Satake diagram

I den matematiska studien av Lie-algebror och Lie-grupper är ett Satake-diagram en generalisering av ett Dynkin-diagram som introducerats av Satake ( 1960 , s.109) vars konfigurationer klassificerar enkla Lie-algebror över fältet av reella tal . Satake-diagrammen som är associerade med ett Dynkin-diagram klassificerar verkliga former av den komplexa Lie-algebra som motsvarar Dynkin-diagrammet.

Mer generellt är Tits-indexet eller Satake–Tits-diagrammet för en reduktiv algebraisk grupp över ett fält en generalisering av Satake-diagrammet till godtyckliga fält, introducerat av Tits ( 1966 ), som reducerar klassificeringen av reduktiva algebraiska grupper till den för anisotropiska reduktiva grupper . algebraiska grupper.

Satake-diagram är inte samma som Vogan-diagram för en Lie-grupp, även om de ser likadana ut.

Definition

Ett Satake-diagram erhålls från ett Dynkin-diagram genom att svärta några hörn och koppla ihop andra hörn i par med pilar, enligt vissa regler.

Antag att G är en algebraisk grupp definierad över ett fält k , såsom reals. Vi låter S vara en maximal delad torus i G och tar T vara en maximal torus som innehåller S definierad över den separerbara algebraiska stängningen K för k . Sedan G ( K ) ett Dynkin-diagram med avseende på något val av positiva rötter till T. Detta Dynkin-diagram har en naturlig verkan av Galois-gruppen av K / k . Också några av de enkla rötterna försvinner på S . Satake –Tits-diagrammet ges av Dynkin-diagrammet D , tillsammans med Galois-gruppens verkan, med de enkla rötterna som försvinner på S färgat svart. I fallet när k är fältet för reella tal, har den absoluta Galois-gruppen ordning 2, och dess verkan på D representeras genom att rita konjugerade punkter i Dynkin-diagrammet nära varandra, och Satake-Tits-diagrammet kallas ett Satake-diagram .

Exempel

Kompakta Lie-algebror motsvarar Satake-diagrammet med alla hörn svärtade.
Delade Lie-algebror motsvarar Satake-diagrammet med endast vita (dvs icke svärtade) och oparade hörn.
En tabell finns på ( Onishchik & Vinberg 1994 , Tabell 4, s. 229–230) .

Skillnader mellan Satake- och Vogan-diagram

Både Satake- och Vogan-diagram används för att klassificera halvenkla Lie-grupper eller algebror (eller algebraiska grupper) över realerna och båda består av Dynkin-diagram berikade genom att svärta en delmängd av noderna och koppla ihop några par av hörn med pilar. Satake-diagram kan dock generaliseras till vilket område som helst (se ovan) och faller under det allmänna paradigmet för Galois-kohomologi , medan Vogan-diagram definieras specifikt över verkligheten. Generellt sett är strukturen av en verklig semisenkel Lie-algebra kodad på ett mer transparent sätt i dess Satake-diagram, men Vogan-diagram är enklare att klassificera.

Den väsentliga skillnaden är att Satake-diagrammet för en verklig semisenkel Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ med Cartan-involution θ och tillhörande Cartan-par ${\mathfrak {g}}= {\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$ (egenrymden +1 och −1 för θ ) definieras genom att utgå från en maximalt icke-kompakt θ -stabil Cartan subalgebra ${\mathfrak {h }}$ , det vill säga en för vilken $\theta ({\mathfrak {h}})={\mathfrak {h}}$ och ${\mathfrak { h}}\cap {\mathfrak {k}}$ är så liten som möjligt (i presentationen ovan visas ${\mathfrak {h}}$ som Lie-algebra för den maximala delade torusen S ), medan Vogan-diagram definieras med utgångspunkt från en maximalt kompakt θ -stabil Cartan-subalgebra, det vill säga en för vilken $\theta ({\mathfrak {h}})={\mathfrak {h}}$ och ${\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {k}}$ är så stor som möjligt.

Det osmyckade Dynkin-diagrammet (dvs. det med bara vita noder och inga pilar), när det tolkas som ett Satake-diagram, representerar den delade verkliga formen av Lie-algebra, medan det representerar den kompakta formen när det tolkas som ett Vogan-diagram.

Se även

Bump, Daniel (2004), Lie groups , Graduate Texts in Mathematics, vol. 225, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-4094-3 , ISBN 978-0-387-21154-1 , MR 2062813
Helgason, Sigurdur (2001), Differentialgeometri, Lie groups, and symmetric spaces , Graduate Studies in Mathematics , vol. 34, Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090/gsm/034 , ISBN 978-0-8218-2848-9 , MR 1834454
Onishchik, AL; Vinberg, Ėrnest Borisovich (1994), Lie groups and Lie algebras III: structure of Lie groups and Lie algebras , Springer, ISBN 978-3-540-54683-2
Satake, Ichirô (1960), "On representations and compactifications of symmetric Riemannian spaces", Annals of Mathematics , Second Series, 71 (1): 77–110, doi : 10.2307/1969880 , ISSN 0003-486X 1, 7 MR 8 0 5 6 , 7 8 5 19
Satake, Ichiro (1971), Klassificeringsteori för semi-enkla algebraiska grupper , Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 3, New York: Marcel Dekker Inc., ISBN 978-0-8247-1607-3 , MR 0316588
Spindel, Philippe; Persson, Daniel; Henneaux, Marc (2008), "Spacelike Singularities and Hidden Symmetries of Gravity" , Living Reviews in Relativity , 11 (1): 1, arXiv : 0710.1818 , doi : 10.12942/lrr-2008-1 , 5 PMC 972 5 8 PM 972 5 , 5 PMC 972 5
Tits, Jacques (1966), "Classification of algebraic semisimple groups", Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965) , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 33–62 MR 0224710 _
Tits, Jacques (1971), "Représentations linéaires irréductibles d'un groupe réductif sur un corps quelconque" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1971 (247): 196–220, doi : 10.151915 /4715/4715/4715/4715 /4715/4715/4715/4715/4715 / 4715/ 247 0075-4102 , MR 0277536 , S2CID 116999784