Youngs modul

Youngs modul är lutningen för den linjära delen av spännings-töjningskurvan för ett material under spänning eller kompression.

Youngs modul $E$ , Young-modulen , eller elasticitetsmodulen i spänning eller kompression (dvs negativ spänning), är en mekanisk egenskap som mäter drag- eller tryckstyvheten hos ett fast material när kraften appliceras på längden . Den kvantifierar förhållandet mellan drag/tryckspänning σ $\displaystyle \sigma }$ (kraft per ytenhet) och axiell töjning $\varepsilon$ (proportionell deformation) i ett materials linjärelastiska område och bestäms med formeln :

$$E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}$$

Youngs moduler är vanligtvis så stora att de inte uttrycks i pascal utan i gigapascal (GPa).

Exempel:

• Silly Putty (ökande tryck: längden ökar snabbt, vilket betyder låg $E$ )
• Aluminium (ökande tryck: längden ökar långsamt, vilket betyder hög $E$ )

Högre Youngs modul motsvarar större (längdgående) styvhet.

Thomas Young från 1800-talet, utvecklades konceptet 1727 av Leonhard Euler . De första experimenten som använde begreppet Youngs modul i sin nuvarande form utfördes av den italienske vetenskapsmannen Giordano Riccati 1782, och pre-daterade Youngs arbete med 25 år. Termen modul kommer från den latinska grundtermen modus som betyder mått .

Definition

Linjär elasticitet

Huvudartikel: Linjär elasticitet

Ett fast material kommer att genomgå elastisk deformation när en liten belastning appliceras på det i kompression eller förlängning. Elastisk deformation är reversibel, vilket innebär att materialet återgår till sin ursprungliga form efter att belastningen avlägsnats.

Vid nästan noll spänning och töjning är spänning-töjningskurvan linjär och förhållandet mellan spänning och töjning beskrivs av Hookes lag som säger att spänning är proportionell mot töjning. Proportionalitetskoefficienten är Youngs modul. Ju högre modul, desto mer spänning behövs för att skapa samma mängd töjning; en idealiserad stel kropp skulle ha en oändlig Youngs modul. Omvänt skulle ett mycket mjukt material (som en vätska) deformeras utan kraft och skulle ha noll Youngs modul.

Inte många material är linjära och elastiska utöver en liten deformation.

Inte att förväxla med

Materialstyvhet ska inte förväxlas med dessa egenskaper:

• Styrka : maximal mängd påfrestningar som materialet kan motstå medan det förblir i den elastiska (reversibla) deformationsregimen;
• Geometrisk styvhet: en global egenskap hos kroppen som beror på dess form, och inte bara på materialets lokala egenskaper; till exempel har en I-balk en högre böjstyvhet än en stav av samma material för en given massa per längd;
• Hårdhet : materialets ytas relativa motstånd mot penetration av en hårdare kropp;
• Seghet : mängd energi som ett material kan absorbera före brott.

Användande

Youngs modul möjliggör beräkning av förändringen i dimensionen på en stång gjord av ett isotropiskt elastiskt material under drag- eller tryckbelastningar. Till exempel förutsäger den hur mycket ett materialprov sträcker sig under spänning eller förkortas under kompression. Youngs modul gäller direkt för fall av enaxlig spänning; det vill säga drag- eller tryckspänning i en riktning och ingen spänning i de andra riktningarna. Youngs modul används också för att förutsäga den avböjning som kommer att inträffa i en statiskt bestämd balk när en belastning appliceras i en punkt mellan balkens stöd.

Andra elastiska beräkningar kräver vanligtvis användning av ytterligare en elastisk egenskap, såsom skjuvmodulen $G$ , bulkmodulen $K$ och Poissons förhållande $\nu$ . Vilken som helst två av dessa parametrar är tillräckliga för att fullständigt beskriva elasticiteten i ett isotropt material. För homogena isotropa material enkla relationer mellan elastiska konstanter som gör det möjligt att beräkna dem alla så länge som två är kända:

$E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu).$

Linjär kontra icke-linjär

Youngs modul representerar proportionalitetsfaktorn i Hookes lag , som relaterar spänningen och töjningen. Hookes lag är dock endast giltig under antagandet av ett elastiskt och linjärt svar. Alla verkliga material kommer så småningom att gå sönder och gå sönder när de sträcks över ett mycket stort avstånd eller med en mycket stor kraft; dock uppvisar alla fasta material nästan Hookeanskt beteende för tillräckligt små påkänningar eller påfrestningar. Om intervallet över vilket Hookes lag är giltigt är tillräckligt stort jämfört med den typiska spänningen som man förväntar sig att utsättas för materialet, sägs materialet vara linjärt. Annars, (om den typiska spänningen man skulle tillämpa ligger utanför det linjära området) sägs materialet vara icke-linjärt.

stål , kolfiber och glas anses vanligtvis vara linjära material, medan andra material som gummi och jord är icke-linjära. Detta är dock inte en absolut klassificering: om mycket små spänningar eller töjningar appliceras på ett icke-linjärt material kommer svaret att vara linjärt, men om mycket hög spänning eller töjning appliceras på ett linjärt material kommer den linjära teorin inte att vara tillräckligt. Till exempel, eftersom den linjära teorin antyder reversibilitet , skulle det vara absurt att använda den linjära teorin för att beskriva fel på en stålbro under hög belastning; även om stål är ett linjärt material för de flesta tillämpningar, är det inte i ett sådant fall av katastrofala misslyckanden.

I solid mekanik kallas lutningen för spännings-töjningskurvan vid vilken punkt som helst för tangentmodulen . Det kan experimentellt bestämmas från lutningen av en spännings-töjningskurva som skapats under dragprover utförda på ett prov av materialet.

Riktningsmaterial

Youngs modul är inte alltid densamma i alla orienteringar av ett material. De flesta metaller och keramer, tillsammans med många andra material, är isotropa , och deras mekaniska egenskaper är desamma i alla riktningar. Men metaller och keramik kan behandlas med vissa föroreningar, och metaller kan bearbetas mekaniskt för att göra deras kornstrukturer riktade. Dessa material blir sedan anisotropa , och Youngs modul kommer att ändras beroende på kraftvektorns riktning. Anisotropi kan också ses i många kompositer. Till exempel kolfiber en mycket högre Youngs modul (är mycket styvare) när kraften belastas parallellt med fibrerna (längs fibrerna). Andra sådana material inkluderar trä och armerad betong . Ingenjörer kan använda detta riktningsfenomen till sin fördel för att skapa strukturer.

Temperaturberoende

Youngs modul av metaller varierar med temperaturen och kan realiseras genom förändringen i atomernas interatomära bindning, och därför visar sig dess förändring vara beroende av förändringen i metallens arbetsfunktion. Även om denna förändring klassiskt förutsägs genom passning och utan en tydlig underliggande mekanism (till exempel Watchmans formel), visar Rahemi-Li-modellen hur förändringen i elektronarbetsfunktionen leder till förändring i Youngs modul av metaller och förutsäger detta variation med beräkningsbara parametrar, med hjälp av generaliseringen av Lennard-Jones potential till fasta ämnen. I allmänhet, när temperaturen ökar, minskar Youngs modul via $E(T)=\beta (\varphi (T))^{6}$ där elektronarbetsfunktionen varierar med temperaturen eftersom $\varphi (T)=\varphi _{0}-\gamma {\frac {(k_{B} T)^{2}}{\varphi _{0}}}$ och $\gamma$ är en beräkningsbar materialegenskap som är beroende av kristallstrukturen (till exempel BCC, FCC). $\varphi _{0}$ är elektronarbetsfunktionen vid T=0 och $\beta$ är konstant under hela förändringen.

Beräkning

Youngs modul E , kan beräknas genom att dividera dragspänningen ${\displaystyle \sigma (\varepsilon )} ,$ med den tekniska töjningen , $varepsilon }$ \ , i elastiken (initial, linjär) del av den fysiska stress-töjningskurvan :

$$E\equiv {\frac {\sigma (\varepsilon )}{\varepsilon }}={\frac {F/ A}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0}}{A\,\Delta L}}$$

var

• $E$ är Youngs modul (elasticitetsmodul)
• $F$ är kraften som utövas på ett föremål under spänning;
• $A$ är den faktiska tvärsnittsarean, som är lika med arean av tvärsnittet vinkelrätt mot den applicerade kraften;
• $\Delta L$ är mängden med vilken längden på objektet ändras ( $\Delta L$ är positiv om materialet sträcks och negativt när materialet är komprimerat);
• $L_{0}$ är objektets ursprungliga längd.

Kraft som utövas av sträckt eller sammandraget material

Youngs modul för ett material kan användas för att beräkna kraften som det utövar under specifik belastning.

$F={\frac {EA\,\Delta L}{L_{0}}}$

där $F$ är kraften som utövas av materialet när det dras ihop eller sträcks av $\Delta L$ .

Hookes lag för en sträckt tråd kan härledas från denna formel:

$F=\left({\frac {EA}{L_{0}}}\right)\,\Delta L=kx$

där det kommer i mättnad

$k\equiv {\frac {EA}{L_{0}}}\,$ och $x\equiv \Delta L.$

Men observera att elasticiteten hos spiralfjädrar kommer från skjuvmodul , inte Youngs modul.

Elastisk potentiell energi

Den elastiska potentiella energin som lagras i ett linjärt elastiskt material ges av integralen av Hookes lag:

$U_{e}=\int {kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}.$

nu genom att förklara de intensiva variablerna:

$U_{e}=\int {\frac {EA\,\Delta L }{L_{0}}}\,d\Delta L={\frac {EA}{L_{0}}}\int \Delta L\,d\Delta L={\frac {EA\,{\Delta L}^{2}}{2L_{0}}}$

Detta betyder att den elastiska potentiella energitätheten (det vill säga per volymenhet) ges av:

${\frac {U_{e}}{AL_{0}}}={\frac {E\,{\Delta L}^{2}}{ 2L_{0}^{2}}}$

eller, i enkel notation, för ett linjärt elastiskt material: ${\textstyle u_{e}(\varepsilon )=\int {E\,\varepsilon } \,d\varepsilon ={\frac {1}{2}}E{\varepsilon }^{2}},$ eftersom stammen är definierad ${\textstyle \varepsilon \equiv {\frac {\Delta L}{L_{0}}}}$ .

I ett icke-linjärt elastiskt material är Youngs modul en funktion av töjningen, så den andra ekvivalensen gäller inte längre, och den elastiska energin är inte en kvadratisk funktion av töjningen:

$u_{e}(\varepsilon )=\int E(\varepsilon )\,\varepsilon \,d\varepsilon \neq {\frac {1}{2}}E\varepsilon ^{2}$

Ungefärliga värden

Influenser av utvalda glaskomponenttillsatser på Youngs modul för ett specifikt basglas

Youngs modul kan variera något på grund av skillnader i provsammansättning och testmetod. Deformationshastigheten har störst inverkan på data som samlas in, särskilt i polymerer . Värdena här är ungefärliga och endast avsedda för relativ jämförelse.

Ungefärlig Youngs modul för olika material

Material	Youngs modul ( GPa )	Megapound per kvadrattum ( M psi )	Ref.
Aluminium ( 13 Al)	68	9,86
Aminosyramolekylära kristaller	21 – 44	3.05 – 6.38
Aramid (till exempel Kevlar )	70,5 – 112,4	10.2 – 16.3
Aromatiska peptid-nanosfärer	230 – 275	33,4 – 39,9
Aromatiska peptid-nanorör	19 – 27	2,76 – 3,92
Bakteriofagkapsider _	1 – 3	0,145 – 0,435
Beryllium ( 4 Be)	287	41,6
Ben , mänsklig kortikal	14	2.03
Mässing	106	15.4
Brons	112	16.2
Kolnitrid (CN 2 )	822	119
Kolfiberförstärkt plast (CFRP), 50/50 fiber/matris, biaxiell väv	30 – 50	4.35 – 7.25
Kolfiberförstärkt plast (CFRP), 70/30 fiber/matris, enkelriktad, längs fiber	181	26.3
Kobolt-krom (CoCr)	230	33.4
Koppar (Cu), glödgat	110	16
Diamant (C), syntetisk	1050 – 1210	152 – 175
Kiselalgerfrustler , till stor del kiselsyra	0,35 – 2,77	0,051 – 0,058
Linfiber _	58	8,41
Flytglas	47,7 – 83,6	6.92 – 12.1
Glasförstärkt polyester (GRP)	17.2	2,49
Guld	77,2	11.2
Grafen	1050	152
Hampafiber _	35	5.08
Högdensitetspolyeten (HDPE)	0,97 – 1,38	0,141 – 0,2
Höghållfast betong	30	4,35
Bly ( 82 Pb), kemisk	13	1,89
Lågdensitetspolyeten (LDPE), gjuten	0,228	0,0331
Magnesiumlegering	45,2	6,56
Medium-density fiberboard (MDF)	4	0,58
Molybden (Mo), glödgat	330	47,9
Monel	180	26.1
Pärlemor (till stor del kalciumkarbonat )	70	10.2
Nickel ( 28 Ni), kommersiell	200	29
Nylon 66	2,93	0,425
Osmium ( 76 Os)	525 – 562	76,1 – 81,5
Osmiumnitrid ( OsN 2 )	194,99 – 396,44	28,3 – 57,5
Polykarbonat (PC)	2.2	0,319
Polyetylentereftalat (PET), oförstärkt	3.14	0,455
Polypropen (PP), gjuten	1,68	0,244
Polystyren , kristall	2,5 – 3,5	0,363 – 0,508
Polystyren, skum	0,0025 – 0,007	0,000363 – 0,00102
Polytetrafluoreten (PTFE), gjuten	0,564	0,0818
Gummi , liten stam	0,01 – 0,1	0,00145 – 0,0145
Kisel , enkristall, olika riktningar	130 – 185	18.9 – 26.8
Kiselkarbid (SiC)	90 – 137	13.1 – 19.9
Enkelväggigt nanorör i kol	$>$ 1000	${\displaystyle >>$ 140
Stål , A36	200	29
Brännässelfiber _	87	12.6
Titan ( 22 Ti)	116	16.8
Titanlegering , klass 5	114	16.5
Tandemalj , till stor del kalciumfosfat	83	12
Volframkarbid (WC)	600 – 686	87 – 99,5
Trä , amerikansk bok	9.5 – 11.9	1,38 – 1,73
Trä , svart körsbär	9 – 10.3	1,31 – 1,49
Trä , röd lönn	9.6 – 11.3	1,39 – 1,64
Smidesjärn	193	28
Yttriumjärngranat (YIG), polykristallin	193	28
Yttriumjärngranat (YIG), enkristall	200	29
Zink ( 30 Zn)	108	15.7
Zirkonium ( 40 Zr), kommersiellt	95	13.8

Se även

• Böjstyvhet
• Böjning
• Deformation
• Böjmodul
• Hookes lag
• Impulsexcitationsteknik
• Lista över materialegenskaper
• Yield (teknik)

Vidare läsning

• ASTM E 111, "Standard testmetod för Youngs modul, Tangent Modulus och Chord Modulus"
• ASM Handbook (olika volymer) innehåller Youngs Modulus för olika material och information om beräkningar. Onlineversion (prenumeration krävs)

externa länkar

• Matweb: gratis databas med tekniska egenskaper för över 115 000 material
• Youngs modul för grupper av material och deras kostnad

Omvandlingsformler
Homogena isotropa linjära elastiska material har sina elastiska egenskaper unikt bestämda av två av dessa moduler; sålunda, givet vilka två som helst, kan alla andra av de elastiska modulerna beräknas enligt dessa formler, förutsatt både för 3D-material (första delen av tabellen) och för 2D-material (andra delen).
3D-formler	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	Anteckningar
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu)}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(MK)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(MK)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu)}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+ES}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ Det finns två giltiga lösningar. Plustecknet leder till $\nu \geq 0$ . Minustecknet leder till $\nu \leq 0$ .
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu)}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu)}{\nu }}$	Kan inte användas när $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{MG}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu)}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu)}{2(1-\nu)}}$
2D-formler	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	Anteckningar
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\ mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{ \mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{ \mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }} }$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{ \mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_ {\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{ \mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\ mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+ \nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1 -\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{ \mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }} }$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} } )(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	Kan inte användas när $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }) }{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$