Normal stängning (gruppteori)

Den här artikeln handlar om normal nedläggning av en delmängd av en grupp. För normal stängning av en fältförlängning, se Normal stängning (fältteori) .

I gruppteorin är den normala stängningen av en delmängd $S$ i en grupp $G$ den minsta normala undergruppen av $G$ som innehåller $S.$

Egenskaper och beskrivning

Formellt, om $G$ är en grupp och $S$ är en delmängd av $G,$ den normala stängningen $\operatorname {ncl} _{ G}(S)$ av $S$ är skärningspunkten för alla normala undergrupper av $G$ som innehåller $S$ :

$$\operatorname {ncl} _{G}(S)=\bigcap _{S\subseteq N\triangleleft G}N.$$

Den normala stängningen $\operatorname {ncl} _{G}(S)$ är den minsta normala undergruppen av $G$ som innehåller $S,$ i den meningen att $\operatorname {ncl} _{G}(S)$ är en delmängd av varje normal undergrupp av $G$ som innehåller $S.$

Undergruppen $\operatorname {ncl} _{G}(S)$ genereras av mängden ${\displaystyle S^{G}=\{s^{g}:g\in G\}=\{g^{-1}sg:g\in G\}} av alla konjugat$ av element i $S$ i $G.$

Därför kan man också skriva

$$\operatorname {ncl} _{G}(S)=\{g_{1}^{-1}s_{1}^{\epsilon _{1}}g_{1}\dots g_{n} ^{-1}s_{n}^{\epsilon _{n}}g_{n}:n\geq 0,\epsilon _{i}=\pm 1,s_{i}\in S,g_{i }\in G\}.$$

Varje normal undergrupp är lika med dess normala stängning. Den konjugerade stängningen av den tomma mängden $\varnothing$ är den triviala undergruppen .

En mängd andra notationer används för normal stängning i litteraturen, inklusive $\langle S^{G}\rangle ,$$\langle S\rangle ^{ G},$$\langle \langle S\rangle \rangle _{G},$ och $\langle \langle S\rangle \rangle ^{G}.$

Dual till begreppet normal stängning är den för normal inre eller normal kärna $S.$ definierad som sammanfogningen av alla normala undergrupper som ingår i

Grupppresentationer

För en grupp $G$ som ges av en presentation $G=\langle S\mid R\rangle$ med generatorer $S$ och definierande relationer $R,$ presentationsbeteckningen betyder att $G$ är kvotgruppen $G=F(S)/\operatörsnamn {ncl} _{F(S)}(R),$ där $F(S)$ är en fri grupp på $S.$