Inducerad homomorfism

Inom matematik , särskilt i algebraisk topologi , är en inducerad homomorfism en homomorfism som härleds på ett kanoniskt sätt från en annan karta. Till exempel, en kontinuerlig karta från ett topologiskt utrymme X till ett topologiskt utrymme Y inducerar en grupphomomorfism från den fundamentala gruppen av X till den fundamentala gruppen av Y .

Mer allmänt, i kategoriteorin , tillhandahåller varje funktion per definition en inducerad morfism i målkategorin för varje morfism i källkategorin. Till exempel fundamentala grupper , grupper med högre homotopi , singular homologi och De Rham kohomologi algebraiska strukturer som är funktionella , vilket betyder att deras definition ger en funktion från (t.ex.) kategorin topologiska utrymmen till (t.ex.) kategorin av grupper eller ringar . Detta innebär att varje utrymme är associerat med en algebraisk struktur, medan varje kontinuerlig karta mellan utrymmen är associerad med en strukturbevarande karta mellan strukturer, kallad inducerad homomorfism. En homomorfism inducerad från en karta $h$ betecknas ofta $h_{*}$ .

Inducerade homomorfismer ärver ofta egenskaperna hos kartorna de kommer ifrån; till exempel, två kartor som är inversa till varandra upp till homotopi inducerar homomorfismer som är inversa till varandra. En vanlig användning av inducerade homomorfismer är följande: genom att visa att en homomorfism med vissa egenskaper inte kan existera, drar man slutsatsen att det inte kan existera en kontinuerlig karta med egenskaper som skulle inducera den. Tack vare detta kan relationer mellan rum och kontinuerliga kartor, ofta mycket intrikat, härledas från relationer mellan de homomorfismer som de framkallar. De senare kan vara enklare att analysera, eftersom de involverar algebraiska strukturer som ofta enkelt kan beskrivas, jämföras och beräknas i.

I grundläggande grupper

Se även: Grundläggande grupp § Funktionalitet

_{00 0} Låt X och Y vara topologiska rum med punkterna x i X och y i Y . Låt h : X→Y vara en kontinuerlig avbildning så att ₀ h ( x ) = y ₀ . Sedan kan vi ₀ π ₁ ( X , x ) ) definiera en avbildning $h_{*}$ från grundgruppen ₀ π ₁ ( X , x ) till grundgruppen ₀ π ₁ ( Y , y ) enligt följande: vilket element som helst av , representerad av en slinga f i X baserat på x , mappas till slingan i ₀ π ₁ ( Y , y ) som erhålls genom att komponera med h :

$h_{*}([f]):=[h\circ f]$

Här betecknar [ f ] ekvivalensklassen för f under homotopi, som i definitionen av den fundamentala gruppen. Det är lätt att kontrollera från definitionerna att $h_{*}$ är en väldefinierad funktion ₀ π ₁ ( X , x ) → ₀ π ₁ ( Y , y ) : loopar i samma ekvivalensklass, dvs homotopa loopar i X , mappas till homotopiska loopar i Y , eftersom en homotopi också kan sammansättas med h . Det följer också av definitionen av gruppoperationen i fundamentala grupper (nämligen genom sammanlänkning av loopar) att $h_{*}$ är en grupphomomorfism:

$h_{*}([f+g])=h_{*}([f])+ h_{*}([g])$

(där + betecknar sammanlänkning av slingor, med det första + i X och det andra + i Y ). Den resulterande homomorfismen $h_{*}$ är homomorfismen inducerad från h .

Det kan också betecknas som π ( h ). Faktum är att π ger en funktion från kategorin spetsiga utrymmen till kategorin grupper: den associerar den fundamentala gruppen ₀ π ₁ ( X , x ) till varje spetsig utrymme ₀ ( X , x ) och den associerar den inducerade homomorfismen $\pi (h)=h_{*}$ till varje baspunkt som bevarar kontinuerlig karta h : ₀ ( X , x ) → ₀ ( Y , y ) . För att bevisa att den uppfyller definitionen av en funktor måste man ytterligare kontrollera att den är kompatibel med kompositionen: för baspunktsbevarande ₀ ( Y , y ) av kontinuerliga kartor h : ₀ ( X , x ) → och k : ₀ ( Y , y ) → ₀ ( Z , z ) , vi har:

$\pi (k\circ h)=\pi (k)\circ \pi (h).$

Detta innebär att om h inte bara är en kontinuerlig karta utan i själva verket en homeomorfism mellan X och Y , så är den inducerade homomorfismen $\pi (h)$ en isomorfism mellan fundamentala grupper (eftersom homomorfismen inducerad av inversen av h är inversen av $\pi (h)$ , enligt ovanstående ekvation). (Se avsnitt III.5.4, s. 201, i H. Schubert.)

Ansökningar

1. Torus är inte homeomorf till R ² eftersom deras fundamentala grupper inte är isomorfa (eftersom deras fundamentala grupper inte har samma kardinalitet ). Mer generellt kan ett enkelt anslutet utrymme inte vara homeomorft till ett icke-enkelt anslutet utrymme; den ena har en trivial grundgrupp och den andra inte.

Cirkelns fundamentala grupp är isomorf till gruppen heltal . Därför har enpunktskomprimeringen av R en fundamental grupp som är isomorf till gruppen av heltal ( eftersom enpunktskomprimeringen av R är homeomorf till cirkeln). Detta visar också att enpunktskomprimeringen av ett enkelt anslutet utrymme inte bara behöver kopplas ihop.

3. Motsatsen till satsen behöver inte hålla. ^Till exempel har R2 och R3 isomorfa fundamentala grupper men är fortfarande inte homeomorfa ^. Deras grundläggande grupper är isomorfa eftersom varje rum helt enkelt är sammankopplat. De två utrymmena kan dock inte vara homeomorfa eftersom radering av en punkt från R ² lämnar ett icke-enkelt sammankopplat utrymme, men att ta bort en punkt från R ³ lämnar ett enkelt anslutet utrymme (om vi tar bort en linje som ligger i R ³ , skulle utrymmet Detta generaliserar i själva verket till Rn , varvid borttagning av ett ( n − 2) - dimensionellt delrum från R ^{n lämnar} ett icke-enkelt sammankopplat utrymme).

4. Om A är en kraftig deformationsretur av ett topologiskt utrymme X , inducerar inklusionskartan från A till X en isomorfism mellan fundamentala grupper (så att den fundamentala gruppen av X kan beskrivas med enbart slingor i underrummet A ) .

Andra exempel

Likaså finns det inducerade homomorfismer av högre homotopigrupper och homologigrupper . Varje homologiteori kommer med inducerade homomorfismer. Till exempel enkel homologi , singular homologi och Borel-Moore homologi alla inducerade homomorfismer (IV.1.3, s. 240–241) På liknande sätt kommer all kohomologi inducerade homomorfismer, fast i motsatt riktning (från en grupp som är associerad med Y till en grupp associerad med X ). Till exempel Čech cohomology , de Rham cohomology och singular cohomology alla inducerat homomorfismer (IV.4.2–3, s. 298–299). Generaliseringar som kobordism har också inducerat homomorfismer.

Allmän definition

Givet någon kategori $\mathbf {T}$ av topologiska utrymmen (möjligen med någon ytterligare struktur) såsom kategorin för alla topologiska utrymmen Top eller kategorin spetsiga topologiska utrymmen (det vill säga topologiska utrymmen med en distingerad baspunkt ), och en funktion $F:\mathbf {T} \to \mathbf {A}$ från den kategorin till någon kategori $\mathbf {A}$ av algebraiska strukturer som t.ex. kategori av grupper Grp eller av abelska grupper Ab som sedan associerar en sådan algebraisk struktur till varje topologiskt rum, sedan för varje morfism $f:X\to Y$ av $\mathbf {T}$ (som vanligtvis är en kontinuerlig karta, eventuellt bevarad någon annan struktur som baspunkten) denna funktion inducerar en inducerad morfism $F(f):F( X)\till F(Y)$ i $\mathbf {A}$ (som till exempel är en grupphomomorfism om $\mathbf {A}$ är en kategori av grupper) mellan de algebraiska strukturerna $F(X)$ och $F(Y)$ associerade med $X$ respektive $Y$ .

Om $F$ inte är en (covariant) funktor utan en kontravariant funktor så inducerar den per definition morfismer i motsatt riktning: $F(f) :F(Y)\till F(X)$ . Kohomologigrupper ger ett exempel.

•   James Munkres (1999). Topology, 2:a upplagan, Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2 .