Linjär elasticitet

Linjär elasticitet är en matematisk modell av hur fasta föremål deformeras och blir internt belastade på grund av föreskrivna belastningsförhållanden. Det är en förenkling av den mer allmänna olinjära teorin om elasticitet och en gren av kontinuummekaniken .

De grundläggande "lineariserande" antagandena om linjär elasticitet är: oändligt små töjningar eller "små" deformationer (eller töjningar) och linjära samband mellan komponenterna av spänning och töjning. Dessutom är linjär elasticitet endast giltig för spänningstillstånd som inte ger eftergivenhet .

Dessa antaganden är rimliga för många tekniska material och tekniska designscenarier. Linjär elasticitet används därför flitigt i strukturanalys och teknisk design, ofta med hjälp av finita elementanalys .

Matematisk formulering

Ekvationer som styr ett linjärt elastiskt gränsvärdesproblem baseras på tre tensorpartiella differentialekvationer för balansen mellan linjärt momentum och sex infinitesimala töjnings - förskjutningsrelationer . Systemet av differentialekvationer kompletteras av en uppsättning linjära algebraiska konstitutiva relationer .

Direkt tensorform

I direkt tensorform som är oberoende av valet av koordinatsystem är dessa styrande ekvationer:

• Rörelseekvationen , som är ett uttryck för Newtons andra lag :
  $${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {F} =\rho {\ddot {\mathbf {u} }}$$
• Töjningsförskjutningsekvationer :
  $${\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf { u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]$$
• Konstitutiva ekvationer . För elastiska material Hookes lag materialets beteende och relaterar de okända spänningarna och töjningarna. Den allmänna ekvationen för Hookes lag är
  $${\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }},$$

där ${\boldsymbol {\sigma }}$ är Cauchy-spänningstensorn , ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ är den oändliga töjningstensorn , $\mathbf {u}$ är förskjutningsvektorn , ${\mathsf {C}}$ är fjärde ordningens styvhetstensor , $\mathbf {F}$ är kroppskraften per volymenhet, $displaystyle \rho }$ \ är masstätheten, ${\boldsymbol {\nabla }}$ representerar nabla-operatorn , $(\bullet )^{\mathrm {T} }$ representerar en transponering , ${\ddot {(\bullet )}}$ representerar andraderivatan med avseende på tid, och ${\displaystyle {\mathsf {A}}:{\mathsf {B}}=A_{ij}B_{ij}} är den$ inre produkten av två andra ordningens tensorer (summation över upprepade index antyds).

Kartesisk koordinatform

Notera: Einsteins summeringskonvention för summering på upprepade index används nedan.

Uttryckt i termer av komponenter med avseende på ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem är de styrande ekvationerna för linjär elasticitet:

• Rörelseekvation :
  $$\sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}$$
  där ${(\bullet )}_{,j}$ underskrift är en förkortning för $\partial {(\bullet )}/\partial x_ {j}$ och $\partial _{tt}$ indikerar $\partial ^{2}/\partial t^{2}$ ,
  $}=\sigma _{ji}}$$F_{i}$ är Cauchy- spänningstensorn , är kroppskraftdensiteten, $\rho$ är massan densitet, och $u_{i}$ är förskjutningen. Dessa är 3 oberoende ekvationer med 6 oberoende okända (spänningar). I teknisk notation är de:
  $${\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{ \frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial t^{2}} }\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \ tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}} {\partial z}}+F_{z}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$$
• Töjningsförskjutningsekvationer :
  $$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{j,i}+u_{i,j })$$
  där $\varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!$ är stammen. Dessa är 6 oberoende ekvationer som relaterar töjningar och förskjutningar med 9 oberoende okända (töjningar och förskjutningar). I teknisk notation är de:
  $${\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\\\epsilon _{y}={\frac {\partial u_{ y}}{\partial y}}\\\epsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\ gamma _{xy}={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\\\gamma _{yz}= {\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\\\gamma _{zx}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\end{aligned}}$$
• Konstitutiva ekvationer . Ekvationen för Hookes lag är:
  $$\sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}$$
  där $C_{ijkl}$ är styvhetstensorn. Dessa är 6 oberoende ekvationer som relaterar spänningar och töjningar. Kravet på symmetri av spännings- och töjningstensorerna leder till likhet mellan många av de elastiska konstanterna, vilket minskar antalet olika element till 21 $C_{ijkl}=C_{klij}=C_{jikl}=C_{ijlk}$ .

Ett elastostatiskt gränsvärdesproblem för ett isotropiskt-homogent medium är ett system med 15 oberoende ekvationer och lika många okända (3 jämviktsekvationer, 6 töjnings-förskjutningsekvationer och 6 konstitutiva ekvationer). Genom att specificera gränsvillkoren är gränsvärdesproblemet helt definierat. För att lösa systemet kan två tillvägagångssätt tas i enlighet med randvillkoren för gränsvärdeproblemet: en förskjutningsformulering och en stressformulering .

Cylindrisk koordinatform

I cylindriska koordinater ( ${\displaystyle r,\theta ,z} )$ är rörelseekvationerna

$${\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{ r\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}(\sigma _{rr} -\sigma _{\theta \theta })+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\ frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \ theta }}+{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial z}}+{\frac {2}{r}}\sigma _{r\theta }+F_{\theta } =\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial r }}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{ \partial z}}+{\frac {1}{r}}\sigma _{rz}+F_{z}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t ^{2}}}\end{aligned}}$$

Stam-förskjutningsförhållandena är

$${\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}~;~~\varepsilon _{\theta \theta }={\ frac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)~;~~\varepsilon _{zz}={ \frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r} }{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{ r}}\right)~;~~\varepsilon _{\theta z}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta}}{\partial z}} +{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)~;~~\varepsilon _{zr}={\cfrac {1}{ 2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}$$

och de konstitutiva relationerna är desamma som i kartesiska koordinater, förutom att indexen $1$ , $2$ , $3$ nu står för $r$ , $\theta$ , $z$ , respektive.

Sfärisk koordinatform

I sfäriska koordinater ( ${\displaystyle r,\theta ,\phi } )$ är rörelseekvationerna

$${\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{ r\theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial \phi }}+ {\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta}-\sigma _{\phi \phi}+\sigma _{r\theta}\cot \ theta )+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r \theta }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1 }{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}[(\sigma _{\ theta \theta }-\sigma _{\phi \phi })\cot \theta +3\sigma _{r\theta }]+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2} u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r} }{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\ phi \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{\theta \phi }\cot \theta +3\sigma _{r\phi})+ F_{\phi }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\phi}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$$

Sfäriska koordinater ( r , θ , φ ) som vanligen används inom fysiken : radiellt avstånd r , polär vinkel θ ( theta ) och azimutvinkel φ ( phi ). Symbolen ρ ( rho ) används ofta istället för r .

Töjningstensorn i sfäriska koordinater är

$${\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&= {\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial u_ {r}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {u_{\theta }}{r}}\right)\\ \varepsilon _{\theta \phi }&={\frac {1}{2r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial u_{\theta }}{ \partial \phi }}+\left({\frac {\partial u_{\phi}}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\right]\\\varepsilon _ {r\phi }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\frac {u_{\phi }}{r}}\right).\end{aligned}}$$

(An)isotropa (o)homogena medier

I isotropa medier ger styvhetstensorn förhållandet mellan spänningarna (resulterande inre spänningar) och töjningarna (resulterande deformationer). För ett isotropiskt medium har styvhetstensorn ingen föredragen riktning: en applicerad kraft kommer att ge samma förskjutningar (relativt till kraftens riktning) oavsett i vilken riktning kraften appliceras. I det isotropiska fallet kan styvhetstensorn skrivas:

$$C_{ijkl}=K\, \delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\tfrac { 2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})$$

där $\delta _{ij}$ är Kronecker delta , K är bulkmodulen (eller inkompressibilitet), och $\mu$ är skjuvmodulen (eller styvheten), två elasticitetsmoduler . Om mediet är inhomogent, är den isotropiska modellen förnuftig om antingen mediet är styckvis konstant eller svagt inhomogent; i den starkt inhomogena jämna modellen måste anisotropi beaktas. Om mediet är homogent , då kommer elasticitetsmodulerna att vara oberoende av positionen i mediet. Den konstitutiva ekvationen kan nu skrivas som:

$$\sigma _{ij}=K\delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _ {ij}\varepsilon _{kk}\right).$$

Detta uttryck separerar spänningen i en skalär del till vänster som kan vara associerad med ett skalärt tryck och en spårlös del till höger som kan vara associerad med skjuvkrafter. Ett enklare uttryck är:

$$\sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij }$$

där λ är Lamés första parameter . Eftersom den konstitutiva ekvationen helt enkelt är en uppsättning linjära ekvationer, kan töjningen uttryckas som en funktion av spänningarna som:

$$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{9K} }\delta _{ij}\sigma _{kk}+{\frac {1}{2\mu }}\left(\sigma _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ ij}\sigma _{kk}\right)$$

vilket återigen är en skalär del till vänster och en spårlös skjuvdel till höger. Enklare:

$$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2\mu }}\sigma _{ij}-{\frac {\nu}{E}}\delta _{ij}\sigma _{ kk}={\frac {1}{E}}[(1+\nu )\sigma _{ij}-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}]$$

där $\nu$ är Poissons förhållande och $E$ är Youngs modul .

Elastostatik

Elastostatik är studiet av linjär elasticitet under jämviktsförhållanden, där alla krafter på den elastiska kroppen summeras till noll, och förskjutningarna inte är en funktion av tiden. Jämviktsekvationerna är då

$$\sigma _{ji,j}+F_{i}=0.$$

I teknisk notation (med tau som skjuvspänning ),

• ${\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac { \partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0$
• ${\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac { \partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=0$
• ${\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac { \partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=0$

Detta avsnitt kommer endast att diskutera det isotropiska homogena fallet.

Förskjutningsformulering

I detta fall är förskjutningarna föreskrivna överallt i gränsen. I detta tillvägagångssätt elimineras töjningarna och spänningarna från formuleringen, vilket lämnar förskjutningarna som de okända som ska lösas i de styrande ekvationerna. Först ersätts töjningsförskjutningsekvationerna i de konstitutiva ekvationerna (Hookes lag), vilket eliminerar töjningarna som okända:

$$\sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}=\lambda \delta _{ij}u_{k,k}+ \mu \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right).$$

Differentiering (förutsatt att $\lambda$ och $\mu$ är rumsligt enhetliga) ger:

$$\sigma _{ij,j}=\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right).$$

Substitution i jämviktsekvationen ger:

$$\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_ {j,ij}\right)+F_{i}=0$$

eller (ersätter dubbla (dummy) (=summation) index k,k med j,j och utbyter index, ij till, ji efter, i kraft av Schwarz' teorem )

$$\mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ji}+F_{i }=0$$

där $\lambda$ och $\mu$ är Lamé-parametrar . På detta sätt är de enda okända som finns kvar är förskjutningarna, därav namnet på denna formulering. De styrande ekvationerna som erhålls på detta sätt kallas de elastostatiska ekvationerna , specialfallet med Navier–Cauchy-ekvationerna som anges nedan.

Härledning av Navier–Cauchy-ekvationer i teknisk notation

Först kommer ${\displaystyle x} -riktningen att övervägas.$ Att ersätta töjningsförskjutningsekvationerna med jämviktsekvationen i $x$ -riktningen vi har

$$\sigma _{x}=2\mu \varepsilon _{x}+\lambda (\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z})=2\mu {\ frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}} {\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)$$

$$\tau _{xy}=\mu \gamma _{xy}=\mu \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)$$

$$\tau _{xz}=\mu \gamma _{zx}=\mu \left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)$$

Sedan ersätter vi dessa ekvationer i jämviktsekvationen i $x\,\!$ -riktningen vi har

$${\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac { \partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0$$

$${\frac {\partial }{\partial x}}\left(2\mu {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\ partiell u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right )\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y }}{\partial x}}\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\ frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)+F_{x}=0$$

Med antagandet att $\mu$ och $\lambda$ är konstanta kan vi ordna om och få:

$$\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x }}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}+{ \frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{x}=0$$

Genom att följa samma procedur för $y\,\!$ -riktningen och $z\,\!$ -riktningen har vi

$$\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x }}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}+{ \frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{y}=0$$

$$\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x }}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial y^{2}}}+{ \frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{z}=0$$

Dessa tre sista ekvationer är Navier–Cauchy-ekvationerna, som också kan uttryckas i vektornotation som

$$(\lambda +\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u})+\mu \nabla ^{2 }\mathbf {u} +\mathbf {F} =0$$

När förskjutningsfältet har beräknats kan förskjutningarna ersättas i töjnings-förskjutningsekvationerna för att lösa för töjningar, som senare används i de konstitutiva ekvationerna för att lösa spänningar.

Den biharmoniska ekvationen

Den elastostatiska ekvationen kan skrivas:

$$(\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,ij}+\beta ^{2}u_{i,mm}=-F_{i}.$$

Om vi ​​tar divergensen på båda sidor av den elastostatiska ekvationen och antar att kroppskrafterna har noll divergens (homogen i domänen) ( ${\displaystyle F_{i,i}=0\,\!} )$ har vi

$$(\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,iij}+ \beta ^{2}u_{i,imm}=0.$$

När man noterar att summerade index inte behöver matcha, och att de partiella derivatorna pendlar, ses de två differentialtermerna vara desamma och vi har:

$$\alpha ^{2}u_{j,iij}=0$$

där vi drar slutsatsen att:

$$u_{j,iij}=0.$$

Om vi ​​tar Laplacian på båda ${\displaystyle F_{i,kk}=0\,\!} ,$ av den elastostatiska ekvationen och antar dessutom har vi

$$(\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,kkij }+\beta ^{2}u_{i,kkmm}=0.$$

Från divergensekvationen är den första termen till vänster noll (Obs: återigen behöver de summerade indexen inte matcha) och vi har:

$$\beta ^{2}u_{i,kkmm}=0$$

där vi drar slutsatsen att:

$$u_{i,kkmm}=0$$

eller, i fri koordinatnotation $\nabla ^{4}\mathbf {u} =0$ som bara är den biharmoniska ekvationen i $\mathbf {u} \,\!$ .

Stressformulering

I detta fall är ytdragningarna föreskrivna överallt på ytgränsen. I detta tillvägagångssätt elimineras töjningarna och förskjutningarna och lämnar spänningarna som de okända som ska lösas i de styrande ekvationerna. När spänningsfältet har hittats, hittas töjningarna med hjälp av de konstitutiva ekvationerna.

Det finns sex oberoende komponenter i spänningstensorn som måste bestämmas, men i förskjutningsformuleringen finns det bara tre komponenter i förskjutningsvektorn som behöver bestämmas. Detta betyder att det finns vissa begränsningar som måste läggas på spänningstensorn för att minska antalet frihetsgrader till tre. Med hjälp av de konstitutiva ekvationerna härleds dessa begränsningar direkt från motsvarande begränsningar som måste gälla för töjningstensorn, som också har sex oberoende komponenter. Restriktionerna på töjningstensorn kan härledas direkt från definitionen av töjningstensorn som en funktion av förskjutningsvektorfältet, vilket innebär att dessa begränsningar inte introducerar några nya begrepp eller information. Det är begränsningarna på töjningstensorn som är lättast att förstå. Om det elastiska mediet visualiseras som en uppsättning infinitesimala kuber i det otränade tillståndet, måste en godtycklig töjningstensor, efter att mediet har ansträngts, ge en situation där de förvrängda kuberna fortfarande passar ihop utan att överlappa varandra. Med andra ord, för en given töjning måste det finnas ett kontinuerligt vektorfält (förskjutningen) från vilket den töjningstensorn kan härledas. Begränsningarna på töjningstensorn som krävs för att säkerställa att så är fallet upptäcktes av Saint Venant och kallas " Saint Venant-kompatibilitetsekvationer ". Dessa är 81 ekvationer, varav 6 är oberoende icke-triviala ekvationer, som relaterar de olika stamkomponenterna. Dessa uttrycks i indexnotation som:

$$\varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij} -\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0.$$

I teknisk notation är de:

$${\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}\\&{\frac { \partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}} }=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{ \partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\ epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\ partiell }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y} }+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{ zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z }}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\ frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\end{aligned}}$$

Töjningarna i denna ekvation uttrycks sedan i termer av spänningarna med hjälp av de konstitutiva ekvationerna, vilket ger motsvarande begränsningar på spänningstensorn. Dessa begränsningar på spänningstensorn är kända som Beltrami-Michells kompatibilitetsekvationer:

$$\sigma _{ ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}+F_{i,j}+F_{j,i}+{\frac {\nu}{1 -\nu }}\delta _{i,j}F_{k,k}=0.$$

I den speciella situationen där kroppskraften är homogen reduceras ovanstående ekvationer till

$$(1+\nu )\sigma _{ij,kk}+\sigma _{kk,ij}=0.$$

Ett nödvändigt men otillräckligt villkor för kompatibilitet i denna situation är ${\boldsymbol {\nabla }}^{4}{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {0}}$ eller $\sigma _{ij,kk\ell \ell }=0$ .

Dessa begränsningar, tillsammans med jämviktsekvationen (eller rörelseekvationen för elastodynamik) möjliggör beräkning av spänningstensorfältet. När väl spänningsfältet har beräknats från dessa ekvationer, kan töjningarna erhållas från de konstitutiva ekvationerna och förskjutningsfältet från töjnings-förskjutningsekvationerna.

En alternativ lösningsteknik är att uttrycka spänningstensorn i termer av spänningsfunktioner som automatiskt ger en lösning på jämviktsekvationen. Spänningsfunktionerna följer då en enda differentialekvation som motsvarar kompatibilitetsekvationerna.

Lösningar för elastostatiska fall

Thomsons lösning - punktkraft i ett oändligt isotropiskt medium

Den viktigaste lösningen av Navier–Cauchy eller elastostatiska ekvationen är för en kraft som verkar vid en punkt i ett oändligt isotropiskt medium. Denna lösning hittades av William Thomson (senare Lord Kelvin) 1848 (Thomson 1848). Denna lösning är analogen till Coulombs lag inom elektrostatik . En härledning ges i Landau & Lifshitz. Definiera

$$a=1-2\nu$$

$$b=2(1-\nu )=a+1$$

där $\nu$ är Poissons förhållande, kan lösningen uttryckas som

$$u_{i}=G_{ik}F_{k}$$

där $F_{k}$ är kraftvektorn som appliceras vid punkten, och $G_{ik}$ är en tensor Greens funktion som kan skrivas i kartesiska koordinater som:

$$G_{ik}={\frac {1}{4\pi \ mu r}}\left[\left(1-{\frac {1}{2b}}\right)\delta _{ik}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x_{i} x_{k}}{r^{2}}}\höger]$$

Det kan också skrivas kompakt som:

$$G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}\ vänster[{\frac {\delta _{ik}}{r}}-{\frac {1}{2b}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial x_{i}\partial x_ {k}}}\right]$$

och det kan uttryckligen skrivas som:

$$G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b }}{\frac {x^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xy}{r^{2}}}&{\frac { 1}{2b}}{\frac {xz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {yx}{r^{2}}}&1-{\ frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {y^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\ frac {yz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {zx}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{ \frac {zy}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{ 2}}}\end{bmatrix}}$$

I cylindriska koordinater ( $\rho ,\phi ,z\,\!$ ) kan det skrivas som:

$$G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2} }{r^{2}}}&0&{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho z}{r^{2}}}\\0&1-{\frac {1}{2b}} &0\\{\frac {1}{2b}}{\frac {z\rho }{r^{2}}}&0&1-{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho ^{2 }}{r^{2}}}\end{bmatrix}}$$

där r är det totala avståndet till punkten.

Det är särskilt användbart att skriva förskjutningen i cylindriska koordinater för en punktkraft $F_{z}$ riktad längs z-axeln. Definiera ${\hat {\boldsymbol {\rho }}}$ och ${\hat {\mathbf {z} }}$ som enhetsvektorer i $\rho$ och $z$ riktningar ger respektive:

$$\mathbf {u} ={\frac {F_{z}}{4\pi \mu r}}\left[{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\ frac {\rho z}{r^{2}}}{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\left(1-{\frac {1}{4(1-\nu )}}\, {\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {z} }}\right]$$

Det kan ses att det finns en komponent av förskjutningen i kraftens riktning, som minskar, vilket är fallet för potentialen i elektrostatik, som 1/ r för stort r . Det finns också en extra ρ-riktad komponent.

Boussinesq-Cerruti lösning - punktkraft vid ursprunget till ett oändligt isotropiskt halvrum

En annan användbar lösning är en punktkraft som verkar på ytan av ett oändligt halvrum. Den härleddes av Boussinesq för normalkraften och Cerruti för tangentialkraften och en härledning ges i Landau & Lifshitz. I det här fallet skrivs lösningen återigen som en gröns tensor som går till noll i oändligheten, och komponenten av spänningstensorn vinkelrät mot ytan försvinner. Denna lösning kan skrivas i kartesiska koordinater som [recall: $a=(1-2\nu )$ och $b=2(1-\nu )$ , $\nu$ = Poissons förhållande]:

$$G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}{\begin{bmatrix}{\frac {b}{r}}+{\frac {x^{2}}{ r^{3}}}-{\frac {ax^{2}}{r(r+z)^{2}}}-{\frac {az}{r(r+z)}}&{\ frac {xy}{r^{3}}}-{\frac {axy}{r(r+z)^{2}}}&{\frac {xz}{r^{3}}}-{\ frac {ax}{r(r+z)}}\\{\frac {yx}{r^{3}}}-{\frac {ayx}{r(r+z)^{2}}}& {\frac {b}{r}}+{\frac {y^{2}}{r^{3}}}-{\frac {ay^{2}}{r(r+z)^{2 }}}-{\frac {az}{r(r+z)}}&{\frac {yz}{r^{3}}}-{\frac {ay}{r(r+z)}} \\{\frac {zx}{r^{3}}}-{\frac {ax}{r(r+z)}}&{\frac {zy}{r^{3}}}-{\ frac {ay}{r(r+z)}}&{\frac {b}{r}}+{\frac {z^{2}}{r^{3}}}\end{bmatrix}}$$

Andra lösningar

• Punktkraft inuti ett oändligt isotropiskt halvrum.
• Punktkraft på en yta av ett isotropiskt halvrum.
• Kontakt mellan två elastiska kroppar: Hertz-lösningen (se Matlab-kod ). Se även sidan om Kontaktmekanik .

Elastodynamik vad gäller förskjutningar

Elastodynamik är studiet av elastiska vågor och involverar linjär elasticitet med variation i tiden. En elastisk våg är en typ av mekanisk våg som utbreder sig i elastiska eller viskoelastiska material. Materialets elasticitet ger vågens återställande kraft . När de uppstår i jorden som ett resultat av en jordbävning eller annan störning kallas elastiska vågor vanligtvis seismiska vågor .

Den linjära momentumekvationen är helt enkelt jämviktsekvationen med en extra tröghetsterm:

$$\sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \,{\ddot {u}}_{i}=\rho \,\partial _{tt}u_{i}.$$

Om materialet styrs av den anisotropa Hookes lag (med styvhetstensorn homogen genom hela materialet), erhåller man förskjutningsekvationen för elastodynamiken :

$$\left(C_{ijkl}u_{(k},_{l)}\right),_{j}+F_{i}=\rho {\ddot {u}}_{i}.$$

Om materialet är isotropt och homogent får man Navier–Cauchy-ekvationen :

$$\mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ij}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}\quad {\text{eller }}\quad \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +(\mu +\lambda )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mathbf {F} =\rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}.$$

Den elastodynamiska vågekvationen kan också uttryckas som

$$\left(\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ]\ höger)u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}$$

var

$$A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\ ,C_{iklj}\,\partial _{j}$$

är den akustiska differentialoperatorn och $\delta _{kl}$ är Kronecker delta .

I isotropa medier har styvhetstensorn formen

$$C_{ijkl}=K\, \delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\frac { 2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})$$

där $K$ är bulkmodulen (eller inkompressibilitet), och $\mu$ är skjuvmodulen (eller styvheten), två elasticitetsmoduler . Om materialet är homogent (dvs. styvhetstensorn är konstant i hela materialet), blir den akustiska operatören:

$$A_{ij}[\nabla ]=\alpha ^{2}\partial _{i}\partial _{j}+\beta ^{2}(\partial _{m}\partial _{m}\delta _{ij}-\partial _{i}\partial _{j})$$

För plana vågor blir differentialoperatorn ovan den akustiska algebraiska operatorn :

$$A_{ij}[\mathbf {k} ]=\alpha ^{2 }k_{i}k_{j}+\beta ^{2}(k_{m}k_{m}\delta _{ij}-k_{i}k_{j})$$

var

$$\alpha ^{2}=\left(K+{\frac {4}{3}}\mu \right)/\rho \qquad \beta ^{2}=\mu /\rho$$

är egenvärdena för $A[{\hat {\mathbf {k} }}]$ med egenvektorer ${\hat {\mathbf {u} }}$ parallella och ortogonala mot utbredningsriktningen ${\hat {\mathbf {k} }}\,\!$ . De associerade vågorna kallas longitudinella och skjuvelastiska vågor. I den seismologiska litteraturen kallas motsvarande plana vågor P-vågor och S-vågor (se Seismisk våg ).

Elastodynamik vad gäller spänningar

Eliminering av förskjutningar och töjningar från de styrande ekvationerna leder till Ignaczaks ekvation av elastodynamik

$$\left(\rho ^{- 1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-S_{ijkl}{\ddot {\sigma }}_{kl}+\left(\rho ^{-1 }F_{(i}\höger),_{j)}=0.$$

Vid lokal isotropi minskar detta till

$$\left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-{\frac {1}{2\mu }}\left( {\ddot {\sigma }}_{ij}-{\frac {\lambda }{3\lambda +2\mu }}{\ddot {\sigma }}_{kk}\delta _{ij}\right )+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.$$

De huvudsakliga egenskaperna hos denna formulering inkluderar: (1) undviker gradienter av följsamhet men introducerar gradienter av massdensitet; (2) den kan härledas från en variationsprincip; (3) det är fördelaktigt för att hantera problem med dragkraftens initiala gränsvärde, (4) tillåter en tensoriell klassificering av elastiska vågor, (5) erbjuder en rad tillämpningar vid problem med elastisk vågutbredning; (6) kan utvidgas till dynamiken hos klassiska eller mikropolära fasta ämnen med interagerande fält av olika typer (termoelastiska, vätskemättade porösa, piezoelektro-elastiska...) såväl som icke-linjära medier.

Anisotropa homogena medier

Huvudartikel: Hookes lag

För anisotropa medier är styvhetstensorn $C_{ijkl}$ mer komplicerad. Symmetrin för spänningstensorn $\sigma _{ij}$ betyder att det finns högst 6 olika spänningselement. På liknande sätt finns det högst 6 olika element i töjningens tensor $\varepsilon _{ij}\,\!$ . Därav fjärde ordningens styvhetstensor $C_{ijkl}$ kan skrivas som en matris $C_{\alpha \beta }$ (en tensor av andra ordningen). Voigt-notation är standardmappningen för tensorindex,

$${\displaystyle {\begin{matrix}Down&=$$

Med denna notation kan man skriva elasticitetsmatrisen för vilket linjärt elastiskt medium som helst som:

$$C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_ {12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\ \C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56 }\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.$$

Som visas är matrisen $C_{\alpha \beta }$ symmetrisk, detta är ett resultat av förekomsten av en töjningsenergidensitetsfunktion som uppfyller $\sigma _{ij}={\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ij}}}$ . Därför finns det högst 21 olika element av $C_{\alpha \beta }\,\!$ .

Det isotropiska specialfallet har 2 oberoende element:

$$C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K+ 4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&0&0&0\\0&0&0&\mu \ &0&0\\\0&0&0&0&\mu \ &0\\0&0&0&0&0&\mu \ \end{bmatrix}}.$$

Det enklaste anisotropa fallet, det med kubisk symmetri, har 3 oberoende element:

$$C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12 }&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}.$$

Fallet med transversell isotropi , även kallad polär anisotropi, (med en enda symmetriaxel (3-axeln)) har 5 oberoende element:

$${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11} &C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end.$$

När den tvärgående isotropin är svag (dvs. nära isotropi), är en alternativ parametrisering med Thomsen-parametrar lämplig för formlerna för våghastigheter.

Fallet med ortotropi (symmetri av en tegelsten) har 9 oberoende element:

$$C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13 }&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.$$

Elastodynamik

Den elastodynamiska vågekvationen för anisotropa medier kan uttryckas som

$$(\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ])\, u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}$$

var

$$A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\ ,C_{iklj}\,\partial _{j}$$

är den akustiska differentialoperatorn och $\delta _{kl}$ är Kronecker delta .

Plana vågor och Christoffels ekvation

En plan våg har formen

$$\mathbf {u} [\mathbf {x} ,\,t]=U[\mathbf {k} \cdot \mathbf { x} -\omega \,t]\,{\hat {\mathbf {u} }}$$

med ${\hat {\mathbf {u} }}\,\!$ av enhetslängd. Det är en lösning av vågekvationen med nollforcering, om och endast om $\omega ^{2}$ och ${\hat {\mathbf {u} }}$ utgör ett egenvärde/ egenvektorpar för den akustiska algebraiska operatorn

$$A_{kl}[\mathbf {k} ]={\frac {1}{\rho }}\,k_{i}\,C_{iklj}\,k_{j}.$$

Detta fortplantningsvillkor (även känt som Christoffel-ekvationen ) kan skrivas som

$$A[{\hat {\mathbf {k} }}]\,{\hat {\mathbf {u} }}=c^{2}\, {\hat {\mathbf {u} }}$$

där ${\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {k} /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}$ anger utbredningsriktning och $c=\omega /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}$ är fashastighet.

Se även

• Castiglianos metod
• Clapeyrons teorem (elasticitet)
• Kontakta mekaniker
• Deformation
• Elasticitet (fysik)
• GRADELA
• Hookes lag
• Infinitesimal töjningsteori
• Michell lösning
• Plasticitet (fysik)
• Signorini problem
• Fjädring
• Stress (mekanik)
• Stressfunktioner