Poissons förhållande

Poissons förhållande mellan ett material definierar förhållandet mellan tvärspänning (x-riktning) och axiell töjning (y-riktning)

Inom materialvetenskap och solid mekanik är Poissons förhållande $displaystyle \nu }$ \ ( nu ) ett mått på Poisson-effekten , deformationen (expansion eller sammandragning) av ett material i riktningar som är vinkelräta mot den specifika belastningsriktningen . Värdet på Poissons förhållande är det negativa av förhållandet mellan tvärspänning och axiell töjning . För små värden på dessa förändringar $\nu$ mängden tvärgående förlängning delat med mängden axiell kompression . De flesta material har Poissons kvotvärden som sträcker sig mellan 0,0 och 0,5. För mjuka material, såsom gummi, där bulkmodulen är mycket högre än skjuvmodulen, är Poissons förhållande nära 0,5. För polymerskum med öppna celler är Poissons förhållande nära noll, eftersom cellerna tenderar att kollapsa vid kompression. Många typiska fasta ämnen har Poissons förhållanden i intervallet 0,2–0,3. Förhållandet är uppkallat efter den franske matematikern och fysikern Siméon Poisson .

Ursprung

Poissons förhållande är ett mått på Poisson-effekten, fenomenet där ett material tenderar att expandera i riktningar som är vinkelräta mot kompressionsriktningen. Omvänt, om materialet sträcks snarare än komprimeras, tenderar det vanligtvis att dra ihop sig i riktningarna tvärs mot sträckningsriktningen. Det är en vanlig observation när ett gummiband sträcks, det blir märkbart tunnare. Återigen kommer Poisson-kvoten att vara förhållandet mellan relativ kontraktion och relativ expansion och kommer att ha samma värde som ovan. I vissa sällsynta fall kommer ett material faktiskt att krympa i tvärriktningen när det komprimeras (eller expandera när det sträcks) vilket kommer att ge ett negativt värde på Poisson-förhållandet.

Poisson-förhållandet för ett stabilt, isotropiskt , linjärt elastiskt material måste vara mellan -1,0 och +0,5 på grund av kravet på att Youngs modul , skjuvmodulen och bulkmodulen ska ha positiva värden. De flesta material har Poissons kvotvärden som sträcker sig mellan 0,0 och 0,5. Ett perfekt inkompressibelt isotropiskt material som deformerats elastiskt vid små spänningar skulle ha ett Poisson-förhållande på exakt 0,5. De flesta stål och stela polymerer när de används inom sina konstruktionsgränser (före utbyte ) uppvisar värden på cirka 0,3, vilket ökar till 0,5 för deformation efter skörd som sker i stort sett vid konstant volym. Gummi har ett Poisson-förhållande på nästan 0,5. Corks Poisson-förhållande är nära 0, visar mycket liten lateral expansion när det komprimeras och glaset är mellan 0,18 och 0,30. Vissa material, t.ex. vissa polymerskum, origamiveck och vissa celler kan uppvisa negativa Poissons förhållande och kallas auxetiska material . Om dessa auxetiska material sträcks i en riktning blir de tjockare i vinkelrät riktning. Däremot kan vissa anisotropa material, såsom kolnanorör , sicksackbaserade vikta arkmaterial och bikakebaserade auxetiska metamaterial för att nämna några, uppvisa en eller flera Poissons förhållanden över 0,5 i vissa riktningar.

Förutsatt att materialet sträcks eller komprimeras i endast en riktning ( x -axeln i diagrammet nedan):

$\nu =-{\frac {d\varepsilon _{\ mathrm {trans} }}{d\varepsilon _{\mathrm {axial} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {y} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} } }}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {z} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}$

var

• $\nu$ är det resulterande Poissons förhållande,
• $\varepsilon _{\mathrm {trans} }$ är tvärgående töjning
• $\varepsilon _{\mathrm {axial} }$ är axiell töjning

och positiv töjning indikerar förlängning och negativ töjning indikerar kontraktion.

Poissons förhållande från geometriförändringar

Längdförändring

Figur 1: En kub med sidor av längden L av ett isotropiskt linjärt elastiskt material utsatt för spänning längs x-axeln, med ett Poissons förhållande på 0,5. Den gröna kuben är oansträngd, den röda expanderas i x -riktningen med Δ L på grund av spänning och dras samman i y- och z -riktningarna med Δ' L .

För en kub sträckt i x -riktningen (se figur 1) med en längdökning på $\Delta L$ i x- riktningen, och en längdminskning på $\Delta L'$ i y- och z - riktningarna ges de oändliga diagonala töjningarna av

$d\varepsilon _{x}={\frac {dx}{x}}\qquad d\varepsilon _{y}={\frac {dy}{y}}\qquad d\varepsilon _{z} ={\frac {dz}{z}}.$

Om Poissons förhållande är konstant genom deformation ger integration av dessa uttryck och användning av definitionen av Poissons förhållande

$-\nu \int _{L}^{L+\Delta L}{\frac {dx}{x}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dy} {y}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dz}{z}}.$

Lösning och exponentiering, förhållandet mellan $\Delta L$ och $\Delta L'$ är då

$\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{-\nu }=1+{\frac {\Delta L'}{L}}.$

För mycket små värden på $\Delta L$ och $\Delta L'$ ger första ordningens approximation:

$\nu \approx -{\frac {\Delta L'}{\Delta L}}.$

Volumetrisk förändring

Den relativa förändringen av volymen Δ V / V för en kub på grund av materialets sträckning kan nu beräknas. Använder $V=L^{3}$ och $V+\Delta V=(L+\Delta L) \left(L+\Delta L'\right)^{2}$ :

${\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L }{L}}\right)\left(1+{\frac {\Delta L'}{L}}\right)^{2}-1$

Genom att använda det ovan härledda förhållandet mellan $\Delta L$ och $\Delta L'$ :

${\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}} \right)^{1-2\nu }-1$

och för mycket små värden på $\Delta L$ och ${\displaystyle \Delta L'} ,$ ger första ordningens approximation:

${\frac {\Delta V}{V}}\approx (1-2\nu){\frac {\Delta L}{L}}$

För isotropa material kan vi använda Lamés relation

$\nu \approx {\frac {1}{2}}-{\frac {E}{6K}}$

där $K$ är bulkmodul och $E$ är Youngs modul .

Breddförändring

Figur 2: Jämförelse mellan de två formlerna, en för små deformationer, en annan för stora deformationer

Om en stång med diameter (eller bredd eller tjocklek) d och längden L utsätts för spänning så att dess längd ändras med Δ L , kommer dess diameter d att ändras med:

${\Delta d \over d}=-\nu {\frac {\Delta L}{L}}$

Ovanstående formel är sann endast i fallet med små deformationer; om deformationerna är stora kan följande (mer exakta) formel användas:

$\Delta d=-d\left(1-{\left(1+{\frac {\Delta L}{L}} \right)}^{-\nu }\right)$

var

• $d$ är den ursprungliga diametern
• $\Delta d$ är förändring av stavdiametern
• $\nu$ är Poissons förhållande
• $L$ är ursprunglig längd, före stretch
• $\Delta L$ är längdförändringen.

Värdet är negativt eftersom det minskar med ökad längd

Karakteristiska material

Isotropisk

För ett linjärt isotropt material som endast utsätts för tryckkrafter (dvs normala) krafter, kommer deformationen av ett material i riktning mot en axel att ge en deformation av materialet längs den andra axeln i tre dimensioner. Således är det möjligt att generalisera Hookes lag (för tryckkrafter) till tre dimensioner:

$\varepsilon _{xx}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{xx }-\nu \left(\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right)\right]$

${ \displaystyle \varepsilon _{yy}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{yy}-\nu \left(\sigma _{xx}+\sigma _{zz}\right) \right]}$

$\varepsilon _{zz}={\frac {1}{E}}\left[\ sigma _{zz}-\nu \left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}\right)\right]$

var:

• $\varepsilon _{xx}$ , $\varepsilon _{yy}$ och $\varepsilon _{zz}$ är töjning i riktning mot ${ \displaystyle x}$ , $y$ och $z$ -axeln
• $\sigma _{xx}$ , $\sigma _{yy}$ och $\sigma _{zz}$ är spänningar i riktning mot ${ \displaystyle x}$ , $y$ och $z$ -axeln
• $E$ är Youngs modul (samma i alla riktningar: $x$ , $y$ och $z$ för isotropa material)
• $\nu$ är Poissons förhållande (samma i alla riktningar: $x$ , $y$ och $z$ för isotropa material)

dessa ekvationer kan alla syntetiseras i följande:

$\varepsilon _{ii}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ ii}(1+\nu)-\nu \summa _{k}\sigma _{kk}\right]$

I det mest allmänna fallet kommer även skjuvspänningar att hålla lika bra som normala spänningar, och den fullständiga generaliseringen av Hookes lag ges av:

$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\ sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sum _{k}\sigma _{kk}\right]$

där $\delta _{ij}$ är Kronecker-deltatet . Einstein -notationen används vanligtvis:

$\sigma _{kk}\equiv \sum _{l}\delta _{kl}\sigma _{kl}$

att skriva ekvationen helt enkelt som:

$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _ {ij}(1+\nu)-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}\right]$

Anisotropisk

För anisotropa material beror Poisson-förhållandet på förlängningsriktningen och tvärgående deformation

$\nu (\mathbf {n} ,\mathbf {m} )=-E\left(\ mathbf {n} \right)s_{ij\alpha \beta }n_{i}n_{j}m_{\alpha }m_{\beta }$

$E^{-1}(\mathbf {n} )=s_{ij\alpha \beta }n_{i}n_{j}n_{\alpha }n_{\beta }$

Här är $\nu$ Poissons förhållande, $E$ är Youngs modul , $\mathbf {n}$ är enhetsvektor riktad längs förlängningsriktningen, $\mathbf {m }$ är enhetsvektor riktad vinkelrätt mot förlängningsriktningen. Poissons förhållande har olika antal specialriktningar beroende på typen av anisotropi.

Ortotropisk

Huvudartikel: Ortotropiskt material

Ortotropa material har tre ömsesidigt vinkelräta symmetriplan i sina materialegenskaper. Ett exempel är trä, som är mest styvt (och starkt) längs ådringen, och mindre i de andra riktningarna.

Då kan Hookes lag uttryckas i matrisform som

${\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{ zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}} {E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}& {\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_ {x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{ G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\ börja{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy} \end{bmatrix}}$

var

• $E_{i}$ är Youngs modul längs axeln $i$
• $G_{ij}$ är skjuvmodulen i riktning $j$ på planet vars normal är i riktning $i$
• $\nu _{ij}$ är Poisson-förhållandet som motsvarar en kontraktion i riktning $j$ när en förlängning appliceras i riktning $i$ .

Poissonförhållandet för ett ortotropiskt material är olika i varje riktning (x, y och z). Emellertid innebär symmetrin hos spännings- och töjningstensorerna att inte alla de sex Poisson-förhållandena i ekvationen är oberoende. Det finns bara nio oberoende materialegenskaper: tre elastiska moduler, tre skjuvmoduler och tre Poisson-förhållanden. De återstående tre Poissons förhållanden kan erhållas från relationerna

${\frac {\nu _{yx}}{ E_{y}}}={\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}~,\qquad {\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}={\ frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}~,\qquad {\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{zy}} {E_{z}}}$

Från ovanstående relationer kan vi se att om $E_{x}>E_{y}$ så $\nu _{xy}>\nu _{yx }$ . Det större Poisson-förhållandet (i det här fallet $\nu _{xy}$ ) kallas det stora Poisson-förhållandet medan det mindre (i det här fallet $\nu _{yx}$ ) kallas det mindre Poissons förhållande . Vi kan hitta liknande samband mellan de andra Poissons förhållanden.

Tvärgående isotropisk

Tvärgående isotropa material har ett isotropiplan där de elastiska egenskaperna är isotropa. Om vi ​​antar att detta isotropiplan är $yz$ , så tar Hookes lag formen

${\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{ zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}} {E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}& {\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_ {x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{ G_{\rm {yz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {zx}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xy}} }}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{åå}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}$

där vi har använt isotropiplanet $yz$ för att reducera antalet konstanter, dvs $E_ {y}=E_{z},~\nu _{xy}=\nu _{xz},~\nu _{yx}=\nu _{zx}$ .

Symmetrin hos spännings- och töjningstensorerna antyder det

${\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}={\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}~,~~\nu _{yz} =\nu _{zy}~.$

Detta lämnar oss med sex oberoende konstanter $E_{x},E_{y},G_{xy},G_{yz} ,\nu _{xy},\nu _{yz}$ . Emellertid ger tvärgående isotropi upphov till ytterligare en begränsning mellan $G_{yz}$ och $E_{y},\nu _{yz}$ som är

$G_{yz}={\frac {E_{y}}{2(1+\nu _{yz})}}~.$

Därför finns det fem oberoende elastiska materialegenskaper, varav två är Poissons förhållanden. För det antagna symmetriplanet är det större av $\nu _{xy}$ och $\nu _{yx}$ det stora Poissons förhållande. De andra dur och moll Poissons förhållanden är lika.

Poissons kvotvärden för olika material

Inverkan av utvalda glaskomponenttillsatser på Poissons förhållande av ett specifikt basglas.

Material	Poissons förhållande
sudd	0,4999
guld	0,42–0,44
mättad lera	0,40–0,49
magnesium	0,252–0,289
titan	0,265–0,34
koppar	0,33
aluminium - legering	0,32
lera	0,30–0,45
rostfritt stål	0,30–0,31
stål	0,27–0,30
gjutjärn	0,21–0,26
sand	0,20–0,455
betong	0,1–0,2
glas	0,18–0,3
metalliska glasögon	0,276–0,409
skum	0,10–0,50
kork	0,0

Material	Symmetriplan	$\nu _{\rm {xy}}$	$\nu _{\rm {yx}}$	$\nu _{\rm {yz}}$	$\nu _{\rm {zy}}$	$\nu _{\rm {zx}}$	$\nu _{\rm {xz}}$
Nomex bikakekärna	$x{\text{-}}y$ , band i $x$ -riktning	0,49	0,69	0,01	2,75	3,88	0,01
glasfiber - epoxiharts	$x{\text{-}}y$	0,29	0,32	0,06	0,06	0,32

Negativt Poissons förhållande material

Vissa material som kallas auxetic material visar ett negativt Poisson-förhållande. När den utsätts för positiv töjning i en längsgående axel kommer den tvärgående töjningen i materialet faktiskt att vara positiv (dvs det skulle öka tvärsnittsarean). För dessa material beror det vanligtvis på unikt orienterade, gångjärnsförsedda molekylbindningar. För att dessa bindningar ska sträcka sig i längdriktningen måste gångjärnen "öppnas" i tvärriktningen, vilket effektivt uppvisar en positiv töjning. Detta kan också göras på ett strukturerat sätt och leda till nya aspekter i materialdesign som för mekaniska metamaterial .

Studier har visat att vissa massiva träslag uppvisar negativt Poissons förhållande uteslutande under ett kompressionskryptest . Inledningsvis visar kompressionskryptestet positiva Poissons förhållanden, men minskar gradvis tills det når negativa värden. Följaktligen visar detta också att Poissons förhållande för trä är tidsberoende under konstant belastning, vilket innebär att töjningen i axiell och tvärgående riktning inte ökar i samma takt.

Media med konstruerad mikrostruktur kan uppvisa negativa Poissons förhållande. I ett enkelt fall erhålls auxeticitet genom att ta bort material och skapa ett periodiskt poröst medium. Gitter kan nå lägre värden på Poissons förhållande, vilket kan vara obestämt nära gränsvärdet −1 i det isotropiska fallet.

Mer än trehundra kristallina material har negativt Poisson-förhållande. Till exempel Li, Na, K, Cu, Rb, Ag, Fe, Ni, Co, Cs, Au, Be, Ca, Zn Sr, Sb, MoS2 {\displaystyle _{2}} $andra$ .

Poisson funktion

Vid finita töjningar är förhållandet mellan de tvärgående och axiella töjningarna $\varepsilon _{\text{trans}}$ och $\varepsilon _{\text{axial}}$ vanligtvis inte väl beskrivet av Poisson-förhållandet. Faktum är att Poisson-förhållandet ofta anses vara en funktion av den applicerade töjningen i den stora töjningsregimen. I sådana fall ersätts Poisson-kvoten av Poisson-funktionen, för vilken det finns flera konkurrerande definitioner. Definiera tvärsträckan $\lambda _{\text{trans}}=\varepsilon _{\text{trans}}+1$ och axiell sträckning ${\ displaystyle \lambda _{\text{axial}}=\varepsilon _{\text{axial}}+1} ,$ där den tvärgående sträckningen är en funktion av den axiella sträckningen (dvs ${ \displaystyle \lambda _{\text{trans}}=\lambda _{\text{trans}}(\lambda _{\text{axial}})} ) de vanligaste är Hencky, Biot, Green och$ Almansi funktioner

${\begin{aligned}\nu ^{\text{Hencky}}&=-{\frac {\ln \lambda _{\text{trans}}}{\ln \lambda _{\text{ axial}}}}\\[6pt]\nu ^{\text{Biot}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}}{\lambda _{\text{axial}} -1}}\\[6pt]\nu ^{\text{Grön}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}^{2}}{\lambda _{\text{ axiell}}^{2}-1}}\\[6pt]\nu ^{\text{Almansi}}&={\frac {\lambda _{\text{trans}}^{-2}-1} {1-\lambda _{\text{axial}}^{-2}}}\end{aligned}}$

Tillämpningar av Poissons effekt

Ett område där Poissons effekt har en betydande inverkan är i trycksatt rörflöde. När luften eller vätskan inuti ett rör är högt trycksatt utövar den en jämn kraft på insidan av röret, vilket resulterar i en ringspänning i rörmaterialet. På grund av Poissons effekt kommer denna ringspänning att göra att röret ökar i diameter och minskar något i längd. Särskilt längdminskningen kan ha en märkbar effekt på rörfogarna, eftersom effekten kommer att ackumuleras för varje sektion av rör som förenas i serie. En fastspänd led kan dras isär eller på annat sätt benägen att misslyckas.

Ett annat tillämpningsområde för Poissons effekt är inom strukturgeologins område . Stenar, som de flesta material, utsätts för Poissons effekt när de utsätts för stress. I en geologisk tidsskala kan överdriven erosion eller sedimentering av jordskorpan antingen skapa eller ta bort stora vertikala spänningar på den underliggande bergarten. Detta berg kommer att expandera eller dra ihop sig i vertikal riktning som ett direkt resultat av den applicerade spänningen, och det kommer också att deformeras i horisontell riktning som ett resultat av Poissons effekt. Denna förändring av töjningen i horisontell riktning kan påverka eller bilda fogar och vilande spänningar i berget.

Även om kork historiskt valts för att försegla vinflaskor av andra skäl (inklusive dess inerta natur, ogenomtränglighet, flexibilitet, tätningsförmåga och motståndskraft), ger kork Poissons förhållande noll ytterligare en fördel. När korken förs in i flaskan expanderar inte den övre delen som ännu inte är insatt i diameter då den komprimeras axiellt. Kraften som behövs för att föra in en kork i en flaska uppstår endast från friktionen mellan korken och flaskan på grund av den radiella kompressionen av korken. Om proppen var gjord av exempelvis gummi (med ett Poisson-förhållande på ca 1/2) skulle det krävas en relativt stor extra kraft för att övervinna den radiella expansionen av gummiproppens övre del.

De flesta bilmekaniker är medvetna om att det är svårt att dra en gummislang (t.ex. en kylvätskeslang) från en metallrörstump, eftersom dragspänningen gör att diametern på slangen krymper och griper tätt om stubben. Slangar kan lättare tryckas av stubbarna istället med ett brett platt blad.

Se även

• Linjär elasticitet
• Hookes lag
• Impulsexcitationsteknik
• Ortotropt material
• Skjuvmodul
• Youngs modul
• Värmeutvidgningskoefficient

externa länkar

• Betydelsen av Poissons förhållande
• Negativt Poissons förhållande material
• Mer om negativa Poissons förhållande material (auxetic) Arkiverad 2018-02-08 på Wayback Machine

Omvandlingsformler
Homogena isotropa linjära elastiska material har sina elastiska egenskaper unikt bestämda av två av dessa moduler; sålunda, givet vilka två som helst, kan alla andra av de elastiska modulerna beräknas enligt dessa formler, förutsatt både för 3D-material (första delen av tabellen) och för 2D-material (andra delen).
3D-formler	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	Anteckningar
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu)}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(MK)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(MK)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu)}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+ES}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ Det finns två giltiga lösningar. Plustecknet leder till $\nu \geq 0$ . Minustecknet leder till $\nu \leq 0$ .
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu)}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	Kan inte användas när $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{MG}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu)}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu)}{2(1-\nu)}}$
2D-formler	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	Anteckningar
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\ mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{ \mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{ \mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }} }$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{ \mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_ {\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{ \mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\ mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+ \nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1 -\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{ \mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }} }$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} } )(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	Kan inte användas när $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }) }{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$