Klein geometri

Inom matematik är en Klein geometri en typ av geometri motiverad av Felix Klein i hans inflytelserika Erlangen-program . Mer specifikt är det ett homogent utrymme X tillsammans med en transitiv verkan på X av en Lie-grupp G , som fungerar som geometrins symmetrigrupp .

För bakgrund och motivering se artikeln om Erlangenprogrammet .

Formell definition

En Klein-geometri är ett par ( G , H ) där G är en Lie-grupp och H är en sluten Lie-undergrupp av G så att (vänster) cosetrymden G / H är sammankopplad . Gruppen G kallas geometrins huvudgrupp och G / H kallas geometrins rymd (eller, genom missbruk av terminologi, helt enkelt Klein-geometrin ). Utrymmet X = G / H för en Klein-geometri är ett jämnt grenrör av dimension

dim X = dim G − dim H .

Det finns en naturlig jämn vänsterverkan av G på X som ges av

$g\cdot (aH)=(ga)H.$

Uppenbarligen är denna handling transitiv (ta a = 1 ), så att man då kan betrakta X som ett homogent utrymme för handlingen av G . Stabilisatorn för identitetskoset H ∈ X är just gruppen H .

₀₀ Givet varje anslutet jämnt grenrör X och en jämn transitiv verkan av en Lie-grupp G på X , kan vi konstruera en associerad Klein-geometri ( G , H ) genom att fixera en baspunkt x i X och låta H vara stabilisatorundergruppen för x i G. Gruppen H är nödvändigtvis en sluten undergrupp av G och X är naturligt diffeomorf till G / H .

₀ Två Klein-geometrier ( G ₁ , H ₁ ) och ( G ₂ , H ₂ ) är geometriskt isomorfa om det finns en Lie-gruppisomorfism φ : G ₁ → G ₂ så att φ ( H ₁ ) = H ₂ . I synnerhet om φ är konjugering av ett element g ∈ G , ser vi att ( G , H ) och ( G , gHg ⁻¹ ) är isomorfa. Klein-geometrin associerad med ett homogent utrymme X är då unik upp till isomorfism (dvs. den är oberoende av den valda baspunkten x ).

Paketbeskrivning

Givet en Lie-grupp G och sluten undergrupp H , finns det en naturlig rätt verkan av H på G , givet genom höger multiplikation. Denna åtgärd är både gratis och korrekt . Banorna enkelt vänster coset av H i G . Man drar slutsatsen att G har strukturen av en jämn huvudsaklig H -bunt över det vänstra cosetutrymmet G / H :

$H\to G\to G/H.$

Typer av Klein geometrier

Effektiva geometrier

Verkan av G på X = G / H behöver inte vara effektiv. Kärnan Klein - geometri definieras som kärnan för verkan av G på X. Det ges av

$K=\{k\in G:g^{-1}kg\in H\;\;\forall g\in G\}.$

Kärnan K kan också beskrivas som kärnan av H i G (dvs. den största undergruppen av H som är normal i G ). Det är gruppen som genereras av alla normala undergrupper av G som ligger i H .

En Klein-geometri sägs vara effektiv om K = 1 och lokalt effektiv om K är diskret . Om ( G , H ) är en Klein-geometri med kärna K , så är ( G / K , H / K ) en effektiv Klein-geometri som kanoniskt associeras med ( G , H ) .

Geometriskt orienterade geometrier

En Klein-geometri ( G , H ) är geometriskt orienterad om G är ansluten . (Detta inte att G / H är ett orienterat grenrör ). Om H är ansluten följer att G också är ansluten (detta beror på att G / H antas vara ansluten, och G → G / H är en fibrering ).

₀ Med tanke på vilken Klein-geometri som helst ( G , H ) , finns det en geometriskt orienterad geometri som kanoniskt associeras med ( G , H ) med samma basutrymme G / H . Detta är geometrin ₀₀ ( G , G ∩ H ) där G är identitetskomponenten för G . Observera att ₀ G = G H .

Reduktiva geometrier

En Klein-geometri ( G , H ) sägs vara reduktiv och G / H ett reduktivt homogent utrymme om Lie-algebra ${\mathfrak {h}}$ av H har ett H -invariant komplement i ${\mathfrak {g}}$ .

Exempel

I följande tabell finns en beskrivning av de klassiska geometrierna, modellerade som Klein-geometrier.

	Underliggande utrymme	Transformationsgrupp G	Undergrupp H	Invarianter
Projektiv geometri	Verkligt projektivt utrymme $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$	Projektiv grupp $\mathrm {PGL} (n+1)$	En undergrupp $P$ som fixerar en flagga $\{0\}\subset V_{1}\subset V_{n}$	Projektiva linjer , korsförhållande
Konform geometri på sfären	Sfär $S^{n}$	Lorentz-grupp av ett $(n+2)$ -dimensionellt utrymme $\mathrm {O} (n+1,1)$	En undergrupp $P$ som fixerar en linje i minkowski-måttets nollkon	Generaliserade cirklar , vinklar
Hyperbolisk geometri	Hyperboliskt utrymme $H(n)$ , modellerat t.ex. som tidsliknande linjer i Minkowski-rymden $\mathbb {R} ^{1,n}$	Ortokron Lorentz-grupp $\mathrm {O} (1,n)/\mathrm {O} (1)$	$\mathrm {O} (1)\ gånger \mathrm {O} (n)$	Linjer, cirklar, avstånd, vinklar
Elliptisk geometri	Elliptiskt utrymme, modellerat t.ex. som linjerna genom origo i euklidiskt utrymme $\mathbb {R} ^{n+1}$	$\mathrm {O} (n+1)/\mathrm {O} (1)$	$\mathrm {O} (n)/\mathrm {O} (1)$	Linjer, cirklar, avstånd, vinklar
Sfärisk geometri	Sfär $S^{n}$	Ortogonal grupp $\mathrm {O} (n+1)$	Ortogonal grupp $\mathrm {O} (n)$	Linjer (stora cirklar), cirklar, punkters avstånd, vinklar
Affin geometri	Affint utrymme $A(n)\simeq \mathbb {R} ^{n}$	Affin grupp $\mathrm {Aff} (n)\simeq \mathbb {R} ^{n}\rtimes \mathrm {GL} (n)$	Allmän linjär grupp $\mathrm {GL} (n)$	Linjer, kvot av ytareor av geometriska former, massacentrum för trianglar
Euklidisk geometri	Euklidiskt utrymme $E(n)$	Euklidisk grupp $\mathrm {Euc} (n)\simeq \mathbb {R} ^{n}\rtimes \mathrm {O} (n)$	Ortogonal grupp $\mathrm {O} (n)$	Avstånd för punkter , vinklar av vektorer , områden

•   RW Sharpe (1997). Differentialgeometri: Cartans generalisering av Kleins Erlangen-program . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94732-9 .