Bimodul

I abstrakt algebra är en bimodul en abelsk grupp som är både en vänster- och en högermodul, så att vänster- och högermultiplikationerna är kompatibla. Förutom att förekomma naturligt i många delar av matematiken spelar bimoduler en klargörande roll, i den meningen att många av relationerna mellan vänster och höger moduler blir enklare när de uttrycks i termer av bimoduler.

Definition

Om R och S är två ringar är en R - S - bimodul en abelsk grupp $(M,+)$ så att:

M är en vänster R -modul och en höger S -modul.
För alla r i R , s i S och m i M : $(rm).s=r.(ms).$

En R - R -bimodul är också känd som en R -bimodul.

Exempel

För positiva heltal n och m är mängden M _{n , m} ( R ) av n × m matriser med reella tal en R - S - bimodul, där R är ringen M _n ( R ) av n × n matriser, och S är ringen M _m ( R ) av m × m matriser. Addition och multiplikation utförs med hjälp av de vanliga reglerna för matrisaddition och matrismultiplikation ; höjderna och bredderna på matriserna har valts så att multiplikation definieras. Observera att M _{n , m} ( R ) i sig inte är en ring (om inte n = m ), eftersom att multiplicera en n × m matris med en annan n × m matris inte är definierad. Den avgörande bimodulegenskapen, att ( r . x ). s = r .( x . s ) , är påståendet att multiplikation av matriser pendlar (vilket, i fallet med en matrisring , motsvarar associativitet ).
Varje algebra A över en ring R har den naturliga strukturen av en R -bimodul, med vänster och höger multiplikation definierad av ${\textstyle ra=\phi (r)a}$ och $ar=a\phi (r)$ , där $\phi :R\to A$ är den kanoniska inbäddningen av R i A .
Om R är en ring, så kan R själv betraktas som en R - R -bimodul genom att de vänstra och högra åtgärderna är multiplikation - åtgärderna pendlar genom associativitet. Detta kan utökas till Rn (den n -faldiga direkta produkten ^av R ) .
Varje dubbelsidig ideal för en ring R är en R - R -bimodul, med ringmultiplikationen både som vänster och höger multiplikation.
Varje modul över en kommutativ ring R har den naturliga strukturen av en bimodul. Till exempel, om M är en vänstermodul, kan vi definiera multiplikation till höger till att vara samma som multiplikation till vänster. (Men inte alla R -bimoduler uppstår på detta sätt: andra kompatibla högermultiplikationer kan finnas.)
Om M är en vänster R -modul, så är M en R - Z -bimodul, där Z är ringen av heltal . På liknande sätt kan högra R -moduler tolkas som Z - R -bimoduler. Vilken abelsk grupp som helst kan behandlas som en Z - Z -bimodul.
Om M är en höger R -modul, då är mängden End _R ( M ) för R -modulendomorfismer en ring med multiplikationen som ges av kompositionen. Endomorfismringen End _R ( M ) verkar på M genom vänstermultiplikation definierad av $fx=f(x)$ . Bimodulegenskapen, att $(fx).r=f.(xr)$ , återger att f är en R -modulhomomorfism från M till sig själv. Därför är varje rätt R -modul M en End _R ( M ) -R -bimodul. På liknande sätt är vilken vänster R -modul N som helst en R -End _R ( N ) ^op -bimodul.
Om R är en subring av S , så är S en R - R -bimodul. Det är också en R - S - och en S - R - bimodul.
Om M är en S - R -bimodul och N är en R - T -bimodul, så är $M\otimes _{R}N$ en S - T -bimodul.

Ytterligare föreställningar och fakta

Om M och N är R - S -bimoduler, så är en karta f : M → N en bimodulhomomorfism om den är både en homomorfism av vänster R -moduler och höger S -moduler.

En R - S -bimodul är faktiskt samma sak som en vänstermodul över ringen ${\displaystyle R\otimes _{\mathbb {Z} }S^{\text{op}}} ,$ där $S^{\text{op}}$ är den motsatta ringen av S (med multiplikationen vriden). Bimodulhomomorfismer är samma som homomorfismer för vänster $R\otimes _{\mathbb {Z} }S^{\text{op}}$ moduler. Med hjälp av dessa fakta kan många definitioner och påståenden om moduler omedelbart översättas till definitioner och påståenden om bimoduler. Till exempel kategorin för alla R - S -bimoduler abelisk , och standard isomorfismsatserna är giltiga för bimoduler.

Det finns dock några nya effekter i bimodulvärlden, speciellt när det gäller tensorprodukten: om M är en R - S -bimodul och N är en S - T -bimodul, då tensorprodukten av M och N (tagen över ringen S ) är en R - T -bimodul på ett naturligt sätt. Denna tensorprodukt av bimoduler är associativ ( upp till en unik kanonisk isomorfism), och man kan därför konstruera en kategori vars objekt är ringarna och vars morfismer är bimodulerna. Detta är i själva verket en 2-kategori , på ett kanoniskt sätt - 2 morfismer mellan R - S -bimodulerna M och N är exakt tvåmodulshomomorfismer, dvs funktioner

f:M\rightarrow N

tillfredsställande

$f(m+m')=f(m)+f(m')$
$f(rms)=rf(m).s$ ,

för m ∈ M , r ∈ R , och s ∈ S . Man verifierar omedelbart utbyteslagen för bimodulhomomorfismer, dvs

(f'\otimes g')\circ (f\otimes g)=(f' \circ f)\otimes (g'\circ g)

gäller när endera (och därmed den andra) sidan av ekvationen definieras, och där ∘ är den vanliga sammansättningen av homomorfismer. I denna tolkning är kategorin End ( R ) = Bimod ( R , R ) exakt den monoidala kategorin av R - R -bimoduler med den vanliga tensorprodukten över R kategorins tensorprodukt. I synnerhet, om R är en kommutativ ring , är varje vänster eller höger R -modul kanoniskt en R - R -bimodul, vilket ger en monoidal inbäddning av kategorin R - Mod i Bimod ( R , R ) . Fallet att R är ett fält K är ett motiverande exempel på en symmetrisk monoidal kategori, i vilket fall R - Mod = K - Vect , kategorin vektorrum över K , med den vanliga tensorprodukten $\ otimes =\otimes _{K}$ ger den monoidala strukturen, och med enheten K . Vi ser också att en monoid i Bimod ( R , R ) är exakt en R -algebra. Se (Street 2003). Dessutom, om M är en R - S -bimodul och L är en T - S -bimodul, så blir mängden Hom _S ( M , L ) för alla S -modulhomomorfismer från M till L en T - R -modul i en naturligt mode. Dessa uttalanden sträcker sig till de härledda funktionerna Ext och Tor .

Profunctors kan ses som en kategorisk generalisering av bimoduler.

Observera att bimoduler inte alls är relaterade till bialgebras .

Se även

profunctor

Jacobson, N. (1989). Grundläggande algebra II . WH Freeman och Company. s. 133–136. ISBN 0-7167-1933-9 .