sägs n vara av typen Ramanujan–Nagell . Resultatet av Siegel innebär att antalet lösningar i varje fall är ändligt. Genom att representera $n=3m+r$ med $r\in \{0,1,2\}$ och $B^{n}=B^{r}y^{3}$ med $y=B^{m}$ reduceras ekvationen för Ramanujan–Nagell-typen till tre Mordell-kurvor (indexeras av $r$ ), som var och en har ett ändligt antal heltalslösningar:

r=0:\qquad (Ax)^{2}=(Ay)^{3}-A^{2}D

,

r=1:\qquad (ABx)^{2}=(ABy)^{3}-A ^{2}B^{2}D

,

r=2:\qquad (AB^{ 2}x)^{2}=(AB^{2}y)^{3}-A^{2}B^{4}D

.

Ekvationen med $A=1,\ B=2$ har högst två lösningar, förutom i fallet $D=7$ som motsvarar Ramanujan–Nagell-ekvationen. Det finns oändligt många värden på D för vilka det finns två lösningar, inklusive $D=2^{m}-1$ .

Ekvationer av typen Lebesgue–Nagell

En formekvation

x^{2}+D=Ay^{n}

för fast D , A och variabel x , y , n sägs vara av Lebesgue–Nagell-typ . Detta är uppkallat efter Victor-Amédée Lebesgue , som bevisade att ekvationen

x^{2}+1=y^{n}

har inga icke-triviala lösningar.

Resultaten av Shorey och Tijdeman antyder att antalet lösningar i varje fall är ändligt. Bugeaud, Mignotte och Siksek löste ekvationer av denna typ med A = 1 och 1 ≤ D ≤ 100. I synnerhet följande generalisering av Ramanujan-Nagell-ekvationen:

y^{n}-7=x^{2}\,

har positiva heltalslösningar endast när x = 1, 3, 5, 11 eller 181.

Se även

Anteckningar

Bugeaud, Y.; Mignotte, M.; Siksek, S. (2006). "Klassiska och modulära tillvägagångssätt till exponentiella diofantiska ekvationer II. Lebesgue-Nagell ekvationen". Compositio Mathematica . 142 : 31–62. arXiv : math/0405220 . doi : 10.1112/S0010437X05001739 . S2CID 18534268 .
Lebesgue (1850). "Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x ^m = y ² + 1" . Nouv. Ann. Matematik . Serie 1. 9 : 178–181.
Ljunggren, W. (1943). "Oppgave nr 2". Norsk Mat. Tidsskr . 25:29 .
Nagell, T. (1948). "Lösning till uppgift nr 2". Norsk Mat. Tidsskr . 30 : 62–64.
Nagell, T. (1961). "Den diofantiska ekvationen x ² + 7 = 2 ⁿ " . Ark Mat . 30 (2–3): 185–187. Bibcode : 1961ArM.....4..185N . doi : 10.1007/BF02592006 .
Ramanujan, S. (1913). "Fråga 464". J. Indian Math. Soc . 5 :130.
Saradha, N.; Srinivasan, Anitha (2008). "Generaliserade Lebesgue-Ramanujan-Nagell-ekvationer". I Saradha, N. (red.). Diofantiska ekvationer . Narosa. s. 207–223. ISBN 978-81-7319-898-4 .
Shorey, TN; Tijdeman, R. (1986). Exponentiella diofantiska ekvationer . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 87. Cambridge University Press . s. 137–138. ISBN 0-521-26826-5 . Zbl 0606.10011 .
Siegel, CL (1929). "Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen". Abh. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Matematik. Kl . 1 :41–69.

externa länkar

"Värden på X som motsvarar N i Ramanujan-Nagell Ekvationen" . Wolfram MathWorld . Hämtad 2012-05-08 .
Kan N ² + N + 2 vara en effekt av 2? , Matematikforum diskussion