Quaternion-Kähler symmetriska rymd

I differentialgeometri är ett quaternion-Kähler-symmetriskt utrymme eller Wolf space ett quaternion-Kähler-grenrör som, som ett Riemann-grenrör, är ett Riemann-symmetriskt rum . Varje quaternion-Kähler-symmetriskt utrymme med positiv Ricci-krökning är kompakt och enkelt anslutet , och är en Riemann-produkt av quaternion-Kähler-symmetriska utrymmen associerade med kompakta enkla Lie-grupper .

För varje kompakt enkel Lie-grupp G finns det en unik G / H som erhålls som en kvot av G av en undergrupp

Här är Sp(1) den kompakta formen av SL(2)-trippeln associerad med den högsta roten av G och K dess centraliserare i G . Dessa klassificeras enligt följande.

G H kvartjoniska dimensionen geometrisk tolkning
sid Grassmannian av komplexa 2 -dimensionella delrum av
sid Grassmannian av orienterade reella 4 -dimensionella delrum av
sid Grassmannian av kvaternioniska 1 -dimensionella delrum av
10 Utrymme av symmetriska delrum av isometrisk till
16 Rosenfelds projektivplan över
28 Utrymme av symmetriska delrum av isomorft till
7 Utrymmet för de symmetriska delrymden i som är isomorfa till
2 Utrymmet för subalgebran i oktonionalgebra som är isomorfa till kvartjonalgebra

Vridningsutrymmena i quaternion-Kählers symmetriska utrymmen är de homogena holomorfa kontaktgrenrören , klassificerade av Boothby: de är de sammanhängande varianterna av de komplexa semisenkla Lie-grupperna .

Dessa utrymmen kan erhållas genom att ta en projektivisering av en minimal nilpotent omloppsbana för respektive komplex Lie-grupp. Den holomorfa kontaktstrukturen är uppenbar, eftersom de nilpotenta banorna i semisenkla Lie-grupper är utrustade med Kirillov-Kostant holomorfa symplektiska form. Detta argument förklarar också hur man kan associera ett unikt vargutrymme till var och en av de enkla komplexa Lie-grupperna.

Se även

  •    Besse, Arthur L. (2008), Einstein Manifolds , Classics in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-74120-6 , MR 2371700 . Nytryck av 1987 års upplaga.
  •   Salamon, Simon (1982), "Quaternionic Kähler manifolds", Inventiones Mathematicae , 67 (1): 143–171, doi : 10.1007/BF01393378 , MR 0664330 .