Penrose diagram

För tensordiagramnotationen, se Penrose grafisk notation .

Penrose-diagram av ett oändligt Minkowski -universum, horisontell axel u , vertikal axel v

Inom teoretisk fysik är ett Penrose-diagram (uppkallat efter den matematiske fysikern Roger Penrose ) ett tvådimensionellt diagram som fångar orsakssambanden mellan olika punkter i rumtiden genom en konform behandling av oändligheten. Det är en förlängning av ett Minkowski-diagram där den vertikala dimensionen representerar tid och den horisontella dimensionen representerar en rymddimension. Med denna design tar alla ljusstrålar en 45° bana. $(c=1)$ . Den största skillnaden är att lokalt är måtten på ett Penrose-diagram konformt likvärdig med den faktiska måtten i rymdtid. Den konforma faktorn väljs så att hela den oändliga rumtiden omvandlas till ett Penrose-diagram av ändlig storlek, med oändlighet på gränsen för diagrammet. För sfäriskt symmetriska rumstider motsvarar varje punkt i Penrose-diagrammet en 2-dimensionell sfär $(\theta ,\phi )$ .

Grundläggande egenskaper

Medan Penrose-diagram delar samma grundläggande koordinatvektorsystem som andra rumtidsdiagram för lokal asymptotiskt platt rymdtid , introducerar det ett system för att representera avlägsen rumtid genom att krympa eller "knäcka" avstånd som är längre bort. Raka linjer med konstant tid och raka linjer med konstanta rymdkoordinater blir därför hyperboler , som verkar konvergera vid punkter i diagrammets hörn. Dessa punkter och gränser representerar "konform oändlighet" för rumtid, som först introducerades av Penrose 1963.

Penrose-diagram kallas mer korrekt (men mer sällan) Penrose-Carter-diagram (eller Carter-Penrose-diagram ), som erkänner både Brandon Carter och Roger Penrose, som var de första forskarna att anställa dem. De kallas också konforma diagram , eller helt enkelt rumtidsdiagram (även om de senare kan hänvisa till Minkowski-diagram ).

Två linjer ritade i 45° vinklar ska skära varandra i diagrammet endast om de motsvarande två ljusstrålarna skär varandra i den faktiska rumtiden. Så, ett Penrose-diagram kan användas som en kortfattad illustration av rumtidsregioner som är tillgängliga för observation. De diagonala gränslinjerna i ett Penrose-diagram motsvarar "oändligheten" eller till singulariteter där ljusstrålar måste sluta. Således är Penrose-diagram också användbara vid studiet av asymptotiska egenskaper hos rumtider och singulariteter. Ett oändligt statiskt Minkowski-universum , koordinater $(x,t)$ är relaterat till Penrose-koordinater $(u,v)$ av:

$\tan(u\pm v)=x\pm t$

Hörnen på Penrose-diagrammet, som representerar de rumsliknande och tidsliknande konforma oändligheterna, är $\pi /2$ från ursprunget.

Svarta hål

Penrose-diagram används ofta för att illustrera orsaksstrukturen för rumtider som innehåller svarta hål . Singulariteter i Schwarzschild-lösningen betecknas med en rymdliknande gräns, till skillnad från den tidsliknande gränsen som finns på konventionella rumtidsdiagram. Detta beror på utbytet av tidsliknande och rumsliknande koordinater inom horisonten av ett svart hål (eftersom rymden är enkelriktad inom horisonten, precis som tiden är enkelriktad utanför horisonten). Singulariteten representeras av en rymdliknande gräns för att göra det klart att när ett objekt väl har passerat horisonten kommer det oundvikligen att träffa singulariteten även om det försöker vidta undvikande åtgärder.

Penrose-diagram används ofta för att illustrera den hypotetiska Einstein-Rosen-bron som förbinder två separata universum i den maximalt utsträckta Schwarzschild-svarthålslösningen . Föregångarna till Penrose-diagrammen var Kruskal-Szekeres-diagram . (Penrose-diagrammet lägger till Kruskal och Szekeres diagram den konforma knasningen av regionerna i platt rumstid långt från hålet.) Dessa introducerade metoden att anpassa händelsehorisonten till tidigare och framtida horisonter orienterade i 45° vinklar (eftersom man skulle behöva att resa snabbare än ljus för att korsa från Schwarzschild-radien tillbaka in i platt rumstid); och dela upp singulariteten i tidigare och framtida horisontellt orienterade linjer (eftersom singulariteten "kapar av" alla vägar in i framtiden när man väl kommer in i hålet).

Einstein–Rosen-bron stängs av (bildar "framtida" singulariteter) så snabbt att passage mellan de två asymptotiskt platta yttre regionerna skulle kräva snabbare än ljushastighet, och är därför omöjlig. Dessutom skulle starkt blåskiftade ljusstrålar (kallas ett "blått ark" ) göra det omöjligt för någon att passera.

Penrose-diagram över olika svarta hålslösningar

Den maximalt utsträckta lösningen beskriver inte ett typiskt svart hål som skapats från kollapsen av en stjärna, eftersom ytan på den kollapsade stjärnan ersätter den sektor av lösningen som innehåller den tidigare orienterade " vita hålet " geometrin och andra universum.

Medan den grundläggande rymdliknande passagen för ett statiskt svart hål inte kan passeras, illustrerar Penrose-diagrammen för lösningar som representerar roterande och/eller elektriskt laddade svarta hål dessa lösningars inre händelsehorisonter (som ligger i framtiden) och vertikalt orienterade singulariteter, som öppnar sig upp vad som är känt som ett tidsliknande "maskhål" som tillåter passage in i framtida universum. När det gäller det roterande hålet finns det också ett "negativt" universum som kommer in genom en ringformad singularitet (fortfarande porträtterad som en linje i diagrammet) som kan passeras genom om man kommer in i hålet nära dess rotationsaxel . Dessa egenskaper hos lösningarna är dock inte stabila under störningar och tros inte vara en realistisk beskrivning av de inre områdena av sådana svarta hål; den sanna karaktären av deras interiörer är fortfarande en öppen fråga .

Se även

• Kausalitet
• Orsaksstruktur
• Konform cyklisk kosmologi
• Weyl transformation

•   d'Inverno, Ray (1992). Introduktion av Einsteins relativitet . Oxford: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-859686-8 . Se kapitel 17 (och olika efterföljande avsnitt) för en mycket läsbar introduktion till begreppet konform oändlighet plus exempel.
•    Frauendiener, Jörg (2004). "Conformal Infinity" . Levande recensioner i relativitetsteori . 7 (1): 1. Bibcode : 2004LRR.....7....1F . doi : 10.12942/lrr-2004-1 . PMC 5256109 . PMID 28179863 .
• Carter, Brandon (1966). "Fullständig analytisk förlängning av symmetriaxeln för Kerrs lösning av Einsteins ekvationer". Phys. Rev. _ 141 (4): 1242–1247. Bibcode : 1966PhRv..141.1242C . doi : 10.1103/PhysRev.141.1242 . Se även onlineversion (kräver ett abonnemang för att få tillgång)
•   Hawking, Stephen & Ellis, GFR (1973). Den storskaliga strukturen av rum-tid . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-09906-6 . Se kapitel 5 för en mycket tydlig diskussion om Penrose-diagram (termen som används av Hawking & Ellis) med många exempel.
•   Kaufmann, William J. III (1977). Den allmänna relativitetens kosmiska gränser . Little Brown & Co. ISBN 978-0-316-48341-4 . Bryter verkligen ner övergången från enkla Minkowski-diagram, till Kruskal -Szekeres-diagram till Penrose-diagram, och går in mycket i detalj på fakta och fiktion om maskhål. Många lättförståeliga illustrationer. En mindre involverad, men ändå mycket informativ bok är hans   William J. Kaufmann (1979). Svarta hål och skev rymdtid . WH Freeman & Co (Sd). ISBN 978-0-7167-1153-7 .

externa länkar

• Konforma diagram – Introduktion till konforma diagram, serie miniföreläsningar av Pau Amaro Seoane
• Media relaterade till Penrose-diagram på Wikimedia Commons