Kvotientmodul

I algebra , givet en modul och en undermodul , kan man konstruera sin kvotmodul . Denna konstruktion, som beskrivs nedan, är mycket lik den för ett kvotvektorutrymme . Det skiljer sig från analoga kvotkonstruktioner av ringar och grupper genom att i dessa fall är delutrymmet som används för att definiera kvoten inte av samma karaktär som det omgivande rummet (det vill säga en kvotring är kvoten för en ring av ett ideal , inte en underring , och en kvotgrupp är kvoten för en grupp av en normal undergrupp , inte av en allmän undergrupp ).

Givet en modul $A$ över en ring $R$ , och en undermodul $B$ av $A$ , definieras kvotutrymmet $A / B av$ ekvivalensrelationen

a\sim b

om och endast om

ba\in B,

för alla $a, b$ i $A$ . Elementen $[a]=a+B=\{a+b:b\in B\}.$ $A / B$ är ekvivalensklasserna Funktionen $\pi :A\to A/B$ / skickar $ett$ in $A$ till dess ekvivalensklass $a + B$ kallas kvotkartan eller projektionskartan och är en modulhomomorfism .

Adderingsoperationen på $A / B$ definieras för två ekvivalensklasser som ekvivalensklassen av summan av två representanter från dessa klasser ; och skalär multiplikation av element i $A / B$ med element i $R$ definieras på liknande sätt. Observera att det måste visas att dessa operationer är väldefinierade. Då $A / B$ i sig själv en $R$ -modul, kallad kvotmodulen . I symboler, för alla $a, b$ i $A$ och $r$ i $R$ :

{\begin{aligned}&(a+B)+(b+B):=(a+b)+B,\\&r\cdot (a+B):=(r\cdot a)+ B.\end{aligned}}

Exempel

Betrakta ringen $\mathbb {R}$ av reella tal , och $\mathbb {R}$ -modulen $A=\mathbb {R} [X ],$ det vill säga polynomringen med reella koefficienter. Tänk på undermodulen

B=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]

av $A$ , det vill säga undermodulen för alla polynom som är delbara med $X 2 + 1$ . Det följer att ekvivalensrelationen som bestäms av denna modul kommer att vara

P (X) ~ Q (X)

om och endast om

P (X)

och

Q (X)

ger samma återstod när de divideras med

X 2 + 1

.

Därför, i kvotmodulen $A / B$ , är $X 2 + 1$ detsamma som 0; så man kan se $A / B$ som erhållits från $\mathbb {R} [X]$ genom att sätta $X 2 + 1 = 0$ . Denna kvotmodul är isomorf till de komplexa talen $\mathbb {R} .$ ses som en modul över de reella talen

Se även