Cartan–Ambrosius–Hicks teorem

Inom matematik är Cartan –Ambrose–Hicks sats en sats av Riemannsk geometri , enligt vilken den riemannska metriken bestäms lokalt av Riemann-kurvaturtensorn , eller med andra ord, beteendet hos krökningstensorn under parallell translation bestämmer metriken.

Teoremet är uppkallat efter Élie Cartan , Warren Ambrose och hans doktorand Noel Hicks. Cartan bevisade den lokala versionen. Ambrose bevisade en global version som tillåter isometrier mellan allmänna Riemannska grenrör med varierande krökning, 1956. Detta generaliserades ytterligare av Hicks till allmänna grenrör med affina anslutningar i sina tangentbuntar 1959.

Ett påstående och bevis för satsen finns i

Introduktion

Låt $M,N$ vara anslutna, kompletta Riemannska grenrör. Vi betraktar problemet med att isometriskt kartlägga en liten lapp på $M$ till en liten lapp på $N$ .

Låt $x\in M,y\in N$ , och låt

$I:T_{x}M\rightarrow T_{y}N$

vara en linjär isometri . Detta kan tolkas som att man isometriskt mappar en infinitesimal lapp (tangensutrymmet) vid $x$ till en infinitesimal lapp vid $y$ . Nu försöker vi utöka det till en ändlig (snarare än oändlig) lapp.

För tillräckligt litet $r>0$ , mappar de exponentiella

$\exp _{x}:B_{r}(x)\subset T_{ x}M\högerpil M,\exp _{y}:B_{r}(y)\subset T_{y}N\högerpil N$

är lokala diffeomorfismer. Här $B_{r}(x)$ bollen centrerad på $x$ med radien $r.$ Man definierar sedan en diffeomorfism $f:B_{r}(x)\rightarrow B_{r}(y)$ med

$f=\exp _{y}\circ I\circ \exp _{x}^{-1}.$

När är $f$ en isometri? Intuitivt bör det vara en isometri om den uppfyller de två villkoren:

• Det är en linjär isometri vid tangentrymden för varje punkt på ${\displaystyle B_{r}(x)} ,$ det vill säga det är en isometri på de infinitesimala fläckarna.
• Den bevarar krökningstensorn vid tangentrymden för varje punkt på ${\displaystyle B_{r}(x)} ,$ det vill säga den bevarar hur de oändliga små fläckarna passar ihop.

Om $f$ är en isometri måste den bevara geodesiken. Därför är det naturligt att överväga beteendet hos $f$ när vi transporterar det längs en godtycklig $\gamma :\left[0, T\höger]\högerpil B_{r}(x)\delmängd M$ radie γ som börjar med $\gamma (0)=x$ . Genom egenskapen för den exponentiella mappningen $f$ den till en geodesisk radie av $B_{r}(y)$ med början på $f (\gamma )(0)=y$ ,.

Låt $P_{\gamma }(t)$ vara den parallella transporten längs $\gamma$ (definierad av Levi-Civita-kopplingen ), och ${ \displaystyle P_{f(\gamma )(t)}}$ vara den parallella transporten längs $f(\gamma )$ , då har vi mappningen mellan oändligt små fläckar längs de två geodetiska radierna:

${ \displaystyle I_{\gamma }(t)=P_{f(\gamma )(t)}\circ I\circ P_{\gamma (t)}^{-1}:T_{\gamma (t)}M \rightarrow T_{f(\gamma (t))}N\quad {\text{ för alla }}t\i [0,T]}$

Cartans teorem

Den ursprungliga satsen bevisad av Cartan är den lokala versionen av Cartan-Ambrose-Hicks sats.

$f$ är en isometri om och endast om för alla geodesiska radier $\gamma :\left[0,T\right]\rightarrow B_{ r}(x)\delmängd M$ med $\gamma (0)=x$ , och alla ${\ visningsstil t\in [0,T],X,Y,Z\in T_{\gamma (t)}M} , vi$ har ${\displaystyle I_{\gamma }(t)(R(X,Y,Z))={\ överlinje {R}}(I_{\gamma }(t)(X),I_{\gamma}(t)(Y),I_{\gamma }(t)(Z))} där$ R $\ displaystyle R,{\overline {R}}}$ är Riemann-kurvaturtensorer av $M,N$ .

I ord säger den att $f$ är en isometri om och bara om det enda sättet att bevara dess oändliga isometri också bevarar den Riemannska krökningen.

Observera att $f$ i allmänhet inte behöver vara en diffeomorfism, utan endast en lokalt isometrisk täckande karta . Men $f$ måste vara en global isometri om $N$ helt enkelt är ansluten.

Cartan–Ambrosius–Hicks teorem

Sats : För Riemanns krökningstensorer $R,{\overline {R}}$ och alla brutna geodetiska delar (en bruten geodesik är en kurva som är bitvis geodetisk) $\gamma :\left[0,T\right]\rightarrow M$ med $\gamma (0)=x$ ,

$I_ {\gamma }(t)(R(X,Y,Z))={\överlinje {R}}(I_{\gamma}(t)(X),I_{\gamma }(t)(Y), I_{\gamma }(t)(Z))$

för alla $t\in [0,T],X,Y,Z\in T_{\gamma (t)}M$ .

Sedan, om två brutna geodetik som börjar med $x$ har samma slutpunkt, så har motsvarande brutna geodetik (avbildad av $I_{\gamma }$ ) i $N$ också samma slutpunkt. Så det finns en karta

$F:M\rightarrow N$

genom att mappa de brutna geodetiska ändpunkterna i $M$ till motsvarande geodetiska ändpunkter i $N$ .

Kartan $F:M\rightarrow N$ är en lokalt isometrisk täckande karta.

Om $N$ också helt enkelt är ansluten, så är $F$ en isometri.

Lokalt symmetriska utrymmen

En Riemann-grenrör kallas lokalt symmetrisk om dess Riemann-kurvaturtensor är invariant under parallell transport:

$\nabla R=0.$

Ett enkelt anslutet Riemann-grenrör är lokalt symmetriskt om det är ett symmetriskt utrymme .

Från Cartan–Ambrose–Hicks sats har vi:

Sats : Låt $M,N$ vara sammankopplade, kompletta, lokalt symmetriska Riemannska grenrör, och låt $M$ helt enkelt kopplas samman. Låt deras Riemann-kurvaturtensorer vara $R,{\overline {R}}$ . Låt $x\in M,y\in N$ och

$I:T_{x}M\rightarrow T_{y}N$

vara en linjär isometri med $I(R(X,Y,Z))= {\overline {R}}(I(X),I(Y),I(Z))$ . Sedan finns det en lokalt isometrisk täckande karta

$F:M\rightarrow N$

med $F(x)=y$ och $D_{x}F=I$ .

Följd : Varje komplett lokalt symmetriskt utrymme har formen $M/\gamma$ för ett symmetriskt utrymme $M$ och $\gamma \subset Isom (M)$ är en diskret undergrupp av isometrier av $M$ .

Klassificering av rymdformer

är varje enkelt anslutet, komplett Riemann-grenrör med konstant tvärsnittskrökning $\in \{+1,0,-1\}$ respektive isometrisk till n -sfären $S^{n}$ , det n -euklidiska rymden $E^{n}$ , och det n -hyperboliska rymden $\mathbb { H} ^{n}$ .