Böjning

För annan användning, se Böjning (disambiguation) .

Böjning av en I -balk

I tillämpad mekanik kännetecknar böjning (även känd som böjning ) beteendet hos ett smalt konstruktionselement som utsätts för en yttre belastning som appliceras vinkelrätt mot en längsgående axel av elementet.

Det strukturella elementet antas vara sådant att åtminstone en av dess dimensioner är en liten bråkdel, typiskt 1/10 eller mindre, av de andra två. När längden är betydligt längre än bredden och tjockleken kallas elementet en balk . Till exempel är en garderobsstång som hänger under tyngden av kläder på klädhängare ett exempel på en balk som upplever böjning . Å andra sidan är ett skal en struktur av vilken geometrisk form som helst där längden och bredden är av samma storleksordning men tjockleken på strukturen (känd som "väggen") är betydligt mindre. Ett kort rör med stor diameter men tunnväggigt som stöds vid sina ändar och belastas i sidled är ett exempel på ett skal som upplever böjning.

I avsaknad av ett kval är termen böjning tvetydig eftersom böjning kan ske lokalt i alla objekt. Därför, för att göra användningen av termen mer exakt, hänvisar ingenjörer till ett specifikt objekt som; böjning av stavar , böjning av balkar , böjning av plattor , böjning av skal och så vidare.

Kvasistatisk böjning av balkar

En balk deformeras och spänningar utvecklas inuti den när en tvärgående belastning appliceras på den. I det kvasistatiska fallet antas mängden av böjning och de spänningar som utvecklas inte förändras över tiden . I en horisontell balk som stöds i ändarna och belastas nedåt i mitten, komprimeras materialet på balkens översida medan materialet på undersidan sträcks. Det finns två former av inre spänningar orsakade av sidobelastningar:

• Skjuvspänning parallell med sidobelastningen plus komplementär skjuvspänning på plan vinkelräta mot belastningsriktningen;
• Direkt tryckspänning i den övre delen av balken och direkt dragspänning i den nedre delen av balken.

Dessa två sista krafter bildar ett par eller ett moment eftersom de är lika stora och motsatta i riktning. Detta böjmoment motstår den sjunkande deformationsegenskapen hos en balk som upplever böjning. Spänningsfördelningen i en balk kan förutsägas ganska exakt när vissa förenklade antaganden används.

Euler-Bernoullis böjningsteori

Huvudartikel: Euler–Bernoullis strålekvation

Element av en böjd balk: fibrerna bildar koncentriska bågar, toppfibrerna komprimeras och bottenfibrerna sträcks.

Böjmoment i en balk

I Euler-Bernoulli teorin om smala strålar är ett stort antagande att "plana sektioner förblir plana". Med andra ord, någon deformation på grund av skjuvning över sektionen tas inte med i beräkningen (ingen skjuvdeformation). Dessutom är denna linjära fördelning endast tillämpbar om den maximala spänningen är mindre än materialets sträckgräns . För spänningar som överstiger flyt, se artikel plastböjning . Vid sträckning definieras den maximala spänningen som upplevs i sektionen (vid de längsta punkterna från balkens neutrala axel ) som böjhållfastheten .

Tänk på strålar där följande är sant:

• Balken är ursprungligen rak och smal, och eventuell avsmalning är liten
• Materialet är isotropiskt (eller ortotropiskt ), linjärt elastiskt och homogent över vilket tvärsnitt som helst (men inte nödvändigtvis längs dess längd)
• Endast små avböjningar beaktas

I det här fallet kan ekvationen som beskriver strålens avböjning ( $w$ ) approximeras som:

${\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x ^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}$

där andraderivatan av dess avböjda form med avseende på $x$ tolkas som dess krökning, $E$ är Youngs modul , $I$ är tröghetsmomentet för tvär- sektion, och $M$ är det interna böjmomentet i balken.

Om strålen dessutom är homogen längs sin längd också, och inte avsmalnande (dvs konstant tvärsnitt), och avböjs under en pålagd tvärlast $q(x)$ , kan det visas att :

$EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4} }}=q(x)$

Detta är Euler–Bernoullis ekvation för balkböjning.

Efter att en lösning för balkens förskjutning erhållits kan böjmomentet ( $M$ ) och skjuvkraften ( $Q$ ) i balken beräknas med hjälp av relationerna

$M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~Q(x)={\ cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}.$

Enkel stråleböjning analyseras ofta med Euler-Bernoullis strålekvation. Villkoren för att använda enkel böjningsteori är:

1. Balken är föremål för ren böjning . Detta betyder att skjuvkraften är noll och att inga vrid- eller axiella laster förekommer.
2. Materialet är isotropt (eller ortotropt ) och homogent .
3. Materialet följer Hookes lag (det är linjärt elastiskt och kommer inte att deformeras plastiskt).
4. Balken är initialt rak med ett tvärsnitt som är konstant över hela balkens längd.
5. Balken har en symmetriaxel i böjningsplanet.
6. Balkens proportioner är sådana att den skulle misslyckas genom att böjas snarare än genom att krossas, skrynklas eller bucklas i sidled .
7. Balkens tvärsnitt förblir plana under böjning.

Avböjning av en stråle som avböjs symmetriskt och principen för superposition

Tryck- och dragkrafter utvecklas i balkaxelns riktning under böjbelastningar. Dessa krafter inducerar spänningar på balken. Den maximala tryckspänningen finns vid balkens översta kant medan den maximala dragspänningen finns vid balkens nedre kant. Eftersom spänningarna mellan dessa två motsatta maxima varierar linjärt , finns det därför en punkt på den linjära banan mellan dem där det inte finns någon böjspänning. Platsen för dessa punkter är den neutrala axeln . På grund av detta område utan spänning och de angränsande områdena med låg spänning, är användningen av balkar med jämnt tvärsnitt vid böjning inte ett särskilt effektivt sätt att bära upp en last eftersom det inte utnyttjar balkens fulla kapacitet förrän den är på randen av kollaps. Bredflänsbalkar ( I -balkar ) och fackverksbalkar åtgärdar effektivt denna ineffektivitet eftersom de minimerar mängden material i detta underbelastade område .

Den klassiska formeln för att bestämma böjspänningen i en balk under enkel böjning är:

$\sigma _{x}={\frac {M_{z}y}{I_{z}}}={\frac {M_{z}} {W_{z}}}$

var

• ${\sigma _{x}}$ är böjspänningen
• $M_{z}$ – ögonblicket kring den neutrala axeln
• $y$ – det vinkelräta avståndet till den neutrala axeln
• $I_{z}$ – det andra momentet av arean kring den neutrala axeln z .
• $W_{z}$ - Motståndsmomentet kring den neutrala axeln z . $W_{z}=I_{z}/y$

Utvidgningar av Euler-Bernoullis strålböjningsteori

Plastböjning

Huvudartikel: Plastböjning

Ekvationen $\sigma ={\tfrac {My}{I_{x}}}$ är endast giltig när spänningen vid den extrema fibern (dvs. den del av strålen som är längst bort från neutralen axeln) ligger under sträckgränsen för materialet från vilket det är konstruerat. Vid högre belastningar blir spänningsfördelningen olinjär, och duktila material kommer så småningom att gå in i ett plastiskt gångjärnstillstånd där spänningens storlek är lika med sträckgränsen överallt i balken, med en diskontinuitet vid den neutrala axeln där spänningen ändras från dragkraft till kompressiv. Detta plastgångjärnstillstånd används vanligtvis som ett gränstillstånd vid konstruktion av stålkonstruktioner.

Komplex eller asymmetrisk böjning

Ekvationen ovan är endast giltig om tvärsnittet är symmetriskt. För homogena balkar med asymmetriska sektioner ges den maximala böjspänningen i balken av

$\sigma _{x}(y,z)=-{\frac {M_{z}~I_{y}+M_{y}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z} -I_{yz}^{2}}}y+{\frac {M_{y}~I_{z}+M_{z}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz }^{2}}}z$

där $y,z$ är koordinaterna för en punkt på tvärsnittet där spänningen ska bestämmas som visas till höger, $M_{y}$ och ${\ displaystyle M_{z}}$ är böjningsmomenten kring y- och z -tyngdpunktsaxlarna , $I_{y}$ och $I_{z}$ är de andra momenten av arean (till skillnad från moment av tröghet) om y- och z-axlarna, och $I_{yz}$ är produkten av areamoment . Med hjälp av denna ekvation är det möjligt att beräkna böjspänningen vid vilken punkt som helst på balkens tvärsnitt oavsett momentorientering eller tvärsnittsform. Observera att $M_{y},M_{z},I_{y},I_{z},I_{yz}$ inte ändras från ett peka på en annan i tvärsnittet.

Stor böjdeformation

För stora deformationer av kroppen beräknas spänningen i tvärsnittet med hjälp av en utökad version av denna formel. Först måste följande antaganden göras:

1. Antagande om plana sektioner – före och efter deformation förblir den aktuella kroppssektionen platt (dvs. är inte virvlad).
2. Skjuv- och normalspänningar i denna sektion som är vinkelräta mot normalvektorn av tvärsnitt har ingen inverkan på normalspänningar som är parallella med detta snitt.

Stora böjningsöverväganden bör implementeras när böjningsradien $\rho$ är mindre än tio sektionshöjder h:

$\rho <10h.$

Med dessa antaganden beräknas spänningen i stor böjning som:

$\sigma ={\frac {F}{A}}+{\frac {M}{\rho A}}+{\ frac {M}{{I_{x}}'}}y{\frac {\rho }{\rho +y}}$

var

$F$ är normalkraften nuvarande

$A$ sektionsarean ρ

$\rho$ sektion)

$M$ är böjmomentet

är den lokala böjningsradien (böjningsradien vid

${{I_{x}}'}$ är areatröghetsmomentet längs x -axeln , vid $y$ -platsen (se Steiners sats ) y

$\displaystyle y}$ är positionen längs y -axeln på snittarean där spänningen $\sigma$ beräknas.

När böjningsradien $\rho$ närmar sig oändligheten och ${\displaystyle y\ll \rho } ,$ är den ursprungliga formeln tillbaka:

$\sigma ={F \over A}\pm {\frac {My}{I}}$ .

Timosjenko böjningsteori

Huvudartikel: Timosjenko strålteori

Deformation av en Timosjenko-balk. Normalen roterar med ett belopp $\theta$ som inte är lika med $dw/dx$ .

År 1921 förbättrade Timosjenko Euler-Bernoulli-teorin om strålar genom att lägga till effekten av skjuvning i strålekvationen. De kinematiska antagandena för Timosjenko-teorin är:

• normalerna till balkens axel förblir raka efter deformation
• det finns ingen förändring i balktjockleken efter deformation

Normaler till axeln behöver dock inte förbli vinkelräta mot axeln efter deformation.

Ekvationen för den kvasistatiska böjningen av en linjär elastisk, isotrop, homogen stråle med balk med konstant tvärsnitt under dessa antaganden är

$EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d } x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2 }}}$

där $I$ är areatröghetsmomentet för tvärsnittet, $A$ är tvärsnittsarean, $G$ är skjuvmodulen , $k$ är en skjuvningskorrigeringsfaktor och $q(x)$ är en pålagd tvärlast. För material med Poissons förhållanden ( $\nu$ ) nära 0,3 är skjuvkorrigeringsfaktorn för ett rektangulärt tvärsnitt ungefär

$k={\cfrac {5+5\nu }{6+5\nu }}$

Normalens rotation ( ${\displaystyle \varphi (x)} ) beskrivs av ekvationen$

${\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}=-{\cfrac { \mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {q(x)}{kAG}}$

Böjmomentet ( $M$ ) och skjuvkraften ( ${\displaystyle Q} )$ ges av

$M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d } \varphi }{\mathrm {d} x}}~;~~Q(x)=kAG\left({\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}-\varphi \ höger)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} x^{2}}}={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}$

Balkar på elastiska fundament

Enligt Euler–Bernoulli, Timosjenko eller andra böjningsteorier kan balkarna på elastiska fundament förklaras. I vissa applikationer såsom järnvägsspår, grundläggning av byggnader och maskiner, fartyg på vatten, rötter av växter etc., stöds den balk som utsätts för belastningar på kontinuerliga elastiska fundament (dvs. de kontinuerliga reaktionerna på grund av extern belastning fördelas längs längden av Strålen)

Bil som korsar en bro (balken delvis stödd på elastiskt fundament, böjmomentfördelning)

Dynamisk böjning av balkar

Den dynamiska böjningen av balkar, även känd som böjningsvibrationer av balkar, undersöktes först av Daniel Bernoulli i slutet av 1700-talet. Bernoullis rörelseekvation för en vibrerande stråle tenderade att överskatta naturliga frekvenser och förbättrades marginellt av Rayleigh 1877 genom tillägget av en mittplansrotation. År 1921 Stephen Timosjenko teorin ytterligare genom att införliva effekten av skjuvning på det dynamiska svaret av böjande balkar. Detta gjorde att teorin kunde användas för problem som involverar höga vibrationsfrekvenser där den dynamiska Euler-Bernoulli-teorin är otillräcklig. Euler-Bernoulli och Timosjenko teorier för dynamisk böjning av balkar fortsätter att användas i stor utsträckning av ingenjörer.

Euler-Bernoulli teori

Huvudartikel: Euler–Bernoullis strålekvation

$q(x,t)$ smala, isotropiska, homogena strålar med konstant tvärsnitt under en pålagd tvärlast är

$EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}} +m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=q(x,t)$

där $E$ är Youngs modul, $I$ är areatröghetsmomentet för tvärsnittet, $w(x,t)$ är avböjningen av strålens neutrala axel, och $m$ är massan per längdenhet av strålen.

Fria vibrationer

För situationen där det inte finns någon tvärgående belastning på balken tar böjningsekvationen formen

$EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=0$

Fria, harmoniska vibrationer av strålen kan då uttryckas som

$w(x,t)={\text {Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]\quad \implies \quad {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{ 2}}}=-\omega ^{2}~w(x,t)$

och böjningsekvationen kan skrivas som

$EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^ {4}}}-m\omega ^{2}{\hat {w}}=0$

Den allmänna lösningen av ovanstående ekvation är

${\hat {w}}=A_ {1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)$

där $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ är konstanter och $\beta :=\left({\cfrac {m}{EI}}~\omega ^{2}\right)^{1/4}$

Modformerna för en fribärande I -balk
1:a sidoböjning	1:a vridningen	1:a vertikala böjningen
2:a sidoböjning	2:a vridningen	2:a vertikala böjningen

Timosjenko-Rayleigh teori

Huvudartikel: Timosjenko strålteori

1877 föreslog Rayleigh en förbättring av den dynamiska Euler-Bernoullis strålteorin genom att inkludera effekten av rotationströghet hos strålens tvärsnitt. Timosjenko förbättrade den teorin 1922 genom att lägga till effekten av skjuvning i strålekvationen. Skjuvdeformationer av balkens normala yta är tillåtna i Timoshenko-Rayleigh-teorin.

Ekvationen för böjning av en linjär elastisk, isotrop, homogen stråle med konstant tvärsnitt under dessa antaganden är

${\begin{aligned}&EI~{\frac {\partial ^{4}w }{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\frac {EIm}{kAG} }\right){\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\frac {Jm}{kAG}}~{\frac { \partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}\\[6pt]={}&q(x,t)+{\frac {J}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {EI}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}} \end{aligned}}$

där $J={\tfrac {mI}{A}}$ är det polära tröghetsmomentet för tvärsnittet, $m=\rho A$ är massan per längdenhet för strålen är $\rho$ strålens densitet, $A$ är tvärsnittsarean, $G$ är skjuvmodulen och $k$ är en skjuvningskorrigeringsfaktor . För material med Poissons förhållanden ( $\nu$ ) nära 0,3 är skjuvningskorrigeringsfaktorn ungefär

${\begin{aligned}k&={\frac { 5+5\nu }{6+5\nu }}\quad {\text{rektangulärt tvärsnitt}}\\[6pt]&={\frac {6+12\nu +6\nu ^{2} }{7+12\nu +4\nu ^{2}}}\quad {\text{cirkulärt tvärsnitt}}\end{aligned}}$

Fria vibrationer

För fria, harmoniska vibrationer tar Timoshenko–Rayleighs ekvationer formen

$EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^ {2}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)~{\hat {w}}=0$

Denna ekvation kan lösas genom att notera att alla derivator av $w$ måste ha samma form för att upphäva och därför kan en lösning av formen $e^{kx}$ förväntas. Denna observation leder till den karakteristiska ekvationen

$\alpha ~k^{4} +\beta ~k^{2}+\gamma =0~;~~\alpha :=EI~,~~\beta :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m} }+{\cfrac {EI}{kAG}}\right)~,~~\gamma :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}- 1\höger)$

Lösningarna av denna kvartsekvation är

$k_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}}~,~~ k_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}~,~~k_{4}=-{\sqrt { z_{-}}}$

var

$z_{+}:={\cfrac {-\beta +{\ sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}~,~~z_{-}:={\cfrac {-\beta -{\sqrt {\beta ^{2 }-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}$

Den allmänna lösningen av Timoshenko-Rayleigh strålekvationen för fria vibrationer kan sedan skrivas som

${\hat {w}}=A_{1}~e^ {k_{1}x}+A_{2}~e^{-k_{1}x}+A_{3}~e^{k_{3}x}+A_{4}~e^{-k_{ 3}x}$

Kvasistatisk böjning av plattor

Huvudartikel: Platteori

Deformation av en tunn platta som framhäver förskjutningen, mellanytan (röd) och normal till mellanytan (blå)

Den avgörande egenskapen hos balkar är att en av dimensionerna är mycket större än de andra två. En struktur kallas en platta när den är platt och en av dess dimensioner är mycket mindre än de andra två. Det finns flera teorier som försöker beskriva deformationen och spänningen i en platta under applicerade belastningar, varav två har använts flitigt. Dessa är

• Kirchhoff-Kärleksteorin om plattor (även kallad klassisk plattor)
• Mindlin - Reissners plåtteorin (även kallad första ordningens skjuvteorin för plåtar)

Kirchhoff – Kärleksteori om plattor

Kirchhoff-kärleksteorins antaganden är

• raka linjer vinkelräta mot mitten av ytan förblir raka efter deformation
• räta linjer normala mot mittytan förblir normala mot mittytan efter deformation
• tjockleken på plattan ändras inte under en deformation.

Dessa antaganden antyder det

${\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~{\ frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_ {3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}$

där $\mathbf {u}$ är förskjutningen av en punkt i plattan och $w^{0}$ är förskjutningen av mellanytan.

Stam-förskjutningsförhållandena är

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~w_{,\alpha \ beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}$

Jämviktsekvationerna är

$M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x)=0~;~~M_{\alpha \beta } :=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}$

där $q(x)$ är en applicerad belastning vinkelrätt mot plattans yta.

När det gäller förskjutningar kan jämviktsekvationerna för en isotrop, linjär elastisk platta i frånvaro av extern belastning skrivas som

$w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0$

I direkt tensor notation,

$\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0$

Mindlin–Reissners teori om plattor

Det speciella antagandet för denna teori är att normaler till mittytan förblir raka och outtöjbara men inte nödvändigtvis normala mot mittytan efter deformation. Plattans förskjutningar ges av

${\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned }}$

där $\varphi _{\alpha }$ är normalens rotationer.

De töjnings-förskjutningsrelationer som blir resultatet av dessa antaganden är

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=- x_{3}~\varphi _{\alpha ,\beta }\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}~\kappa \left(w_{,\alpha }^ {0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}$

där $\kappa$ är en skjuvningskorrigeringsfaktor.

Jämviktsekvationerna är

${\begin{aligned}&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha , \alpha }+q=0\end{aligned}}$

var

$Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{ 3}$

Dynamisk böjning av plattor

Huvudartikel: Platteori

Dynamik hos tunna Kirchhoff-plattor

Den dynamiska teorin om plattor bestämmer utbredningen av vågor i plattorna, och studiet av stående vågor och vibrationslägen. Ekvationerna som styr den dynamiska böjningen av Kirchhoff-plattor är

$M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)=J_ {1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}$

där, för en platta med densitet $\rho =\rho (x)$ ,

$J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}~;~~J_{3} :=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}$

och

${\ddot {w}}^{0}={\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}~;~~{\ddot {w}}_{,\alpha \beta }^{0}={\frac {\partial ^{2}{\ddot {w}}^{ 0}}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}$

Figurerna nedan visar några vibrationslägen för en cirkulär platta.

• 

  läge k = 0, p = 1

• 

  läge k = 0, p = 2

• 

  läge k = 1, p = 2

Se även

• Böjningsmoment
• Bockningsmaskin (platt metallböjning)
• Broms (böjning av plåt)
• Brazier effekt
• Böjning av plattor
• Böjning (metallbearbetning)
• Kontinuummekanik
• Kontraflexur
• Deflection (teknik)
• Böjlager
• Lista över områdeströghetsmoment
• Rörböjning

• Skjuvning och momentdiagram
• Ren styrka
• Smörgåsteori
• Vibration
• Vibration av plattor

externa länkar

• Flexure formler
• Balkspänning & nedböjning, strålnedböjningstabeller