Sfäriskt symmetrisk rumtid

Inom fysiken används sfäriskt symmetriska rumstider vanligtvis för att erhålla analytiska och numeriska lösningar på Einsteins fältekvationer i närvaro av radiellt rörlig materia eller energi . Eftersom sfäriskt symmetriska rumstider per definition är irroterande, är de inte realistiska modeller av svarta hål i naturen. Deras mätvärden är dock betydligt enklare än de för roterande rumstider, vilket gör dem mycket lättare att analysera.

Sfäriskt symmetriska modeller är inte helt olämpliga: många av dem har Penrose-diagram som liknar de för roterande rumtider, och dessa har vanligtvis kvalitativa egenskaper (som Cauchy-horisonter ) som inte påverkas av rotation. En sådan tillämpning är studiet av massinflation på grund av motgående strömmar av infallande materia i det inre av ett svart hål.

Formell definition

En sfäriskt symmetrisk rumtid är en rumtid vars isometrigrupp innehåller en undergrupp som är isomorf till rotationsgruppen SO(3) och omloppsbanorna för denna grupp är 2-sfärer (vanliga 2-dimensionella sfärer i 3-dimensionell euklidisk rymd ). Isometrierna tolkas då som rotationer och en sfäriskt symmetrisk rumtid beskrivs ofta som en vars metrik är "invariant under rotationer". Rumtidsmåttet inducerar ett mått på varje bana 2-sfär (och detta inducerade mått måste vara en multipel av måttet för en 2-sfär). Konventionellt skrivs metriken på 2-sfären i polära koordinater som

$g_{\Omega }=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}$ ,

och därför inkluderar hela måttet en term som är proportionell mot detta.

Sfärisk symmetri är ett karakteristiskt drag för många lösningar av Einsteins fältekvationer av generell relativitet , särskilt Schwarzschild-lösningen och Reissner–Nordström-lösningen . En sfäriskt symmetrisk rumtid kan karakteriseras på ett annat sätt, nämligen genom att använda begreppet Killing vektorfält , som i en mycket exakt mening bevarar metrisk . De isometrier som hänvisas till ovan är faktiskt lokala flödesdiffeomorfismer av dödande vektorfält och genererar sålunda dessa vektorfält. För en sfäriskt symmetrisk rumtid $M$ finns det exakt 3 roterande dödande vektorfält. Uttryckt på ett annat sätt är dimensionen för Killing algebra $K(M)$ 3; det vill säga $\dim K(M)=3$ . I allmänhet är ingen av dessa tidsliknande, eftersom det skulle innebära en statisk rumtid .

Det är känt (se Birkhoffs sats ) att varje sfäriskt symmetrisk lösning av vakuumfältsekvationerna nödvändigtvis är isometrisk till en delmängd av den maximalt utsträckta Schwarzschild-lösningen . Detta innebär att det yttre området runt ett sfäriskt symmetriskt graviterande föremål måste vara statiskt och asymptotiskt platt .

Sfäriskt symmetriska mått

Konventionellt använder man sfäriska koordinater ${\displaystyle x^{\mu }=(t,r,\theta ,\phi )} ,$ för att skriva måtten ( linjeelementet ) . Flera koordinatdiagram är möjliga; dessa inkluderar:

• Schwarzschild koordinerar
• Isotropiska koordinater , där ljuskoner är runda, och därmed användbara för att studera nulldamm .
• Gaussiska polära koordinater , ibland används för att studera statiska sfäriskt symmetriska perfekta vätskor.
• Omkretsradie, som anges nedan, bekvämt för att studera massuppblåsning.

Periferisk radiemetrisk

Ett populärt mått, som används i studiet av massinflation, är

$ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu}dx^{\nu }=-{\frac {dt^{2}}{\alpha ^{2}}}+ {\frac {1}{\beta _{r}^{2}}}\left(dr-\beta _{t}{\frac {dt}{\alpha }}\right)^{2}+r ^{2}\,g(\Omega ).$

Här är $g(\Omega )$ standardmåttet på enhetens radie 2-sfär $\Omega =(\theta ,\phi )$ . Den radiella koordinaten $r$ är definierad så att den är den perifera radien, det vill säga så att den korrekta omkretsen vid radien $r$ är $2\pi r$ . I detta koordinatval är parametern $\beta _{t}$ definierad så att $\beta _{t}=dr/d\tau$ är den korrekta ändringshastigheten för omkretsradien (det vill säga där $\tau$ är den rätta tiden ). Parametern $\beta _{r}$ kan tolkas som den radiella derivatan av den perifera radien i en fritt fallande ram; detta blir tydligt i tetradformalismen .

Ortonormal tetradformalism

Observera att ovanstående måttenhet skrivs som en summa av kvadrater, och därför kan den förstås som att den uttryckligen kodar en vierbein , och i synnerhet en ortonormal tetrad . Det vill säga, den metriska tensorn kan skrivas som en tillbakadragning av Minkowski-metriken $\eta _{ij}$ :

$g_{\mu \nu }=\eta _{ij}\,e_{\;\mu }^{i}\,e_{\;\ nu }^{j}$

där $e_{\;\mu }^{i}$ är invers vierbein. Konventionen här och i det som följer är att de romerska indexen hänvisar till den platta ortonormala tetradramen, medan de grekiska indexen hänvisar till koordinatramen. Den omvända vierbein kan direkt avläsas från ovanstående metriska som

$e_{\;\mu }^{t}dx^{\mu }={\frac {dt}{\alpha }}$

$e_{\;\mu }^{r}dx^{\mu }={\frac {1}{\beta _{r}}}\ vänster(dr-\beta _{t}{\frac {dt}{\alpha }}\right)$

$e_{\;\mu }^{\theta } dx^{\mu }=rd\theta$

$e_{\;\mu }^{\phi }dx^{\mu }=r\sin \ theta d\phi$

där signaturen antogs vara $(-+++)$ . Skrivet som en matris är det omvända vierbein

$e_{\;\mu }^{i}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{ \alpha }}&0&0&0\\-{\frac {\beta _{t}}{\alpha \beta _{r}}}&{\frac {1}{\beta _{r}}}&0&0\\0&0&r&0 \\0&0&0&r\sin \theta \\\end{bmatrix}}$

Själva vierbein är inversen (-transponera) av inversen vierbein

$e_{i}^{\;\mu }={\begin{bmatrix}\alpha &\beta _{t}&0&0\ \0&\beta _{r}&0&0\\0&0&{\frac {1}{r}}&0\\0&0&0&{\frac {1}{r\sin \theta }}\\\end{bmatrix}}$

Det vill säga ${\displaystyle (e_{\;\mu }^{i})^{T}e_{i}^{\ ;\nu }=e_{\mu }^{\;\;i}e_{i}^{\;\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }} är identitetsmatrisen$ .

Den särskilt enkla formen av ovanstående är en primär motiverande faktor för att arbeta med det givna måttet.

Vierbein relaterar vektorfält i koordinatramen till vektorfält i tetradramen, som

$\partial _{i}=e_{i}^{\;\mu }{\frac {\partial \;\;}{\partial x^{\mu }}}$

De mest intressanta av dessa två är $\partial _{t}$ som är den korrekta tiden i vilobilden, och $\partial _{r}$ som är den radiella derivatan i resten ram. Genom konstruktion, som noterats tidigare, $\beta _{t}$ den korrekta förändringshastigheten för omkretsradien; detta kan nu uttryckligen skrivas som

$\beta _{t}=\partial _{t}r$

På samma sätt har man

$\beta _{r}=\partial _{r}r$

som beskriver gradienten (i den fritt fallande tetradramen) för omkretsradien längs den radiella riktningen. Detta är i allmänhet inte enhet; jämför till exempel med standardlösningen Swarschild, eller Reissner–Nordström-lösningen. Tecknet för $\beta _{r}$ bestämmer effektivt "vilken väg är nere"; tecknet för $\beta _{r}$ särskiljer inkommande och utgående bildrutor, så att $\beta _{r}>0$ är en ingående ram, och $\beta _{r}<0$ är en utgående ram.

Dessa två relationer på omkretsradien ger ytterligare ett skäl till varför just denna parameterisering av metriken är bekväm: den har en enkel intuitiv karakterisering.

Anslutningsformulär

Kopplingsformen i tetradramen kan skrivas i termer av Christoffel-symbolerna $\displaystyle \Gamma _{ijk}}$ { i tetradramen, som ges av

${\displaystyle \Gamma _{rtt}=-\partial _{r}\ln \alpha$

${\displaystyle \Gamma _{rtr}=-\beta _{t}{\frac {\partial \ln \alpha }{\partial r}}+{\frac {\ partiell \beta _{t}}{\partial r}}-\partial _{t}\ln \beta _{r}} Γ θ t θ = Γ$

${ \theta t\theta }=\Gamma _{\phi t\phi }={\frac {\beta _{t}}{r}}} Γ θ$

$displaystyle \Gamma _{\theta r\theta }=\Gamma _{\phi r\phi }={\frac {\beta _{r}}{r}}} Γ ϕ$

$displaystyle \Gamma _{\phi \theta \phi }={\frac {\cot \theta }{r}}}$

och alla andra noll.

Einsteins ekvationer

En komplett uppsättning uttryck för Riemann-tensorn , Einstein -tensorn och Weyl-kurvaturskalären finns i Hamilton & Avelino. Einsteins ekvationer blir

$\nabla _{t}\beta _{t}=-{\frac {M}{r^{2}}}-4\pi rp$

$\nabla _{t}\beta _{r}=4\pi rf$

där $\nabla _{t}$ är den kovarianta tidsderivatan (och $\nabla$ Levi-Civita-kopplingen ) , $p$ det radiella trycket ( inte det isotropa trycket!) , och $f$ det radiella energiflödet. Massan $M(r)$ är Misner-Thorne-massan eller inre massa, given av

${\frac {2M}{r}}-1=\beta _{t}^{2}-\beta _{r}^{2}$

Eftersom dessa ekvationer i praktiken är tvådimensionella kan de lösas utan överväldigande svårighet för en mängd olika antaganden om det infallande materialets beskaffenhet (det vill säga för antagandet om ett sfäriskt symmetriskt svart hål som samlar upp laddat eller neutralt damm, gas , plasma eller mörk materia, med hög eller låg temperatur, dvs material med olika tillståndsekvationer .)

Se även

• Statisk rumtid
• Stationär rumtid
• Rymdtidssymmetrier
• De Sitter utrymme

•   Wald, Robert M. (1984). Allmän relativitet . Chicago: University of Chicago Press . ISBN 0-226-87033-2 . Se avsnitt 6.1 för en diskussion om sfärisk symmetri .