Delta-ring

I matematik kallas en icke-tom samling av uppsättningar ${\displaystyle {\mathcal {R}}} en$ δ -ring (uttalas " delta-ring ") om den är stängd under union , relativ komplementering och countable intersection . Namnet "delta-ring" kommer från det tyska ordet för korsning, "Durschnitt", som är tänkt att markera ringens stängning under räknebar korsning, i motsats till en 𝜎-ringen som är stängd under räkneliga förbund.

Definition

En familj av uppsättningar ${\mathcal {R}}$ kallas en δ -ring om den har alla följande egenskaper:

1. Stängd under ändliga föreningar: $A\cup B\in {\mathcal {R}}$ för alla $A,B\in {\mathcal {R}} ,$
2. Stängd under relativ komplementering: $AB\in {\mathcal {R}}$ för alla $A,B\in {\mathcal {R}},$ och
3. Stängt under räknebara skärningspunkter: $\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}$ om ${ \displaystyle A_{n}\in {\mathcal {R}}}$ för alla $n\in \mathbb {N} .$

Om endast de två första egenskaperna är uppfyllda är ${\mathcal {R}}$ en ring av mängder men inte en δ -ring. Varje 𝜎-ring är en δ -ring, men inte varje δ -ring är en 𝜎-ring .

δ -ringar kan användas istället för σ-algebror i utvecklingen av måttteorin om man inte vill tillåta mängder av oändliga mått.

Exempel

Familjen ${\displaystyle {\mathcal {K}}=\{S\subseteq \mathbb {R} :S{\text{ är avgränsad}}\}} är$ en δ -ring men inte en 𝜎-ring eftersom ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }[0,n]}$ inte är begränsad.

Se även

• Mängdfält – Algebraiskt begrepp inom måttteori, även kallad en algebra av mängder
• 𝜆-system (Dynkin-system) – Familj stängd under komplement och otaliga osammanhängande fackföreningar
• Monotone klass – teorem Sidor som visar wikidata-beskrivningar som reservsidor som visar korta beskrivningar utan mellanslag
• π -system – Familj av mängder slutna under skärningspunkten
• Ring of sets – Familj stängd under fackföreningar och anhöriga komplement
• σ-algebra – Algebrisk struktur för mängdalgebra
• 𝜎-ideal – Familjen stängd under undergrupper och räkningsbara fackföreningar
• 𝜎-ring – Ring stängd under räkningsbara förbund

• Cortzen, Allan. "Delta-ring." Från MathWorld—A Wolfram Web Resource, skapad av Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/Delta-Ring.html

Familjer ${\mathcal {F}}$ av uppsättningar över $\Omega$
Är nödvändigtvis sant för ${\mathcal {F}}\colon$ eller är ${\mathcal {F}}$ stängd under:	Regisserad av $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	FIP
π -system
Halvringning										Aldrig
Semialgebra (Semifield)										Aldrig
Monotone klass						endast om $A_{i}\searrow$	endast om $A_{i}\nearrow$
𝜆-system (Dynkin System)				endast om $A\subseteq B$			endast om $A_{i}\nearrow$ eller om de är osammanhängande			Aldrig
Ring (ordningsteori)
Ring (måttteori)										Aldrig
5-ring										Aldrig
𝜎-Ring										Aldrig
Algebra (fält)										Aldrig
𝜎-Algebra (𝜎-Fält)										Aldrig
Dubbelideal
Filtrera				Aldrig	Aldrig				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Förfilter (Filterbas)				Aldrig	Aldrig				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Filtrera subbas				Aldrig	Aldrig				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Öppen topologi							(även godtyckligt $\cup$ )			Aldrig
Sluten topologi						(även godtyckligt $\cap$ )				Aldrig
Är nödvändigtvis sant för ${\mathcal {F}}\colon$ eller är ${\mathcal {F}}$ stängd under:	riktad nedåt	ändliga skärningspunkter	ändliga fackföreningar	relativa komplement	komplement i $\Omega$	räknebara korsningar	räkneliga fackföreningar	innehåller $\Omega$	innehåller $\varnothing$	Finita skärningsegenskap _
Dessutom är en semiring ett π -system där varje komplement $B\setminus A$ är lika med en finit disjunkt union av mängder i ${\mathcal {F}}.$ En semialgebra är en semiring som innehåller $\Omega .$$A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ är godtyckliga element i ${\mathcal {F}}$ och det antas att ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$