Hookes lag

Hookes lag: kraften är proportionell mot förlängningen

Bourdon-rör är baserade på Hookes lag. Kraften som skapas av gastrycket inuti det lindade metallröret ovan lindar upp det med en mängd som är proportionell mot trycket.

Balanshjulet i kärnan i många mekaniska klockor och klockor beror på Hookes lag . Eftersom vridmomentet som genereras av spiralfjädern är proportionellt mot den vinkel som hjulet vrider, har dess oscillationer en nästan konstant period.

Inom fysiken är Hookes lag en empirisk lag som säger att kraften ( F ) som behövs för att förlänga eller komprimera en fjäder med ett visst avstånd ( x ) skalar linjärt med avseende på det avståndet - det vill säga F _s = kx , där k är en konstant faktor som är karakteristisk för fjädern (dvs dess styvhet ), och x är liten jämfört med fjäderns totala möjliga deformation. Lagen är uppkallad efter den brittiske fysikern Robert Hooke från 1600-talet . Han angav först lagen 1676 som ett latinskt anagram . Han publicerade lösningen av sitt anagram 1678 som: ut tensio, sic vis ("som förlängningen, alltså kraften" eller "förlängningen är proportionell mot kraften"). Hooke uppger i 1678 års arbete att han var medveten om lagen sedan 1660.

Hookes ekvation gäller (till viss del) i många andra situationer där en elastisk kropp är deformerad , som vind som blåser på en hög byggnad och en musiker som plockar en sträng på en gitarr. En elastisk kropp eller material för vilket denna ekvation kan antas sägs vara linjärelastisk eller Hookean .

Hookes lag är bara en första ordningens linjär approximation till det verkliga svaret av fjädrar och andra elastiska kroppar på applicerade krafter. Det måste så småningom misslyckas när krafterna överstiger någon gräns, eftersom inget material kan komprimeras utöver en viss minimistorlek, eller sträckas ut över en maximal storlek, utan någon permanent deformation eller förändring av tillstånd. Många material kommer märkbart att avvika från Hookes lag långt innan dessa elastiska gränser nås.

Å andra sidan är Hookes lag en korrekt approximation för de flesta fasta kroppar, så länge krafterna och deformationerna är tillräckligt små. Av denna anledning används Hookes lag flitigt inom alla grenar av vetenskap och ingenjörskonst, och är grunden för många discipliner som seismologi , molekylär mekanik och akustik . Det är också den grundläggande principen bakom fjäderskalan , manometern , galvanometern och balanshjulet för den mekaniska klockan .

Den moderna teorin om elasticitet generaliserar Hookes lag för att säga att töjningen (deformationen) av ett elastiskt föremål eller material är proportionell mot spänningen som appliceras på det. Men eftersom allmänna spänningar och töjningar kan ha flera oberoende komponenter, kanske "proportionalitetsfaktorn" inte längre bara är ett enda reellt tal, utan snarare en linjär karta (en tensor ) som kan representeras av en matris av reella tal.

I denna generella form gör Hookes lag det möjligt att härleda sambandet mellan töjning och spänning för komplexa objekt i termer av inneboende egenskaper hos materialen de är gjorda av. Till exempel kan man dra slutsatsen att en homogen stång med likformigt tvärsnitt kommer att bete sig som en enkel fjäder när den sträcks, med en styvhet k direkt proportionell mot dess tvärsnittsarea och omvänt proportionell mot dess längd.

Formell definition

För linjära fjädrar

Tänk på en enkel spiralfjäder som har en ände fäst vid något fast föremål, medan den fria änden dras av en kraft vars storlek är F _s . Antag att fjädern har nått ett jämviktstillstånd, där dess längd inte längre förändras. Låt x vara den mängd med vilken den fria änden av fjädern förskjuts från sitt "avslappnade" läge (när den inte sträcks). Hookes lag säger det

$$F_{s}=kx$$

eller på motsvarande sätt

$$x={\frac {F_{s}}{k}}$$

där k är ett positivt reellt tal, karakteristiskt för fjädern. Dessutom gäller samma formel när fjädern är komprimerad, med F _s och x båda negativa i det fallet. Enligt denna formel kommer grafen för den applicerade kraften F _s som funktion av förskjutningen x att vara en rät linje som går genom origo , vars lutning är k .

Hookes lag för en fjäder anges ibland, men sällan, enligt konventionen att F _s är den återställande kraft som utövas av fjädern på vad som än drar i dess fria ände. I så fall blir ekvationen

$$F_{s}=-kx$$

eftersom återställningskraftens riktning är motsatt den för förskjutningen.

Allmänna "skalära" fjädrar

Hookes fjäderlag gäller vanligtvis för vilket elastiskt föremål som helst, av godtycklig komplexitet, så länge som både deformationen och spänningen kan uttryckas med ett enda tal som kan vara både positivt och negativt.

Till exempel, när ett gummiblock som är fäst vid två parallella plattor deformeras genom skjuvning , snarare än sträckning eller kompression, följer skjuvkraften F _s och sidledsförskjutningen av plattorna x Hookes lag (för tillräckligt små deformationer).

Hookes lag gäller även när en rak stålstång eller betongbalk (som den som används i byggnader), uppburen i båda ändar, böjs av en vikt F placerad vid någon mellanliggande punkt. Förskjutningen x är i detta fall strålens avvikelse, mätt i tvärriktningen, i förhållande till dess obelastade form.

Lagen gäller även när en sträckt ståltråd vrids genom att man drar i en spak som är fäst i ena änden. I detta fall kan spänningen Fs _{tillryggalagt} tas som kraften som appliceras på hävarmen och x som sträckan som den längs dess cirkulära bana. Eller på motsvarande sätt kan man låta F _s vara vridmomentet som appliceras av spaken på änden av tråden, och x vara vinkeln med vilken den änden vrids. I båda fallen är F _{s proportionell mot} x (även om konstanten k är olika i varje fall.)

Vektor formulering

I fallet med en spiralfjäder som sträcks eller komprimeras längs sin axel , har den applicerade (eller återställande) kraften och den resulterande förlängningen eller kompressionen samma riktning (vilket är riktningen för nämnda axel). Därför, om F _s och x definieras som vektorer , håller Hookes ekvation fortfarande och säger att kraftvektorn är förlängningsvektorn multiplicerad med en fast skalär .

Allmän tensorform

Vissa elastiska kroppar kommer att deformeras i en riktning när de utsätts för en kraft med en annan riktning. Ett exempel är en horisontell träbalk med icke-fyrkantigt rektangulärt tvärsnitt som böjs av en tvärlast som varken är vertikal eller horisontell. I sådana fall storleken på förskjutningen x att vara proportionell mot storleken på kraften F _s , så länge som riktningen för den senare förblir densamma (och dess värde inte är för stort); så den skalära versionen av Hookes lag F _s = − kx kommer att hålla. Kraft- och förskjutningsvektorerna kommer dock inte att vara skalära multipler av varandra, eftersom de har olika riktningar. Dessutom kommer förhållandet k mellan deras magnituder att bero på riktningen för _vektorn Fs .

Men i sådana fall finns det ofta ett fast linjärt förhållande mellan kraft- och deformationsvektorerna, så länge de är tillräckligt små. Det finns nämligen en funktion κ från vektorer till vektorer, så att F = κ ( X ) , och κ ( α X ₁ + β X ₂ ) = α κ ( X ₁ ) + β κ ( X ₂ ) för alla reella tal α , β och eventuella förskjutningsvektorer X ₁ , X ₂ . En sådan funktion kallas en (andra ordningens) tensor .

Med avseende på ett godtyckligt kartesiskt koordinatsystem kan kraft- och förskjutningsvektorerna representeras av 3 × 1 matriser av reella tal. Då kan tensorn κ som förbinder dem representeras av en 3 × 3 matris κ av reella koefficienter, som, när den multipliceras med förskjutningsvektorn, ger kraftvektorn:

$${\f {displaystyle F} math \,=\,{\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\kappa _{11} &\kappa _{12}&\kappa _{13}\\\kappa _{21}&\kappa _{22}&\kappa _{23}\\\kappa _{31}&\kappa _{32 }&\kappa _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\boldsymbol {\kappa }}\mathbf {X} }$$

Det är,

$$\kappa _{i1}X_{1}+\kappa _{i2}X_{2}+ \kappa _{i3}X_{3}}$$

för i = 1, 2, 3 . Därför kan Hookes lag F = κ X sägas gälla även när X och F är vektorer med variabla riktningar, förutom att objektets styvhet är en tensor κ , snarare än ett enda reellt tal k .

Hookes lag för kontinuerlig media

Huvudartikel: linjär elasticitet

(a) Schematisk över en polymer nanofjäder. Spolradien, R, stigning, P, fjäderlängden, L, och antalet varv, N, är 2,5 μm, 2,0 μm, 13 μm respektive 4. Elektronmikrofotografier av nanofjädern, före laddning (be), sträckt (f), komprimerad (g), böjd (h) och återhämtad (i). Alla skalstänger är 2 μm. Fjädern följde ett linjärt svar mot applicerad kraft, vilket visar giltigheten av Hookes lag på nanoskala.

Spänningarna och töjningarna av materialet inuti ett kontinuerligt elastiskt material (som ett gummiblock, väggen på en panna eller en stålstång) är sammankopplade av ett linjärt förhållande som matematiskt liknar Hookes fjäderlag, och som ofta hänvisas till till med det namnet.

Emellertid kan stamtillståndet i ett fast medium runt någon punkt inte beskrivas av en enda vektor. Samma materialpaket, oavsett hur litet det är, kan komprimeras, sträckas och klippas samtidigt i olika riktningar. På samma sätt kan spänningarna i det paketet vara att trycka, dra och klippa samtidigt.

För att fånga denna komplexitet måste det relevanta tillståndet för mediet runt en punkt representeras av två-sekunders ordningens tensorer, töjningstensorn ε ( i stället för förskjutningen X ) och spänningstensorn σ (ersätter återställningskraften F) ). Analogen till Hookes vårlag för kontinuerlig media är sedan

$${\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {c} {\boldsymbol {\varepsilon }},$$

där c är en tensor av fjärde ordningen (det vill säga en linjär karta mellan andra ordningens tensorer) som vanligtvis kallas styvhetstensor eller elasticitetstensor . Man kan också skriva det som

$${\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {s} {\boldsymbol {\sigma }},$$

där tensorn s , kallad compliance tensor , representerar inversen av nämnda linjära karta.

I ett kartesiskt koordinatsystem kan spänningen och töjningens tensorer representeras av 3 × 3 matriser

$${\boldsymbol {\varepsilon }}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _ &\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32 }&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12 }&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{ 33}\end{bmatrix}}$$

Eftersom det är en linjär avbildning mellan de nio talen σ _ij och de nio talen ε _{kl ,} representeras styvhetstensorn c av en matris på 3 × 3 × 3 × 3 = 81 reella tal c _ijkl . Hookes lag säger då det

$$\sigma _{ij}=\summa _{k=1}^{3}\summa _{l= 1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}$$

där i , j = 1,2,3 .

Alla tre tensorerna varierar i allmänhet från punkt till punkt inuti mediet och kan också variera med tiden. Töjningstensorn ε specificerar endast förskjutningen av mediumpartiklarna i närheten av punkten, medan spänningstensorn σ specificerar de krafter som närliggande paket av mediet utövar på varandra. Därför är de oberoende av materialets sammansättning och fysiska tillstånd. Styvheten tensor c , å andra sidan, är en egenskap hos materialet och beror ofta på fysiska tillståndsvariabler som temperatur, tryck och mikrostruktur .

På grund av de inneboende symmetrierna för σ , ε , och c , är endast 21 elastiska koefficienter av de senare oberoende. Detta antal kan minskas ytterligare genom materialets symmetri: 9 för en ortorombisk kristall, 5 för en hexagonal struktur och 3 för en kubisk symmetri. För isotropa medier (som har samma fysikaliska egenskaper i vilken riktning som helst) kan c reduceras till endast två oberoende tal, bulkmodulen K och skjuvmodulen G , som kvantifierar materialets motståndskraft mot förändringar i volym respektive mot skjuvdeformationer. .

Analoga lagar

vätskors rörelse eller polariseringen av ett dielektrikum genom ett elektriskt fält .

Speciellt liknar tensorekvationen σ = cε som relaterar elastiska spänningar till töjningar helt ekvationen τ = με̇ som hänför sig till den viskösa spänningstensorn τ och töjningshastighetstensorn ε̇ i flöden av viskösa vätskor; även om den förra hänför sig till statiska spänningar (relaterad till mängden deformation) medan den senare hänför sig till dynamiska spänningar (relaterade till deformationshastigheten ).

Måttenheter

I SI-enheter mäts förskjutningar i meter (m) och krafter i newton (N eller kg·m/s ² ). Därför mäts fjäderkonstanten k , och varje element i tensorn κ , i newton per meter (N/m), eller kilogram per sekund i kvadrat (kg/s ² ).

För kontinuerliga medier är varje element i spänningstensorn σ en kraft dividerad med en area; det mäts därför i tryckenheter, nämligen pascal (Pa, eller N/m ² , eller kg/(m·s ² ). Elementen i töjningstensorn ε är dimensionslösa (förskjutningar dividerade med avstånd). Därför är inmatningarna av c _ijkl uttrycks också i tryckenheter.

Allmän tillämpning på elastiska material

Spännings-töjningskurva för lågkolhaltigt stål, som visar sambandet mellan spänningen (kraft per ytenhet) och töjning (resulterande kompression/töjning, känd som deformation). Hookes lag är endast giltig för delen av kurvan mellan origo och sträckgränsen (2).

• 1: Ultimat styrka
• 2: Sträckgräns (sträckgräns)
• 3: Spricka
• 4: Töjningshärdande område
• 5 : Halsregion
• A: Uppenbar stress ( F / A ₀ )
• B: Faktisk stress ( F / A )

Föremål som snabbt återtar sin ursprungliga form efter att ha deformerats av en kraft, där molekylerna eller atomerna i deras material återgår till det initiala tillståndet av stabil jämvikt, lyder ofta Hookes lag.

Hookes lag gäller endast för vissa material under vissa lastningsförhållanden. Stål uppvisar linjärelastiskt beteende i de flesta tekniska tillämpningar; Hookes lag är giltig för den i hela dess elastiska intervall (dvs för spänningar under sträckgränsen) . För vissa andra material, såsom aluminium, är Hookes lag endast giltig för en del av det elastiska området. För dessa material definieras en proportionell gränsspänning, under vilken felen associerade med den linjära approximationen är försumbara.

Gummi betraktas generellt som ett "icke-Hookean"-material eftersom dess elasticitet är stressberoende och känslig för temperatur och belastningshastighet.

Generaliseringar av Hookes lag för fallet med stora deformationer tillhandahålls av modeller av neo-Hookean solids och Mooney-Rivlin solids .

Härledda formler

Dragspänning av en enhetlig stång

En stav av vilket elastiskt material som helst kan ses som en linjär fjäder . Staven har längd L och tvärsnittsarea A . Dess dragspänning σ är linjärt proportionell mot dess fraktionella utsträckning eller töjning ε med elasticitetsmodulen E :

$$\sigma =E\varepsilon .$$

Elasticitetsmodulen kan ofta anses vara konstant. I tur och ordning,

$$\varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}$$

(det vill säga bråkförändringen i längd), och sedan

$$\sigma ={\frac {F}{A}}\,,$$

det följer att:

$$\varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}={\frac {F}{AE}}\,.$$

Längdförändringen kan uttryckas som

$$\Delta L=\varepsilon L={\frac {FL}{AE}}\,.$$

Vårenergi

Den potentiella energin U _el ( x ) lagrad i en fjäder ges av

$$U_{\mathrm {el} }(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}$$

som kommer från att lägga ihop den energi som krävs för att stegvis komprimera fjädern. Det vill säga integralen av kraft över förskjutning. Eftersom den yttre kraften har samma allmänna riktning som förskjutningen, är den potentiella energin hos en fjäder alltid icke-negativ.

Denna potentiella U _el kan visualiseras som en parabel på Ux -planet så att U _el ( x ) = 1 / 2 kx ² . När fjädern sträcks i positiv x -riktning ökar den potentiella energin paraboliskt (samma sak händer när fjädern komprimeras). Eftersom förändringen i potentiell energi ändras med konstant hastighet:

$${\frac {d^{2}U_{\mathrm {el} }}{dx^{2}}}=k\,.$$

Observera att förändringen i förändringen i U är konstant även när förskjutningen och accelerationen är noll.

Relaxerade kraftkonstanter (generaliserade efterlevnadskonstanter)

Relaxerade kraftkonstanter (inversen av generaliserade efterlevnadskonstanter ) är unikt definierade för molekylära system, i motsats till de vanliga "styva" kraftkonstanterna, och deras användning tillåter därför meningsfulla korrelationer mellan kraftfält beräknade för reaktanter , övergångstillstånd och produkter av en kemisk reaktion . Precis som den potentiella energin kan skrivas som en kvadratisk form i de inre koordinaterna, så kan den också skrivas i termer av generaliserade krafter. De resulterande koefficienterna kallas efterlevnadskonstanter. Det finns en direkt metod för att beräkna följsamhetskonstanten för alla interna koordinater hos en molekyl, utan att behöva göra normalmodsanalysen. Lämpligheten av avslappnade kraftkonstanter (omvända följsamhetskonstanter) som för kovalent bindningsstyrka demonstrerades redan 1980. Nyligen demonstrerades även lämpligheten som icke-kovalenta bindningsstyrka.

Harmonisk oscillator

Se även: Harmonisk oscillator

En massa upphängd av en fjäder är det klassiska exemplet på en harmonisk oscillator

En massa m fäst vid änden av en fjäder är ett klassiskt exempel på en harmonisk oscillator . Genom att dra lätt i massan och sedan släppa den kommer systemet att ställas i sinusformad oscillerande rörelse kring jämviktspositionen. I den mån fjädern lyder Hookes lag, och att man kan försumma friktionen och fjäderns massa, kommer svängningens amplitud att förbli konstant; och dess frekvens f kommer att vara oberoende av dess amplitud, bestäms endast av fjäderns massa och styvhet:

$$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$$

Detta fenomen möjliggjorde konstruktionen av exakta mekaniska klockor och klockor som kunde bäras på fartyg och människors fickor.

Rotation i tyngdkraftsfritt utrymme

Om massan m Ft _var fäst vid en fjäder med kraftkonstant k och Fc _roterande i fritt utrymme, skulle fjäderspänningen ( ) ge den erforderliga centripetalkraften ( ):

$$F_{\mathrm {t} }=kx\,;\qquad F_{\mathrm {c} }=m\omega ^{2}r$$

Eftersom F _t = F _c och x = r , då:

$$k=m\omega ^{2}$$

Med tanke på att ω = 2π f , leder detta till samma frekvensekvation som ovan:

$$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$$

Linjär elasticitetsteori för kontinuerliga medier

Se även: Elasticitetstensor

Notera: Einsteins summeringskonvention för summering på upprepade index används nedan.

Isotropa material

För en analog utveckling för viskösa vätskor, se Viskositet .

Isotropa material kännetecknas av egenskaper som är oberoende av riktning i rymden. Fysikaliska ekvationer som involverar isotropa material måste därför vara oberoende av det koordinatsystem som valts för att representera dem. Töjningstensorn är en symmetrisk tensor. Eftersom spåret av någon tensor är oberoende av vilket koordinatsystem som helst, är den mest fullständiga koordinatfria nedbrytningen av en symmetrisk tensor att representera den som summan av en konstant tensor och en spårlös symmetrisk tensor. Så i indexnotation :

$$\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3 }}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij} \höger)}$$

där δ _ij är Kroneckerdeltat . I direkt tensor notation:

$${\boldsymbol {\varepsilon }}=\operatörsnamn {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\operatörsnamn {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatörsnamn {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatörsnamn {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon } })~\mathbf {I} \,;\qquad \operatörsnamn {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatörsnamn {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})$$

där I är andra ordningens identitetstensor.

Den första termen till höger är den konstanta tensorn, även känd som den volymetriska töjningstensorn , och den andra termen är den spårlösa symmetriska tensorn, även känd som den deviatoriska töjningstensoren eller skjuvtensorn.

Den mest allmänna formen av Hookes lag för isotropa material kan nu skrivas som en linjär kombination av dessa två tensorer:

$$\sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _ {ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\ boldsymbol {\sigma }}=3K\operatörsnamn {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatörsnamn {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})$$

där K är bulkmodulen och G är skjuvmodulen .

Med hjälp av sambanden mellan elasticitetsmodulerna kan dessa ekvationer också uttryckas på olika andra sätt. En vanlig form av Hookes lag för isotropa material, uttryckt i direkt tensornotation, är ${\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatörsnamn {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\ boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {I}}$ där λ = K − 2 / 3 G = c ₁₁₁₁ − 2 c ₁₂₁₂ och μ = G = c ₁₂₁₂ är Lamé-konstanterna , I är den andra rangens identitetstensor, och I är den symmetriska delen av den fjärde rangens identitetstensor. I indexnotation:

$$\sigma _{ij}=\lambda \varepsilon _{kk}~\ delta _{ij}+2\mu \varepsilon _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,;\qquad c_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl} +\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)$$

Det omvända förhållandet är

$${\bold symbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2\mu }}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\ operatornamn {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} ={\frac {1}{2G}}{\boldsymbol {\sigma }}+\left({\frac {1}{9K }}-{\frac {1}{6G}}\right)\operatörsnamn {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I}$$

är följsamhetstensorn i relationen ε = s : σ

$${\mathsf {s}}= -{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2\mu }}{\ mathsf {I}}=\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac { 1}{2G}}{\mathsf {I}}$$

När det gäller Youngs modul och Poissons förhållande kan Hookes lag för isotropa material då uttryckas som

$$\varepsilon _{ij}={\frac {1} {E}}{\big (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big )}\,;\qquad { \boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{E}}{\big (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatörsnamn {tr} ({\boldsymbol {\sigma }}) \mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu } {E}}\operatörsnamn {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I}$$

Detta är den form i vilken töjningen uttrycks i termer av spänningstensorn inom teknik. Uttrycket i utökad form är

$${\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{11}-\nu ( \sigma _{22}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22} -\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _ {12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{ 2G}}\sigma _{23}\end{aligned}}$$

där E är Youngs modul och ν är Poissons förhållande . (Se 3-D elasticitet ).

Härledning av Hookes lag i tre dimensioner

Den tredimensionella formen av Hookes lag kan härledas med hjälp av Poissons förhållande och den endimensionella formen av Hookes lag enligt följande. Betrakta töjnings- och spänningsrelationen som en överlagring av två effekter: sträckning i belastningens riktning (1) och krympning (orsakad av belastningen) i vinkelräta riktningar (2 och 3),

$${\begin{aligned}\varepsilon _{1}'&={\frac {1}{E}}\sigma _{1}\,,\\\varepsilon _{2}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\\ \varepsilon _{3}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\end{aligned}}$$

där ν är Poissons förhållande och E är Youngs modul.

Vi får liknande ekvationer som belastningarna i riktningarna 2 och 3,

$${\begin{aligned}\varepsilon _{1}''&=-{ \frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{2}''&={\frac {1}{E}}\sigma _{2}\,, \\\varepsilon _{3}''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\end{aligned}}$$

och

$${\begin{aligned}\varepsilon _{1}'''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{2}' ''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{3}'''&={\frac {1}{E}}\sigma _{3}\,.\end{aligned}}$$

Genom att summera de tre fallen ( ε _i = ε _i ′ + ε _i ″ + ε _i ‴ ) får vi

$${\begin{aligned}\varepsilon _{1}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{1}-\nu (\ sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{ 2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\ stor (}\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}){\big )}\,,\end{aligned}}$$

eller genom att addera och subtrahera ett νσ

$${\begin{aligned}\varepsilon _{1}&={\ frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{1}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}) {\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu)\sigma _{2}-\nu (\ sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\ big (}(1+\nu )\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\end {Justerat}}$$

och vidare kommer vi genom att lösa σ ₁

$$\sigma _{1}={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {\nu}{1+\nu }}(\sigma _{1 }+\sigma _{2}+\sigma _{3})\,.$$

Beräknar summan

$${\begin{aligned}\varepsilon _{1}+\varepsilon _ {2}+\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu)(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-3\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}={\frac {1-2\nu }{E} }(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\\\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}&={\frac {E}{1-2\nu }}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\end{aligned}}$$

och att ersätta den med ekvationen löst för σ ₁ ger

$${\begin{aligned}\sigma _{1}&={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {E\nu }{(1+ \nu )(1-2\nu )}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\\&=2\mu \varepsilon _{1}+\lambda (\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\,,\end{aligned}}$$

där μ och λ är Lamé-parametrarna .

Liknande behandling av riktningarna 2 och 3 ger Hookes lag i tre dimensioner.

I matrisform kan Hookes lag för isotropa material skrivas som

$${\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\{\2varepsilon _\{2varepsilon _ }\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin {bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\ end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}$$

där γ _ij = 2 ε _ij är den tekniska skjuvtöjningen . Den omvända relationen kan skrivas som

$${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22} \\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{( 1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1- 2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23 }\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$$

som kan förenklas tack vare Lamé-konstanterna:

$${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{ 13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ {11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix }}$$

I vektornotation blir detta

$${\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22} &\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\ varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}& \varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33} \höger)$$

där jag är identitetens tensor.

Plan stress

Under planspänningsförhållanden är σ ₃₁ = σ ₁₃ = σ ₃₂ = ₂₃ = σ ₃₃ = 0 . σ I så fall tar Hookes lag formen

$${\begin{bmatrix}\sigma _\_ \sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\ nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\ \2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$$

I vektornotation blir detta

$$_ bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1- \nu ^{2}}}\left((1-\nu ){\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22 }\end{bmatrix}}+\nu \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}\right)\right)}$$

Den omvända relationen skrivs vanligtvis i reducerad form

$${\begin{bmatrix}\varepsilon _{11} varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\ nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}$$

Plan stam

Under plana töjningsförhållanden ε₂₃ = är e31 = e13 = _e32 = _{e23 =} e33 ₌ = 0. In this case Hooke's law takes the form

$$ε start{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu) (1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\ end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$

Anisotropa material

Symmetrin för Cauchy-spänningstensorn ( σ _ij = σ _ji ) och de generaliserade Hookes lagar ( σ _ij = c _ijkl ε _kl ) antyder att c _ijkl = c _jikl . På liknande sätt innebär symmetrin för den infinitesimala töjningstensorn att c _ijkl = c _ijlk . Dessa symmetrier kallas mindre symmetrier för styvhetstensor c . Detta minskar antalet elastiska konstanter från 81 till 36.

Om dessutom, eftersom förskjutningsgradienten och Cauchy-spänningen är arbetskonjugat, kan förhållandet mellan spänning och töjning härledas från en funktionell töjningsenergitäthet ( U ), då

$$\sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2} U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,.$$

Godtyckligheten i differentieringsordningen innebär att c _ijkl = c _klij . Dessa kallas de stora symmetrierna för styvhetstensorn. Detta minskar antalet elastiska konstanter från 36 till 21. De stora och små symmetrierna indikerar att styvhetstensorn endast har 21 oberoende komponenter.

Matrisrepresentation (styvhetstensor)

Det är ofta användbart att uttrycka den anisotropa formen av Hookes lag i matrisnotation, även kallad Voigt-notation . För att göra detta drar vi fördel av symmetrin hos spännings- och töjningstensorerna och uttrycker dem som sexdimensionella vektorer i ett ortonormalt koordinatsystem ( e ₁ , e ₂ , e ₃ ) som

$$[\sigma fet}symbol ,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\ \sigma _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,;\qquad [{\boldsymbol {\varepsilon }}]\,=\,{\begin{ bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12 }\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\ \\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}$$

kan styvhetstensorn ( c ) uttryckas som

$$[{\mathsf {c}}]\,=\,{\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112} \\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c}_{3_c 3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{1_{3123}&c_{1_{3123} &c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}C_{ 11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\ C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46} \\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{ 66}\end{bmatrix}}$$

och Hookes lag är skriven som

$$[{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\varepsilon }}]\qquad {\text{eller}}\qquad \sigma _{i} =C_{ij}\varepsilon _{j}\,.$$

På liknande sätt kan överensstämmelsetensor( erna ) skrivas som

$$[{\mathsf {s}}]\,=\,{\begin {bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_{2211}&s_{2222}&s_{2233}&s_{2233}&2s_2s_{2}2s{1} {2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\\2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{23_32s{3}32s{3}&{4} }&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112}\\2s_{1211}&2s_{12221}_2s&3s_{12221}_2}s&3s_{12221}_2s {1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\ \S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36 }\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_{15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_ {56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}$$

Byte av koordinatsystem

Om ett linjärt elastiskt material roteras från en referenskonfiguration till en annan, är materialet symmetriskt med avseende på rotationen om komponenterna i styvhetstensorn i den roterade konfigurationen är relaterade till komponenterna i referenskonfigurationen genom relationen

$$rk}l_{sl}c_{ijkl }}$$

där lab _] är komponenterna i en ortogonal rotationsmatris [ L . Samma förhållande gäller även för inversioner.

I matrisnotation, om den transformerade basen (roterad eller inverterad) är relaterad till referensbasen med

$$[\mathbf {e} _{i}']=[L][\mathbf {e} _{i}]$$

sedan

$$C_{ij}\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}=C_{ij}'\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j}\,.$$

Dessutom, om materialet är symmetriskt med avseende på transformationen [ L ] då

$$C_{ij}=C'_{ij}\quad \implies \quad C_{ij}(\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}-\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{ j})=0\,.$$

Ortotropa material

Huvudartikel: Ortotropiskt material

Ortotropa material har tre ortogonala symmetriplan . Om basvektorerna ( e ₁ , e ₂ , e ₃ ) är normaler till symmetriplanen så innebär koordinattransformationsrelationerna att

$${\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{ 5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22} &C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_bmatrix{66}\end\}{bematrix bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end {bmatrix}}$$

Det omvända till denna relation skrivs vanligtvis som

$${\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{ zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _ {yx}}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x }}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz }}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix }}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}$$

var

• E _i är Youngs modul längs axeln i
• G _ij är skjuvmodulen i riktning j på planet vars normal är i riktning i
• ν _ij är Poissons förhållande som motsvarar en kontraktion i riktning j när en förlängning appliceras i riktning i .

Under planspänningsförhållanden , σ _zz = σ _zx = σ _yz = 0 , tar Hookes lag för ett ortotropiskt material formen

$${\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{ \frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{ x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _ {xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,.$$

Det omvända förhållandet är

$${\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{1 -\nu _{xy}\nu _{yx}}}{\begin{bmatrix}E_{x}&\nu _{yx}E_{x}&0\\\nu _{xy}E_{y}&E_ {y}&0\\0&0&G_{xy}(1-\nu _{xy}\nu _{yx})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{ åå}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,.$$

Den transponerade formen av ovanstående styvhetsmatris används också ofta.

Tvärgående isotropa material

Ett transversellt isotropiskt material är symmetriskt med avseende på en rotation kring en symmetriaxel . För ett sådant material, om e ₃ är symmetriaxeln, kan Hookes lag uttryckas som

$${\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\ \sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12} &C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0}-C_{\\0&0&0&0}-C C_{12}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4 }\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}$$

Oftare anses x ≡ e ₁ -axeln vara symmetriaxeln och den omvända Hookes lag skrivs som

$${\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{ zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _ {yx}}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x }}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz }}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xz}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix }}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}$$

Universellt elastiskt anisotropiindex

För att förstå graden av anisotropi av vilken klass som helst, formulerades ett universellt elastiskt anisotropiindex (AU). Den ersätter Zener-förhållandet , som är lämpligt för kubiska kristaller .

Termodynamisk grund

Linjära deformationer av elastiska material kan approximeras som adiabatiska . Under dessa förhållanden och för kvasistatiska processer kan termodynamikens första lag för en deformerad kropp uttryckas som

$$\delta W=\delta U$$

där δU är ökningen av inre energi och δW är arbetet som utförs av yttre krafter. Arbetet kan delas upp i två terminer

$$\delta W=\delta W_{\mathrm {s} }+\delta W_{\mathrm {b} }$$

där δW _s är det arbete som utförs av ytkrafter medan δW _b är det arbete som utförs av kroppskrafter . Om δ u är en variation av förskjutningsfältet u i kroppen, så kan de två externa arbetstermerna uttryckas som

$$\delta W_{\mathrm {s} }=\int _{\partial \Omega }\mathbf {t} \cdot \delta \mathbf {u} \ ,dS\,;\qquad \delta W_{\mathrm {b} }=\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV$$

där t är ytdragningsvektorn , b är kroppskraftsvektorn, Ω representerar kroppen och ∂ Ω representerar dess yta. Med hjälp av förhållandet mellan Cauchy-spänningen och ytdragningen, t = n · σ (där n är enheten utåtnormal till ∂ Ω ), har vi

$$\delta W=\delta U=\int _{\partial \Omega }(\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }})\cdot \delta \mathbf {u} \,dS+\ int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV\,.$$

Att omvandla ytintegralen till en volymintegral via divergenssatsen ger

$$\delta U=\int _{\Omega }{\big (}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \delta \mathbf {u})+\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} {\big )}\,dV\,.$$

Använder symmetri av Cauchy-stressen och identiteten

$$\nabla \cdot (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(\nabla \cdot \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} +{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}} :\nabla \mathbf {b} +\mathbf {a} :(\nabla \mathbf {b} )^{\mathsf {T}}\right)$$

vi har följande

$$\delta U=\int _{\Omega }\left({\boldsymbol {\sigma }}:{\tfrac {1}{2}}\left(\nabla \delta \mathbf {u} +( \nabla \delta \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)+\left(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} \right)\cdot \delta \mathbf {u} \right)\,dV\,.$$

Från definitionen av töjning och från de ekvationer av jämvikt vi har

$$\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\nabla \delta \mathbf {u} +(\nabla \delta \mathbf {u})^{ \mathsf {T}}\right)\,;\qquad \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} =\mathbf {0} \,.$$

Därför kan vi skriva

$$\delta U=\int _{\Omega }{\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,dV$$

ges variationen i den inre energitätheten av

$$\delta U_{0}={\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,.$$

Ett elastiskt material definieras som ett där den totala inre energin är lika med den potentiella energin för de inre krafterna (även kallad den elastiska töjningsenergin) . Därför är den inre energitätheten en funktion av töjningarna, ₀₀ U = U ( ε ) och variationen av den inre energin kan uttryckas som

$$\delta U_{0}={\frac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,.$$

Eftersom töjningsvariationen är godtycklig, ges förhållandet mellan spänning och töjning av ett elastiskt material av

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}\,.$$

För ett linjärt elastiskt material är kvantiteten ∂ U ₀ / ∂ ε en linjär funktion av ε , och kan därför uttryckas som

$${\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}$$

där c är en fjärderangstensor av materialkonstanter, även kallad styvhetstensor . Vi kan se varför c måste vara en fjärderangstensor genom att notera att för ett linjärt elastiskt material,

$${\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}{\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})={\text{konstant}}= {\mathsf {c}}\,.$$

I indexnotation

$${\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial \varepsilon _{kl}}}={\text{constant}}=c_{ijkl}\,.$$

Högerkonstanten kräver fyra index och är en kvantitet i fjärde rang. Vi kan också se att denna storhet måste vara en tensor eftersom det är en linjär transformation som tar töjningstensorn till spänningstensorn. Vi kan också visa att konstanten följer tensortransformationsreglerna för fjärderangstensorer.

Se även

• Akustoelastisk effekt
• Elastisk potentiell energi
• Vetenskapens lagar
• Lista över vetenskapliga lagar uppkallade efter människor
• Kvadratisk form
• Serie- och parallellfjädrar
• Fjädring
• Enkel harmonisk rörelse av en massa på en fjäder
• Sinusvåg
• Solid mekanik
• Fjäderpendel

Anteckningar

•   Ugural, AC; Fenster, SK (2003). Advanced Strength and Applied Elasticity (4:e upplagan). Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-047392-9 .
• Walter Lewin förklarar Hookes lag . Från Walter Lewin (1 oktober 1999). Hookes lag, enkel harmonisk oscillator. MIT-kurs 8.01: Klassisk mekanik, föreläsning 10 (videoband). Cambridge, MA USA: MIT OCW . Händelsen inträffar 1:21–10:10. Arkiverad från originalet (ogg) den 29 juni 2011 . Hämtad 23 december 2010 . ...förmodligen den viktigaste ekvationen i hela fysik.
• Ett test av Hookes lag . Från Walter Lewin (1 oktober 1999). Hookes lag, enkel harmonisk oscillator. MIT-kurs 8.01: Klassisk mekanik, föreläsning 10 (videoband). Cambridge, MA USA: MIT OCW. Evenemanget äger rum kl 10:10–16:33. Arkiverad från originalet (ogg) den 29 juni 2011 . Hämtad 23 december 2010 .

externa länkar

• JavaScript-applet som visar Springs och Hookes lag
• JavaScript-applet som visar Spring Force

Omvandlingsformler
Homogena isotropa linjära elastiska material har sina elastiska egenskaper unikt bestämda av två av dessa moduler; sålunda, givet vilka två som helst, kan alla andra av de elastiska modulerna beräknas enligt dessa formler, förutsatt både för 3D-material (första delen av tabellen) och för 2D-material (andra delen).
3D-formler	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	Anteckningar
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu)}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(MK)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(MK)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu)}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+ES}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ Det finns två giltiga lösningar. Plustecknet leder till $\nu \geq 0$ . Minustecknet leder till $\nu \leq 0$ .
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu)}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu)}{\nu }}$	Kan inte användas när $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{MG}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu)}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu)}{2(1-\nu)}}$
2D-formler	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	Anteckningar
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\ mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{ \mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{ \mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }} }$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{ \mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_ {\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{ \mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\ mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+ \nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1 -\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{ \mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }} }$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} } )(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	Kan inte användas när $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }) }{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$