Klyvande lemma

Inom matematik , och mer specifikt i homologisk algebra , anger det splittande lemma att i vilken abelsk kategori som helst är följande påståenden ekvivalenta för en kort exakt sekvens

0\longrightarrow A\mathrel {\overset {q}{\longrightarrow }} B\mathrel {\overset {r}{\longrightarrow }} C\longrightarrow 0.

Vänsterdelning

Det finns en morfism $t : B \to A$ sådan att $tq$ är identiteten på $A$ , $id A$ ,
Högerdelning

Det finns en morfism $u : C \to B$ så att $ru$ är identiteten på $C$ , $id C$ ,
Direkt summa

Det finns en isomorfism $h$ från $B$ till den direkta summan av $A$ och $C$ , så att $hq$ är den naturliga injektionen av $A$ i den direkta summan, och $rh^{-1}$ är den naturliga projektion av den direkta summan på $C$ .

Om något av dessa påståenden stämmer kallas sekvensen för en delad exakt sekvens , och sekvensen sägs dela .

I ovanstående korta exakta sekvens, där sekvensen delar sig, tillåter den en att förfina den första isomorfismsatsen, som säger att:

C ≅ B /ker r ≅ B / q (A)

(dvs.

C

isomorf till sambilden av

r

eller cokernel av

q

)

till:

B = q (A) \oplus u (C) ≅ A \oplus C

där den första isomorfismsatsen då bara är projektionen på $C$ .

Det är en kategorisk generalisering av rang-nullitetssatsen (i formen $V ≅ ker T \oplus im T)$ i linjär algebra .

Bevis för kategorin abelska grupper

$3. \Rightarrow 1.$ och $3. \Rightarrow 2.$

För det första, för att visa att 3. innebär både 1. och 2., antar vi 3. och tar som t $den$ naturliga projektionen av den direkta summan på $A$ , och tar som $u$ den naturliga injektionen av $C$ i den direkta summan.

$1. \Rightarrow 3.$

För att bevisa att 1. innebär 3., notera först att vilken medlem som helst av B är i mängden ( $ker t + im q$ ). Detta följer eftersom för alla $b$ i $B$ , $b = (b - qt (b) ) + qt (b)$ ; $qt (b)$ är i $im q$ , och $b - qt (b)$ är i $ker t$ , eftersom

t (b - qt (b)) = t (b) - tqt (b) = t (b) - (tq) t (b) = t (b) - t (b) = 0.

Därefter är skärningspunkten mellan $im q$ och $ker t$ 0, eftersom om det finns $a$ i $A$ så att $q (a) = b$ , och $t (b) = 0$ , så $är 0 = tq (a) = a$ ; och därför är $b = 0$ .

Detta bevisar att $B$ är den direkta summan av $im q$ och $ker t$ . Så för alla $b$ i $B$ kan $b unikt identifieras av$ något $a$ i $A$ , $k$ i $ker t$ , så att $b = q (a) + .$ k

Med exakthet $ker r = im q$ . Underföljden $B ⟶ C ⟶ 0$ innebär att $r$ är på ; därför finns det för vilket $c som helst$ i $C någon$ $b = q (a) + k$ så att $c = r (b) = r (q (a)+ k) = r (k)$ . Därför, för varje c i C , existerar k i ker t så att c = r ( k ) och r ( ker t ) = C .

Om $r (k) = 0$ , så är $k i$ $im q$ ; eftersom skärningspunkten mellan $im q$ och $ker t = 0$ , då $k = 0$ . Därför begränsningen $r : ker t \to C$ en isomorfism; och $ker t$ är isomorft till $C$ .

Slutligen är $im q$ isomorf till $A$ på grund av exaktheten av $0 ⟶ A ⟶ B$ ; så B är isomorf till den direkta summan av $A$ och $C$ , vilket bevisar (3).

$2. \Rightarrow 3.$

$0$ För att visa att 2. innebär 3. följer vi ett liknande argument. Vilken medlem som helst av $B$ är i mängden $ker r + im u$ ; eftersom för alla $b$ i $B$ , $b = (b - ur (b) ) + ur (b)$ , vilket är i $ker r + im u$ . Skärningspunkten mellan $ker r$ och $im u$ är , eftersom om $r (b) = 0$ och $u (c) = b$ , så $är 0 = ru (c) = c$ .

Av exakthet är $im q = ker r$ , och eftersom $q$ $ker är$ en injektion är $im q$ isomorft till $A$ , så $A$ är isomorft till r . Eftersom $ru$ är en bijektion är $u$ en injektion och $im u$ är alltså isomorf till C $.$ Så $B$ är återigen den direkta summan av $A$ och $C$ .

Ett alternativt " abstrakt nonsens " -bevis på det splittrande lemmat kan formuleras helt i kategoriteoretiska termer.

Icke-abelska grupper

I den form som anges här gäller inte det splittande lemmat i hela kategorin av grupper , som inte är en abelsk kategori.

Delvis sant

Det är delvis sant: om en kort exakt sekvens av grupper lämnas delad eller en direkt summa (1. eller 3.), så gäller alla villkor. För en direkt summa är detta tydligt, eftersom man kan injicera från eller projicera till summanterna. För en vänsterdelad sekvens ger kartan $t \times r : B \to A \times C$ en isomorfism, så $B$ är en direkt summa (3.), och att invertera isomorfismen och komponera med den naturliga injektionen $C \to A \times C$ ger en insprutning $C \to B$ klyvning $r$ (2.).

Men om en kort exakt sekvens av grupper är högerdelad (2.), behöver den inte vara vänsterdelad eller en direkt summa (varken 1. eller 3. följer): problemet är att bilden av högerdelningen inte behöver vara normal . Vad som är sant i det här fallet är att $B$ är en halvdirekt produkt , men inte i allmänhet en direkt produkt .

Motexempel

För att bilda ett motexempel, ta den minsta icke-abelska gruppen $B ≅ S 3$ , den symmetriska gruppen på tre bokstäver. Låt $A$ beteckna den alternerande undergruppen och låt $C = B / A ≅ {\pm1$ }. Låt $q$ och $r$ beteckna inklusionskartan respektive teckenkartan , så att

0\longrightarrow A\mathrel {\stackrel {q}{\longrightarrow }} B\mathrel {\stackrel {r}{\longrightarrow }} C\longrightarrow 0

är en kort exakt sekvens. 3. misslyckas, eftersom $S 3$ inte är abelsk, men 2. gäller: vi kan definiera $u : C \to B$ genom att mappa generatorn till vilken tvåcykel som helst . Notera för fullständighetens skull att 1. misslyckas: någon karta $t : B \to A$ måste mappa varje tvåcykel till identiteten eftersom kartan måste vara en grupphomomorfism , medan ordningen för en tvåcykel är 2 som inte kan delas med ordningen av elementen i A annan än identitetselementet, som är 3 eftersom $A$ är den alternerande undergruppen av $S 3$ , eller nämligen den cykliska gruppen av ordning 3. Men varje permutation är en produkt av två cykler, så $t$ är trivial karta, varav $tq : A \to A$ är den triviala kartan, inte identiteten.

Saunders Mac Lane : Homologi . Omtryck av 1975 års upplaga, Springer Classics in Mathematics, ISBN 3-540-58662-8 , sid. 16
Allen Hatcher : Algebraisk topologi . 2002, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0 , sid. 147