Meertens nummer

I talteori och matematisk logik är ett Meertens-tal i en given talbas $b$ ett naturligt tal som är dess eget Gödel-tal . Den uppkallades efter Lambert Meertens av Richard S. Bird som present under firandet av hans 25 år vid CWI , Amsterdam .

Definition

Låt $n$ vara ett naturligt tal. Vi definierar Meertens-funktionen för bas $b>1$ $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ till att vara följande:

F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}p_{ki-1}^{d_{i}}.

där $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ är antalet siffror i talet i bas $b$ , $p_{i}$ är $i$ - primtal , och

d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b} }^{i}}{b^{i}}}

är värdet av varje siffra i numret. Ett naturligt tal $n$ är ett Meertens-tal om det är en fast punkt för ${\displaystyle F_{b}} ,$ vilket inträffar om $F_{b}(n )=n$ . Detta motsvarar en Gödel-kodning .

Till exempel är talet 3020 i basen $b=4$ ett Meertens-tal, eftersom

3020=2^{3}3^{0}5^{2}7^{0}

.

Ett naturligt tal $n$ är ett sällskapligt Meertens-tal om det är en periodisk punkt för $F_{b}$ , där $F_{b}^{ k}(n)=n$ för ett positivt heltal $k$ , och bildar en cykel av period $k$ . Ett Meertens-nummer är ett sällskapligt Meertens-tal med $k=1$ , och ett vänskapligt Meertens-tal är ett sällskapligt Meertens-tal med $k=2$ .

Antalet iterationer $i$ som behövs för att $F_{b}^{i}(n)$ ska nå en fast punkt är Meertens-funktionens beständighet av $n$ , och odefinierad om den aldrig når en fast punkt.

Meertens siffror och cykler av $F_{b}$ för specifika $b$

Alla tal är i bas $b$ .

$b$	Meertens nummer	Cyklar	Kommentarer
2	10, 110, 1010		$n<2^{96}$
3	101	11 → 20 → 11	$n<3^{60}$
4	3020	2 → 10 → 2	$n<4^{48}$
5	11, 3032000, 21302000		$n<5^{41}$
6	130	12 → 30 → 12	$n<6^{37}$
7	202		$n<7^{34}$
8	330		$n<8^{32}$
9	7810000		$n<9^{30}$
10	81312000		$n<10^{29}$
11	$\varnothing$		${\displaystyle n<11^{44}}$
12	$\varnothing$		$n<12^{40}$
13	$\varnothing$		$n<13^{39}$
14	13310		$n<14^{25}$
15	$\varnothing$		$n<15^{37}$
16	12	2 → 4 → 10 → 2	$n<16^{24}$