Malcev algebra

För Lie-algebra eller grupper, se Malcev Lie-algebra .

Inom matematiken är en Malcev-algebra (eller Maltsev-algebra eller Moufang – Lie - algebra ) över ett fält en icke-associativ algebra som är antisymmetrisk, så att

$xy=-yx$

och tillfredsställer Malcev-identiteten

$(xy)(xz)=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)x)y.$

De definierades först av Anatolij Maltsev (1955).

Malcev algebror spelar en roll i teorin om Moufang loopar som generaliserar rollen av Lie algebras i teorin om grupper . Precis som tangentrymden för identitetselementet i en Lie-grupp bildar en Lie-algebra, bildar tangentrymden för identiteten för en slät Moufang-slinga en Malcev-algebra. Dessutom, precis som en Lie-grupp kan återvinnas från sin Lie-algebra under vissa tilläggsförhållanden, kan en jämn Moufang-loop återvinnas från dess Malcev-algebra om vissa tilläggsvillkor gäller. Detta gäller till exempel för en ansluten, enkelt ansluten realanalytisk Moufang-loop.

Exempel

• Alla Lie-algebra är en Malcev-algebra.
• Vilken alternativ algebra som helst kan göras till en Malcev-algebra genom att definiera Malcev-produkten till xy − yx .
• 7-sfären kan ges strukturen av en slät Moufang-slinga genom att identifiera den med enhetens oktonioner . Tangentrymden för identiteten för denna Moufang-slinga kan identifieras med det 7-dimensionella rummet av imaginära oktonioner. De imaginära oktonionerna bildar en Malcev-algebra med Malcev-produkten xy − yx .

Se även

• Malcev-tillåten algebra

Anteckningar

•   Elduque, Alberto; Myung, Hyo C. (1994), Mutations of alternative algebras , Kluwer, ISBN 0-7923-2735-7
• Filippov, VT (2001) [1994], "Mal'tsev algebra" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•   Mal'cev, AI (1955), "Analytiska loopar", Mat. Sb. , Ny serie (på ryska), 36 (78): 569–576, MR 0069190